Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 81
Текст из файла (страница 81)
2И Ег- ( О 2 ) Согласно нашему предположению о виде У (г) уравнение (99.11) разобьется на три: и" + /г'и = 0 (О < г < г,), и" — су'и=О (г,<г <ге), и" + й2и = 0 (г, < г), (99.12) (99.!2') (99.12") где (99.13) (99. 14) (99. 14') (99.14") Из условия конечности ф в нуле следует, что А' = — В, и1 = А з!п нг. (99.15) Кроме того, условие излучения дает Ь=О (только уходящие волны). Краевые условия па границах г=г, и г=гьч как мы установили в 9 96, сводятся к равенству функций и их первых производных й' = —,— (Е, — — ), д' = -~ (У вЂ” Е, + — ). Решения этих уравнений имеют вид и~ = А'е ""+ Вем' (О < г < г,), иц = ае'"+ ре-ч' (г, < г < г,), игц = аем'+ Ье-м" (г, < г). Аз!пйг, =-аеч' +ре ч", нА сох йг,=4(аее' — ()е-~" ) для г=г„ аеч' +ре-ч' =иемсч г((аеч" — ре-еп) =Йаемо для г=гз.
(99.16) (99.16') (99.17) (99.17') ТРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦНАЛЪНЫЙ БАРЬЕР 429 На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов А, сс, (), а. Поэтому необходимо, чтобы определитель Л системы уравнений (99.16) и (99.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают Л(lг) =ее'(е 1я)егт — 1) —.1+ ее'(йе 1д)тгт+1) = О, (99.18) где 1 означает ширину барьера г,— г,. (99.18) есть трансцендентное уравнение для й. Определим его корни приближенно, считая О))) 1. Тогда в нулевом приближении можно отбросить член с е ", и мы получаем —,' 1я йгт+1=0.
(99. 19) Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (О, г„(7 ), изображенной на рис. 80 и получаемой нз потенциального барьера рис, 80 при г,— со. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для Е ((7„,.).
Если корни уравнения (99.!9) обозначить через )тон й„, ..., йм„..., то энергия этих уровней будет (согласно (99,13)) равна Еоо=-2 — )топ+ 2 И)с, п=1, 2,3, ... (99.20) оо получим 2Е-еао (ао+ о 1 еоао "а+то (1+а)огт) Дй+ =О. ч( а) йоа йоа)о Отсюда находим Ла. ') для доститочио глубокой ямы (Ум — а оо) д„, -а соа вместо (99.!9) имеем 1вlгтт=о, й„то=ли, в=1, 2, 3, ... Корни действительны'), если Х=О, и по порядку величины 1 равны — —. В этом случае мы имеем стационарные состояния. Прп а' а конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциаль- ной энергии таково, что (/ (г)...
( Е, и вместо дискретного спектра (99.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излу- чения выбирает нз непрерывного спектра уровни, близкие к Е„„, но они не будут теперь стационарными ()сл ~о О). При малых А„ они будут почти стационарными. Это — к в аз и стационарные уровни, упоминавшиеся в 9 67. Определим величину ).„, считая ее малой. Для этого разложим член с есп в (99.18) по степеням Л)с== й — /г„где /го — один из корней уравнения (99.19) для ста- ционарных состояний потенциальной ямы, а в член с е е' под- ставим й=)ео; замечая, что о)а) й йо — — — 1я Атт = — --, т)й Ч' а)о ' 439 пнохожденне мнкРочлст!!ц чеРез потенцнлльнын ВлРьиР (Гл. ху! Прп этом малую поправку к действительной части й, мы также можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же часть будет равна Пренебрегая также малой поправкой к действительной части й в (99.13), мы можем положить Раз' =К.
Из (99.13) получаем (99.22) Сравнивая это с предыдущим выражением для Лй, мы находим (99.23) Имея в виду, что ггкагр есть скорость частицы оо внутри барьера и что й, 1/гг=1гге(га — радиус ямы), мы получаем из (99.23) и (99.13) Х вЂ” 'е и, — — ' 'и'зи (и — н) ! (99.24) 2ге о Эта формула имеет простое наглядное толкование. — есть число 2го ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 гек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности. Огметвм еще некоторые особенности рассыотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора й приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны а — е!а' неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера г гагг+ г хи аегаг е ф,н — — — — — а г Г Рост ф,н вытекает из требования.
чтобы имелось только излучение, и отвечает тому фанту, что на ббльших расстояниях находятся час! ицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность (ф! !з внутри самого барьера была больше, Однако и нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а нс длилось нсе время от ! = — оз) и что к моменту начала излучения ~ ф!!~а было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ф!н -~ со при г — » со, вывод, о!носящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное решение справедливо лишь 2йой для небольших г, вменно для г.~ — ч ли ' Далее отлгетпм, что в связи с формулой (99.?) в литературе часто говорят о мнимой знсргнн.
Следует иметь в виду, что такое выршкенне имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное нами состояние е,! х ф (г, Г) = фа (г) е (99.25) трвхмирныи потенцияльнып варин 43< ие есть стационарное состояние с определенным знаяеннеи энергии (стационарные состояния гармонииесяи зависят от времени). Чтобы определить вероятность найти то или иное значеш<е энергии Е в этом состоянии, нужно разложить <Р(г, () по собственным функциям тре(г) оператора Н. Так как ()(г))0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 Е(+со (ср.
9 49). Если положить (г, () = ~ С(Е)е " тйе(г) <(Е, о (99.26) а(<) = ~тр*(г, 0) тр(г, <) <Ь. (99.27) Подставляя сюда тр(г, () и тр" (г, 0) из (99.25) и пользуясь орто- гональностью функций тре (г), найдем со, Е< от .Е< а(()=-~ е " С(Е)Се(Е)<(Е=) е а к<(Е)<(Е. (99.28) Величина Р (т) =)а()) в дает, очевидно, закон распада состояния тр(г, 0), Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии м<(Е) с(Е в начальном состоянии'). Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем <Р(г, 0) так, чтобы тр(г, О) =тра(г) внутри барьера и тр(г, 0) =0 вне его. Подставляя теперь тр (г, г) из (99.25) в (99.27), мы можем игнорировать возрастание <ро(г) вне барьера, так как там тр(г, О) =--О.
В силу совпадения <Р(г, 0) и <Рв(г) внутри барьера и считая, что <Р(г, 0) нормировано к !, получим Е< Х а(() =е (99. 29) ') Эта теорема принадлежит Кь С. К р ы л о в у и В. Л. Ф о к у (>КЭТФ <7, эз «о<у)). то ш(Е) г(Е=)С(Е))в<(Е дает искомую вероятность. Однако мы не люжем воспользоваться для вычисления С(Е) функцией тр(г, <) (99.25), так как она правильна лишь для не очень больших г. Поэтому мы изберем обходный путь, ил<сино, будем считать, что тр(г, <) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функция тр(г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции <Р(г, 0) соответствует тому факту, что при (=О частица находится во внутренней области барьера.
Определим амплитуду а ((), с которой представлено состояние тр(г, 0) в состоянии <р(г, (). Имеем 432 пРОхожденгте микРОчАстиц чеРез поткнциАльныя БАРЬЕР [гл, ху! На основании (99.28), теперь нетрудно убедиться, что ш(Е) г(Е должно быть равно') 2л Аюдю ' (Š— Ею)э+в 4 т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения Хй энергии. Величину ЬЕ = — называют ш и р и н о й к в а з и с т а- 2 ци он ар ного у ро вн я Е,.
Если через к=1)) обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии тр(г, О) = = зрю(г), то мы получаем ЬЕт =— я 2 (99.31) — соотношение между шириной квазистационарного уровня и дли- тельностью жизни частицы на этом уровне. $ 100. Теория радиоактивного а-распада т) Интеграл в (99.28) в этом случае легко вычисляется посредством вычетов в комплексной плоскости. ю) Это предполоюкение не является обязательным.
Возможно, что перед вылетом из ядра а-частипа образуется нз более простых частил: цеитронов и протонов. Мы будем считать в дальнейшем, что она существует в ядре постоянно. Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются, испуская а-частицы. По вылете из атомного ядра се-частица, имея двукратный положительный заряд (+ 2е), ускоряется в кулоновском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Уе (под Л будем подразумевать номер элемента после вылета сс-частицы, 2 = Е' — 2, если Г есть номер элемента до радиоактивного распада). Большая прочность а-частицы позволяет предполагать, что она существует в ядре в виде самостоятельного объекта, являясь одним из простых образований, из которых строится атомное ядро').
Ясно, что сс-частица может длительно находиться в атомном ядре лишь в том случае, если область вблизи атомного ядра является минимумом потенциальной энергии се-частицы. Кулоновская потенциальная энергия сс-частицы, равная 27еауг, где г — расстояние от ядра до частицы, по мере приближения к ядру, как это изобра>кено на рис.
81 пунктирной кривой, все время возрастает монотонно. Поэтому минимум энергии вблизи ядра может получиться лишь в том случае, если на близких расстояниях на Ои частицу действуют какие-то иные силы, помимо электрических. Такими силами являются ядерные силы, действующие между нуклонами. Эти силы весьма велики и действуют лишь на очень малых расстояниях. Именно этими силами и обусловливается смена а !00! теоРия РлдиоАктивного а-РАспАдА кулоновского отталкивания на резкое притяжение вблизи ядра, изображенное на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
