Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 77
Текст из файла (страница 77)
9 90) н правилом умножения матриц, нетрудно получить правила отбора для квадрупольиого излучения. Имеем (ХХ)11 = ~ (Х)Р1- (Х)1"1 1" ФОТОЭЛЕКТР!!ЧЕСКНП ЭФФЕКТ 407 Так как магнитный момент атома значительно меньше электрического, то и магнитное излучение приводит к очень малой вероятности перехода, т. е, также к метастабильным уровням. Таким образом, в атомах квадрупольное излучение и магнитное излучение существенны лишь в том случае, когда дипольное излучение запрещено правилами отбора.
В атомных ядрах, испускающих у-лучи, запрещение диполь- ного излучении является обычным делом. Поэтому излучение у-лучей зачастую обусловливается квадрупольным или магнитнь|м моментом ядра '). 9 95. Фотоэлектрический эффект В этом параграфе мы рассмотрим теорию фотоэлектрического эффекта на атомах. Задача, стоящая перед нами, заключается в вычислении вероятности ионизации атома действием световой волны и в определении углового распределения вылетающих электронов. Таким образом, речь идет о переходе электрона из нормального уровня (нижний уровень дискретного спектра) в уровни непрерывного спектра.
Энергию нормального уровня обозначим через Е, (Ео ( 0), а соответствующую волновую функцио — через ф,(г). Волновые функции непрерывного спектра, принадлежащие энергии Е, ввиду большого вырождения можно брать весьма различным образом, лишь бы они образовывали полную систему ортогональных функций. Мы возьмем такие функции, которые встречались нам в теории упругих столкновений, т. е.
суперпозицию плоской волны, с определенным импульсом электрона р (р,, р,, р,), и волны, рассеянной атомом. Для больших расстояний от атома такие волновые функции будут иметь вид (ср. 9 78) (уау -)- и у-)- у «) — !ат~ !)!р р р (г) = сопз1 е ' + !Ту Р у (8, !Р) — ~, (95. 1) где и — волновое число. Такого типа функции являются одной из возможных форм волновых функций стационарных состояний непрерывного спектра.
Энергия Е состояния (95.1) будет равна Е =~~ = е — „(Руа+Руе+Рта) (95.2) Функции (95.1) будем считать нормированными к б (р, — р„'), 6 (р„— р„'), 5 (р, — р,'). Возмущение, вызывающее переходы, согласно (94.3), возьмем в виде )и'(г, 1) = — — Аэ!, (95.3) !) Подрооности об этом см. в Книге Г. Бете, Ф. Моррисон, Элементарная теория ядра, ИЛ, )958, стр. 2?О. 408 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА 1ГЛ ХН где Д вЂ” вектор-потенциал световой волны.
Волну мы предположим монохроматической и возьмем Д в виде Д Д Е!)гоà — Ег)+ Д Е вЂ” Г)ог) — )гг) 1 . 1 о 2 о (95.4) где (4 есть волновой вектор волны. Так как волна поперечная, то б(у Д = О, т. е. До(4 = О. (95.5) пРичем сюда входЯт лишь такие значениЯ импУльса Р„, Ро, Р„ которые удовлетворяют резонансному условию Š— 2 2 (Рго+ Ро+ Рг) = Ео+ Йо) (95.8) Переходы в другие уровни Е невозможны. Замечая, что Е,= — 1, где 1 — работа ионизации, мы можем переписать (95.8) в виде — — = 1)о) — 1. Р' 2)г (95.9) Это есть рравненае Эйна))пейна длл фотоэффекта на ал)оме. Для того чтобы получить окончательное выражение для Р,(Е, 0, о)), необходимо вычислить матричный элемент (95.6).
Для этой цели необходимо знать волновую функцию исходного состояния ф, и функции непрерывного спектра )()Р „Р . Допустим, что мы интеуоуог ресуемся фотозффектом с К-оболочки (тогда — Е, = 1 есть ионизационный потенциал К-оболочки). Эта оболочка расположена близко к ядру атома, и поэтому (пренебрегая взаимодействием двух К-электронов) можно взять для )ро функцию нижнего Для вычисления интересующей нас вероятности перехода мы можем прямо применить формулу (84.24), так как последняя как раз выведена для переходов из дискретного спектра в непрерывный под влиянием возмущения, гармонически зависящего от времени.
Понимая в (84.24) под Е„ энергию нормального состояния атома Е,, под импульсом р,, ро, р,(р, 0, го) — импульс фотоэлектрона, мы должны согласно (95.3), (95.4) и (84.12) взять в качестве матричного элемента возмущения величину Тогда вероятность перехода электрона в 1 сок из состояния Е, в состояние Е = Ео+йо) с импульсом, лежащим внутри телесного угла Ю будет равна Ро(Е, 0, оо)о(о= " н) '(Ео+йо))'~))уо о„о,;о~'Г(Й, (95.7) оотоэлектрпчискни эс искт 409 Э 951 уровня Е, для движения в кулоновском поле. Это будет (п=1, 1=т=О) гс (га РЛ а тро=ф,со= ( —,.) е (95.10) где 2 — номер элемента, а а — радиус первой боровской орбиты.
Такая функция будет весьма близко аппроксимировать истинную. Мы ограничимся весьма грубым приближением для функций непрерывного спектра. Именно, мы будем попросту пренеб- 'Й регать изменением плоской вол- 1 ны вблизи атома благодаря действию его поля и соответственно 1 этому вместо точной функции возьмем невозмущенную действием атомного поля плоскую волну /Я . т )г/Я (р «-(.р„дер г) д У1 и (р лк (нормирована по р к 6-функ- Р ции).
Такое приближение мало Р у р Рис. 74. Расположение векторов годится для точного расчета, од- л„к и р при фотоаффектс. пако все же в нем еще сохраняются существенные черты явления. Оно будет тем лучтйе, чем больше энергия фотоэлектрона, т. е. оно пригодно для Е ~.
— Е, =У. При таком предположении о функциях непрерывного спектра матричный элемент (95.6) может быть вычислен без большого труда. Подставляя (95.10) и (95.11) в (95.6), мы получим р~р„Р р 'о ргт / г( = — — — ~ — ) ' ~ е ( ')Ас'(ее ')дхс(ус(г. (95.12) 2рс (2ла) Л,лаа/ Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ, а электрический вектор (поляризация) направлен по оси 02. Тогда ОХ есть направление вектора й, а Ол — вектора А,.
Тогда А, = О, О, А„ и, следовательно, (рр рр;о= рй гт гае 1 )са'('/* 2 Г ~(и-а т и — — — А, — ~ е ~ а)' — е ' с(хе(ус(г. (95.12') 2рс (2ла)и* лаа/ а т Расположение векторов (с, р, А, дано на рис. 74. Для выполнения интегрирования в (95,12') возьмем вектор Ж вЂ” р за полярную ось сферической системы координат 6), Ф. 4!О излучение, пОГлОщение и РАссеяние светА 1Гл.
Лу Если ось 02 в этой системе имеет углы О', Ф', то г=(г). =гсоз(02, г). Косинус угла между 02 и г, если вектор г имеет сферические координаты О, Ф, будет равен соз(02, г) =созОСОЗО'+з(НОВ)НО'сов(Ф' — Ф). Угол между ГГк — р и г есть О.
Поэтому (95.12') можно записать в виде ио ! ~ г')чт г %РР Р Р;о= — ° ( — ) Ао — У (95.12") ." У л' 2НО (2ЛА) Л (,ЛаО,/ а где оо л 2л 0=~ 0,! !0ОГак ° О1" ° ~'*" ° ~ ЛО О ~- о о +з(п021п6' соз(Ф' — Ф)). (95.!3) Интеграл по Ф от соз(Ф вЂ” Ф') дает, очевидно, нуль, поэтому о У=2псоз6' ~ гог(г ~ Г(ОЗ(пйе! "! ' созО. (95.!3) о Ь Вводя переменную $=созО и обозначая ~ й — ~ ~г через д, мы я получим +', го У = 2п соз 6' ~ г' Г(г ~ $ ~(~е о — ! и, выполняя здесь простые интегрирования, найдем окончательно 8л! ~к — л- ~ ,/=созΠ—, (95.13") '2' ~ р ~-'~2' Остается выразить созО' через углы в той системе координат, где за полярную ось принято направление распространения света (ось ОХ, вектор к).
Пусть угол между плоскостью, образованной векторами р и к — Р и плоскостью 2Х, будет ор (см. рис. 74). Угол между йк и йк — р пусть будет 0'. Обозначая еще угол между ОХ и р через 0, мы получим из сферического треугольника со сторонами О', 0' и л 2 соз О' =з(п0' созор ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 41! $931 и из треугольника со сторонами йк, р, йк — р 91п 8' = 91п 8 ( л1с — р( ' Поэтому (95.14) На основании (95.12") (Р'Р Р Р ; й = — ч ( — ) Ай — 2.
е е з(пйсоз<р. (95.15) Далее, к — — ~ =-й + —; — — „— созВ. р 19 ре 29р яе Из закона сохранения энергии (95.9), считая, что — ~ 1(зто— ре 2и условие применимости нашего приближения), мы найдем — = — = йй. ре аФ 2рс с Обозначая через о скорость электрона †, получаем лй = — р и, р й и' стало быть, ! ~ — а ~ = ~д (1 — — СОЕВ+4сг)' Мы оперируем с нерелятивистской теорией, поэтому пригодность наших формул ограничена не только со стороны малых скоростей (рое/2~ е'), но и со стороны больших. Необходимо, чтобы скорость фотоэлектрона была значительно меньше скорости света с.
Поэтому членами порядка рй(се следует пренебречь (учет их находится за пределами применимости нерелятивистской теории). Поэтому ~ 1с — Р ~ = Р, ( 1 — — соз В) . (95. 16) Заметим, что мы еше можем отбросить член е,е/ай по сравнению рн р' с ~ 'и — — ~ . В самом деле, ~ к — — ~ —, а а= —. Следовая~ Яе ней ' тельно, 29 Е~р-"е' 2И 2ерее ае ае яе 2»' Но, согласно формуле Бальмера, хере' — ' — = — Ей=! 2ае = й е 412 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОШЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА !ГЛ. ХУ Подставляя, наконец, это значение матричного элемента в выражение для вероятности (95.7), мы получим') Р (Е,д, )(а= "'""""' А !'2-')' '""""""""'р (а.
(95А8) ре (! — — соэ В~) с Вместо Ае можно ввести поток световой энергии. Из (95.4) получаем электрическое поле гэ: Ж= — — — = г Ааэ)п(ю! — 1сг). 1 дА ы с д! с- а Величина магнитного поля 7ь" такова же, и так как оно перпен- дикулярно еэ, то вектор Пойнтинга $ равен по величине Я 4 че' 4 — — а Ае з!и (ю1 — (сг), Среднее значение его равно 8че А;е= — е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
