Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(96,7) — Ь Переходя к пределу еь-ч-О, получаем краевое условие') ф (+ 0) =ф ( — О). (96.7') Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, ил~еем второе краевое условие ф(+ 0) =-ф( — 0) (96.7") Точка х= О ничем не выделена, поэтому условия (96.7') и (96.7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х=(. ') Ср. дополнение НШ. 418 пРОхОждение мнкРОчлстиц чеРез потенцихчьнып БАРьеР )гл.
Хч! ойо (А — В) = !Ьоп~ (|х — ~), (Ьопо(геено"|о — ()е ' о"|л ) = !Ьо(аемо Ье ' о ). (96.9) Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа. Если мы, например, возьмем А, В еа О, Ь= О, то Аеоо|" может рассматриваться как пала!ощая волна, Ве-оо" — как отраженная, а ае'"|е — как проходящая.
Если бы мы взяли Ь Ф О, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Зти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа. Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда мы должны взять Ь=О. 1(роме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А = 1. Уравнения (96.9) принимают тогда вид 1+В =!х+р, 1 — В =п„,(со — р), ае о «+ре 'оо|=ае о мл! — мл! и! и (!ее! ел|о '()е о" ) — аеооо . (96.10) Из этих алгебраических уравнений находим а, р, В и а: а— е о|о (1+л )о е о о| (1 л )о е о '" (!+л,„)о — е о о| (1 — л„,)о В— — |Ало, мл! (1+л )о е о |л (1 л )о ае"'— ел о| — мл 1 ил е " о| (1+л,л)о — е " л| (! — л„)' (96.11) (96.12) (96.13) (96.14) Чтобы решение (96,6) трех уравнений (96.5) можно было рас- сматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения (7(х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках Х=О и х=1 удовлетворяли краевым условиям (96.7') и (96.7"), т.
е. ф, (О) = ф„(О), ф', (О) = ф'„(О), 'Фи (() = ф!! ! (1) ф!! (1) = — ф1Н (1). (96.8) Подставляя сюда значение функций из (96.6), получаем А+В = а+ р, % 9б! постлновкА пеовлемы н пеостеяшив случли 4!9 Если энергия частицы Е больле высоты барьера У, то показатель преломления и действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны !'В," равна (!+л )г+(! — л )г — 2(1 — ль)асов(2гг л !) ' а интенсивность проходящей волны 1бль, )а," —, ', . (96.15') (1+л )г+(1 — л )г — 2(1 — л- ")л сол(2л л 1) Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне (Уо), отраженной (г',) и проходящей (г'„). Из (29.6) имеем )л=- — ~а('.
(96,16) н — 1, ~ г— Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих =~ В ~2=12 (96.17) называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих дь !А," (96.18) называют коэффициентом прозрачности ба рьер а. Из закона сохранения числа частиц (уравненне непрерывности для тока) следует, что Я+0=1 (96.19) (приведенные выше выражения для Й и Р позволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства). По классической механике, если Е) У, должно иметь место Я=О, 0=1: барьер совершенно прозрачен.
Из (96.15) следует, что (В !' г~ О, поэтому в квантовой механике В ) О, 0 ( 1. Часпгицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны на границе двух сред. Если энергия частицы Е меньше высоты барьера У . то по классической механике имеет место полное отражение 0=0, В=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера.
В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду. Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле при полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отраже- 420 пРОхОждения микРОчАстиц чеРез потенцплльныи еАРЕЕР (гл. хш ние, и если эта среда представляет собой очень топкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в случае Е((7 (случай отражения) приводит к выводу, аналоги шому выводу волновой оптики (см.
аналошш () 66). Действительно, если Е((7, то показатель преломления гг является чисто мнимой величиной (см. (96.4Ц. Поэтому мы положим ,Ги„,— Е Гг,я = Г ~ Пм ~ =1 ~/ Е Внося это выражение для пя, в (96.14), вычислим теперь ~а ~в. Тогда с штая е' "» г ~ 1, получаем 16(л, и за (1 +,' л,„ е)е Ооознаюя первый дробный множитель через Р, (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение Й„полу ~аем р р, я( к(~ ) (96.22) Таким образом, при Е ((7, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название т у ни ел ь ног о эффекта '). Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда Р не слишком мал, т. е, когда — ) '2р ((/ — Е) 1 1. 2 Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для ((„— Е 10-н эрг (около десяти электрон-вольт), (г 1О-"г (масса электрона) н 1=-10-' слг, нз (96.22) получим Р=е-'. Но если мы возьмем, например, 1=-1 см, то из той же формулы га" получим Р е '".
Увеличение массы частицы н превышение (7,„ над Е еще более уменьшат Р. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы — квантовая механика переходит в классическую. Формулу (96.22) для коэффициента прозрачности Р, выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Мы произведем сейчас это обобщение простым, хотя и не вполне строгим путем. Пусть мы имеем потенциальный барьер (7(х), изображенный на рис.
76. Представим его приближенно в виде совокупности ') Впервые зто явление было рассмотрено Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовпчсм в связи с квантовой теорией аигармонического осцнллятора (ср. конец 6 67). ф в?1 клжущляся пАРАдОксАльнОсть «туннельного эФФектА» 421 прямоугольных барьеров с шириной [(х и высотой с?(х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х=х, и покидает его в точке х=хе.
Согласно (96.22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен , — —, У 2М [и [«1 -Е1 Лх 2 Р'=Р;е (потенциальная энергия 0(х) должна быть достаточно плавной, чтобы г(х можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для Р' сложатся, и мы получим') — — ~ тгем [и 1«1 — е)их 2 А Р— Рв х, (96.24) 9 97. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта» Прохождение частиц через потенциальные барьеры представляется на первый взгляд парадоксальным.
Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера (7,„, должна иметь отрицательную кинетическую энергию Т = —, р 2м ' ибо полная энергия, как это имеет место в классической механике, является суммой энергий кинетической и потенциальной: Е= ~ +(7(х). 2и ра В области, где (7(х) ) Е, — — (О, это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы.
Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кинетическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннельного эффекта». На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен. Дело в том, что, поскольку туннельный эффект есть ') Эта формула может быль получена более строго методом квааикласси ческого приближения [й 3?). Саь также В.
П а у ли, Общие принципы волне. вой механики, Гостехиадат, 1947, 4 12. 422 пРОхОждеиие микРОчАстиц чеРез пОтеициАльныи БАРьеР !Гл. хч! явление квантовое (при й-~ О коэффициент прозрачности 0 (96.24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рамках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий ра только па основе классической механики.
Формула Е= — +У(х) 2р предполагает, что мы одноврелгенно знаем величину как кинетической энергии Т, гпак и погпенпиалоной (У(х). Иными словами, мы приписываем одновременно определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой механике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный па возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) н потенциальной энергии (функция координат).
Нам остается лишь посмотреть, не может лп все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. Обнару!к~!ть частицу внутри барьера действительно можно, даже если Е(1/ю; однако коль скоро фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе (Лр)', так что уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е (ср. Я !4, 15). Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину 1, определяемую равенством (96.23).
Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью Лх(1. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса (Лр)" > Аз ггз ) = —. Подставляя сюда 1Я из (96.23), находим 4 (Лх)е 4И (97.1) т. е. изменение кинетической энергии частицы, вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, которой сй недостает до высоты барьера (I . Припсдсм сщс пример, иллюстрирующий зто утисрждеиие. Пусть мы желаем определить коордипату частицы, находящейся ииутри потеициальиого барьера таким путем, по будем посылать узкий пучок сосга и иапраилеиии, перпеидикулярпом к иапраплспию дпижеиия частицы. Если пу юк рассеется, то, зиа ~ит, па его пути попалась частица. Как обьяспялось чышс, точпосгь нашего измерения доллап быт~ такопа, чтобы Лх -. й с другой с~орины, нельзя создать пучок саста, ширина которого была бы чеиьше длины осе!ооой полны Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
