Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Эту аналогию мы можем продолжить, если рассмотрим изменение по времени электрических моментов 0 „, взяв их в гайзенберговском представлении. Мы считали 0 л не зависящим от времени и зависимость от времени переносили на волновые функции. Напротив, можно считать волновые функции не зависящими от времени, а зависимость от времени перенести на операторы (матрицы), как это было в общем виде для любой механической величины пояснено в 9 42. Тогда мы имеем 0 л(()лл0 л(0)е!" =0 ле Соответствующее представление в классической теории означает, что временные множители е! л' в (89!8) мы включаем в Р„: РА(1) =РА(0) е Ем!=РАе~ л~. (89.8') Таким образом, классически движущаяся частица в отношении излучаемого ею поля может быть характеризована однорядной последовательностью гармонически колеблющихся диполей (89.8'): (89.9) с частотами ВЧ=ЫО !В!=2!ВЛ, ° Гал= ПЫЛ, ..., (89.9') нл „! рн рдл Лл, ! р мел! лле 0 (() = (89.
10) нл с частотами бл! Ел Ымллл а "в (89.10') также образующими матр ИЦУ !л!л о (89.10') Сла! млл " Лллл представляющими основной тон н обертоны системы. Квантовая же система характеризуется в отношении излучения также совокупностью гармонически колеблющихся диполей, но образующих гораздо более богатое многообразие.
Именно, всю совокупность этих осцилляторов можно представить матрицей электрического момента ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 38! % ьз) Диагональные элементы Р„„(г) матрицы О(() не зависят.от времени, так как Ф„„=О, и представляют собой средний электрический момент атома в и-м квантовом состоянии. Недиагональные элементы определяют излучение атома и колеблются с боровскими частотами. Таким образом, мы приходим к комбинационному принципу Ритца, выраженному в (89ДО"), согласно которому частоты атомов выражаются как разности термов--, в проЕм а тивоположность выводу классической теории о кратности всех частот ша некоторой основной частоте шо.
Еше задолго до квантовой механики Н. Бор высказал предположение, согласно которому амплитуды классических осцилляторов О„могут служить для определения интенсивностей и поляразации излучения квантовых систем. 3то предположение носило название п р п н ц и п а с о от ве тст в и я. Однако до создания квантовой механики применение этого принципа было весьма неоднозначно н, по л>еньшей мере, двусмысленно. В самом деле, в теории Бора квантовые движения представлялись как движения по квантованным орбитам, Классические амплитуды 0„относятся к движению по какой-либо одной определенной орбите. Они будут получены, если мы разложим в ряд Фурье радиус.вектор г (() частицы, движущейся по и-й орбите. Излучение же происходит при переходе из одного квантового состояния в другое, говоря на языке с>арой боровской теории, при переходе с одной орбиты (л) на другую (т).
Какое из двух движений следует разложить в ряд Фурье, чтобы получить коэффициенты Фурье Оа, определяющие излучение, — на это нельзя было дать ответа. Однако применение принципа соответствия к переходам межлу уровня>в с большими квантовыми числами (л Б 1), сопрово>кдаюшимися малыми изменениями квантового числа (' л — щ ) = ( й~ < п), было вполне рационально. При больших квантовых числах л квантовые орбиты лежат очень близко друг к другу, образуя практически почти непрерывную последовательность классических неквантованных орбит. Лля переходов между такими орбитами, по. скольку изменение числа и малб, можно было однозначно пользоваться принципом соответствия, считая, что интенсивность излучения определяется классическими компонентами Фурье 0а, поскольку ввиду малого различия в и-й н щ-й орбите безразлично, накос нз этих двух движений подвергнуть разложению на гармонические составляющие для определения амплитуд отдельных тонов и обертонов, т.
е. величин 0а. Существенным затруднением для теории Бора являлась невозможность вычислить интенсивность излучения для малых квантовых чисел н для больших их изменений. В этой типично квантовой области переходов принцип соответствия отказывался служить, и попытки распространить его и на малые значения л вели к двусмысленным результатам, в лучшем слу.>ае позволявшим сделать нс количественные, а лишь качественныс высказывания о характере излучения. Ранее мы, исходя из теории Эйнштейна, пришли к заключению, что квантовая система поглощает и излучает, как совокупность классических гармонических осцилляторов с компонентами Фурье электрического момента, равными 0 „с" ° .
Следовательно, для вычисления поглощения или излучения света квантовой системой нужно вычислить поглощение или излучение классических 382 излучение, пОГлОщение и РАссеяние светА [Гл.хч осцилляторов с моментами Р„,„е . Вычислив энергию, поглойо щаемую или излучаемую в 1 сек, и разделив ее на величину поглощаемого или излучаемого кванта света йы =- ń— Е„мы получим вероятность соответствующего квантового перехода в 1 сек.
Это утверждение может рассматриваться как современная форма принципа соответствия между квантовой и классической теорией излучения. 9 90. Правила отбора для дипольного излучения Может оказаться, что некоторые из электрических моментов Р „равны нулю. Тогда переход т- и под действием света не реализуется и соответствующая частота ьз „не поглощается и не излучаешься, несмотря на то, что уровни Е и Е„существуют. В таком случае говорят о п р а в ил е от бо р а, т. е.
о правиле, которое как бы отбирает из числа всех мыслимых переходов Е,. Е„только некоторые, в действительности реализующиеся. Следует иметь в виду, что переход невозможен лишь под действием таких возмущений )р', матричные элементы которых пропорциональны Р„,, Так, например, какой-нибудь переход т, — и, невозможный под действием света, вполне может быть реализован в результате столкновения с электроном. Сейчас мы рассмотрим свойства матриц Р „для важнейших случаев и выведем правила отбора для. поглощения и излучения света.
А. Правила отбора для осциллятора Пусть мы имеем осцнллятор с массой р, собственной частотой ы, и зарядом е. Квантовые уровни Е„такого осциллятора определяются формулой Е„=йсоо(п+ ~), и=О, 1, 2, 3 °" (90.1) Элементы матрицы электрического момента должны равняться Р „= ех „е'" = ех„„е'"~ < — ю', (90.2) где х,„„суть элементы матрицы координаты. В 9 48 мы вычислили матрицу координаты и нашли, что элементы ее отличны от нуля лишь для т=п-+ 1.
Поэтому мы получаем правило отбора (90.3) Р „~0 лишь прн т=п -1, а соответствующие частоты будут равны ы „=ы,(т — и) = + ы„ т. е. собственной частоте осциллятора. $901 ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 383 > л Пользуясь (48.9) и обозначая В,=ехь=е17 —, мы можем имо ' написать матрицу Р(() в гайзенберговском представлении в виде О В с' '> (> ,> О О ...
г> е — »» )>'~~„О >З >аа>)> 2> О ... О Ов -'~' (г>( О >З,Р"> У">, (90.4) А)) )>> „~ ~>> П+ —, (90.5) т. е. для не слишком больших амплитуд колебания. Следует заметить, что реальные осцилляторы при больших амплитудах колебания (большие и) становятся ангармоническнми, и это уже само по себе может служить причиной нарушения простого правила отбора. Б. Правила отбора для оптического электрона атома Рассмотрим матрицу электрического момента для электрона, движущегося в поле центральных снл. В этом случае волновые функции стационарных состояний имеют вид ф„> (г, О, >Р) =>т„>(г)Р> (сов О)е>"'Р.
(90.6) Нам нужно вычислить матрицу электрического момента относительно этой системы функций. Так как матрицы компонент электрического момента отличаются от матриц координат электрона только множителем — е, то мы будем вычислять эти последние. КРоме того, оказывается удобным вычислять матрицы не от х, у, г, а от комбинаций $=х+>у=гз>п8 е>т, п=х — (у=гз>по е-">, ь=г. (90.7) Таким образом, ос>(пллятор может поглощать и излучать только собственну>о частоту ь>ь (так же, как и в классической механике). Установленное правило отбора справедливо не всегда.
Мы должны вспомнить, что наши расчеты взаимодействия со светом базировались на предположении, что длина волны света Х гораздо больше размеров системы а. Только при этом условии взаимодействие со светом выражается через матрицу электрического момента. Размеры осциллятора определяются его амплитудой. По >" я > ! порядку величины они равны ~~ — "у и+--. Поэтому правило нм, г> 2' отбора (90.3) применимо лишь при условии 384 излучение, поглощение и РАссеяние светА сгл.хч Пользуясь функциями (90.6), получаем Епгт, л'1'т' — ~ о и 2л п.,л„, 'и'оие.пе о 'оио1 ы ° -"' о ° ио,~ о а и 2л ппп., и 12,"игп" оиоси -"'т ° -пио.
1 о о Я„сй„т гас(г'о'Рс"Рс з(пбсозбс(б ~ е'с — 'гтс(ор. ~ о о ! (90.8) Чист,л С о Елгт, п'С'ол' = ~ о Интегралы по гр берутся, очевидно, сразу: 2л 2л ~ е'гт — и гтохгчггЧг=2ибт — г т, ~ есг'л-ио'госггР=2ибопст. о о Вводя обозначения ~ ЙпРпс г'с(г=Улс,иго о (90.9) (90.10) ~ РспРР 21побйб =-Бсс о (90.!1) ~ Рс"Рсрз(п 0 соз 0 сгб = Ссс~', о (90,12) мы можем переписать матричные элементы (90.8) в виде с тт' авист,пгт =2П/пс,пг" ВП бт,т — г ттт' Ч.ст,'Ст =2Я)ооьлс" 811 бт.ол (90.13) (90. 14) т' — и= 1-1 или О.
Исследуя интегралы 811' ' и Ссс, мы можем установить еще правило отбора для орбитального квантового числа 1. Для этого следует установить условия, при которых эти интегралы не обращаются в нуль. Рассмотрим сначала интеграл Ссг . Нас интересует тис елст, л'с'т' = 2п1лг, и'1' ' Сй' ' боп, т" (90.15) Эти формулы дают нам сразу правила отбора для изменения магнитного числа и. Матричные элементы $ отличны от нуля лишь для пг' =и + 1, элементы 21 для пг' = пг — 1 и элементы е для пг'=ш. Таким образом, возможны лишь переходы, при которых магнитное число изменяется по правилу е ео! прлвилл отпоил для дипольного !!злю!ения 385 лишь тот случай, когда т'=гп: Сй = ~ Р! Р!' соз 8 з)п 8 е(В, о (90.
16) Вводя переменную х = сон 8, получим -!- ! С7! = ~ Р7(х)Р, (х)хе(х. — ! (90.16') На основании свойств сферических функций имеем хР!" (х) = а!„Р!".'р ! (х)+ Ь! Р! ! (х), (90.17) где а, и Ь! — некоторые коэффициенты'). Имея в виду, что функции Р7 ортогональны между собой, и подставляя (90.17) в (90.16'), найдем, что Са" имеет вид С7!"'=амб,,!е!+д! б,, „ (90.18) и, следовательно, С!7!'" не равны нулю прн 1'=1+ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
