Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, мы получаем, что (У" „(ГВ „) = — о (ГВ „) . (ОО „), (87.9) где через е (ГВ .) обозначена компонента Фурье от сэ (1), принадлежащая частоте 88 „т. е. величина +со г о(88„„)= — ~ Ж(!)е '"ш' Ш=-- ~ о(1)е '" 'Ш. (87.10) Следовательно, вероятность перехода из Е„в Е„, согласно (87.6), равна Р „= а, ~со(88„„)!~',1О „~. (87.11) равна +ос -(-оо +со -~-со Е= — ~ 88(1) ПГ=-' — ~ Ш ~ М(88)еооУГ(88 ~ Жо(88) '"'8(ГВ'. (87.12) Интегрируя сначала по 1 и замечая, что +со ~ е'Во — еч 8(8 =2пб (о> — 88'), КВадрат КОМПОНЕНТЫ ФурЬЕ ЭЛЕКтрИЧЕСКОГО ПОЛЯ /Е (ГВ о))8 МЫ можем выразить через количество протекшей за время Т энергии.
8 (Г) В самом деле, плотность электромагнитной энергии равна— 4п (знаменатель 4п, а не 8л, так как имеется еще равная электри- 888(0 ческой магнитная энергия). Поток энергии равен (где 4п с — скорость света). Отсюда вся протекшая через 1 см' энергия 374 излучение, поглощгние и РАссеяние светА !Гл.хч найдем, что +СО Е= с 2 ЦЕ( )6ж( ')6( — ') ЬЫ= чс~ сж 2 о (так как Е (в) = Еж ( — в) ввиду действительности е (г)).
Если через Е (в) обозначить протекшую энергию на интервал частоты г(оз, то Е= ~ Е(оз) йо; о сравнение с предыдущей формулой дает: Е(ы)=с~В(ьз) ~'. Таким образом, (87.13) 4л' 1 ~о Е (оЬжж) (87.14) С помощью (87.15) находим, что вероятность перехода в единицу времени будет равна р „= ао ~10 „~'р(ы „). (87.16) Обозначив еще угол между вектором электрического момента 0 „ и направлением поляризации светового поля 1через О „, мы получим окончательную формулу для р„„в таком виде: 4л' р,„„=- —,, ~ 0„„~ соз е,„„р(ы„„).
(87.16') Из этой формулы мы видим, что для вычисления вероятности перехода достаточно знать матрииу электрического момента 0 „, Количество протекшеи энергии Е(оэ) равно, очевидно, плотности лучистой энергии р(в) на единичный интервал частоты оэ, умноженной на скорость света и время протекания энергии Т, т. е. Е (оз) = р (ы) сТ. (87.15) На основании (87.14) и (87,15) мы можем определить вероятность р„„перехода из состояния Е„в Е в единицу времени.
Для этого нужно разделить Р „на время, в течение которого действует свет, т. е. на Т: рт Ржж = —. Т коэффициенты нзлэчсния и поглощения 375 целиком определяющуюся свойствами рассматриваемой атомной системы. К этому важнейшему обстоятельству мы еще вернемся в дальнейшем, а теперь установим связь вычисленной нами вероятности р„,„с коэффициентами Эйнштейна, рассмотренными в й 5. $88. Коэффициенты излучения и поглощения Согласно теории Эйнштейна вероятность поглощения кванта света йв==Š— Е„, имеющего поляризацию а н распространяющегося в телесном угле Ю в 1 сек (см.
(5.2)), равна е(Ч7,=Ь„,р„(о), й) еЯ. (88.1) Мы же получили вероятность р „в предположении, что волна плоская, распространяющаяся в некотором вполне определенном направ- мл ленин. Соответственно этому у нас в формулу для вероятности входит лишь ,у'/ спектральное распределение, а не ф распределение по углам. Общая связь .- ф/ между ра(м) и ра(оо, Я) есть ра(оа)= — ~ра(а, И)еИ. (88.2) (г Так как р,(ы) конечно, а р,(ю, 11) 172 в нашем случае отлично от нуля омл лишь для одного вполне определенного направления, то плотность р,(го, Й) должна в отношении угла Я носить характер б-функции: у Ра (го~ ) = — Ра (ы) ( ) ( ' ) ряс, 7О.
Выбор независимых Интегрируя (88 3) по й(1 и пользуясь поларюацяя 1» 1а. (88. 1), находим вероятность поглощения в 1 сек для волны, распространяющейся в определенном направлении (без раствора лучей): )Ра ЬааРа (<~). (88.4) На основании закона сохранения энергии вероятность поглощения кванта света йго „должна быть равна вероятности перехода атома из состояния Е„в Е„, т.
е. %'„=р „. Сравнивая (87.16') и (88.4), находим, что коэффициент Эйнштейна Ь„„для абсорбции света равен т лп а 2 Ьаа — )а ~ 0яа ~ соз с па. (88.5) Нам нужно теперь подробнее разобраться в значении той или иной поляризации света. Формула для вероятности перехода р „ зтв ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. ХН (87.16') получена в предположении, что свет полярнзован в направлении 1, образующем угол 0 „ с направлением электрического момента 0 „. В коэффициентах же Эйнштейна Ь„„ индекс а (а = 1,2) указывает на принадлежность поляризации к одной из выбранных за независимые 1, или 1, Мы можем без всяких ограничений выбрать в качестве первого направления 1,(а= 1) направление, перпендикулярное к лучу и лежащее в плоскости луча и вектора 0 „, а в качестве второго 1Е (а = 2) — направление, перпендикулярное к этой плоскости (рис. 70).
Полагая ! = 1„ получаем Втл й Ьюл где 0 „есть угол между вектором поляризации 0 „и направлением распространения поглощаемого излучения. Йз (88.5) тогда получаем (88.5') Полагая 1= 1„получаем В„„= — ", т. е. Ь„",=О. (88.5") Пользуясь формулой (5.11), определяющей отношение коэффициента спонтанного излучения а" к коэффициенту индуцированного излучения Ь" =Ь„„(см. (5.7)), мы можем написать вероятность 4(УР", спонтанного излучения кванта света ла = ń— Е„ поляризации и в телесный угол дй в виде дВ",= а 4Ж = в — „,, Ь" 4(() =~в „,, Ь„;лей, (88.6) где ге= „"=о „.
На основании (88.6) и (88.5') получаем (88.7) для света, поляризованного параллельно 1„и СИ7;, = О (88.7') для света, поляризованного параллельно 1,. Чтобы получить полную вероятность спонтанного излучения при переходе из состояния Е в состояние Е„, нужно проинтегрировать НУР'„', по всем направлениям распространения. Производя это интегрирование, получаем 4в" „ (88.8) коэощпнпвнты излучения и г!Оглощегп!я 377 Если уровни Е и Ел вырождены, то одна и та же частота ю „ может излучаться путем различных переходов из Е в Ел. Суммируя (88.8) по всем этим переходам, мы получим полную вероятность излучения частоты оз л в 1 сек.
Мы ее обозначим через Величину Ал называют также к о эффи ци е н том Эй н ште й н а для гпонванного излучения чагглошы ымл. Наряду с Лл вводят соответствующий коэффициент для поглощения изотропного, неполяризованного излучения частоты ымл: лл (88.10) где сумма взята по обеим поляризациям (и=). 2) и по всем переходам из УРовнЯ Ел в УРовень Ем. Величина гл означает степень выРожденнЯ УРовнЯ Ел.
Интеграл взят по всем направлениям распространения света. Подобным же образом можно ввести коэффициент В„", для индуцированного излучения Вж= —,7„' ~ Ь,"„„а. лл (88.10') (л Вл л )лл л ж пега лг (88.11) ) в",„=) в„", Величина А" определяет продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии. Если к моменту времени 1 мы имеем У„атомов, находящихся в возбужденном состоянии Е, то среднее число атомов, спонтанно переходящих в нижнее состояние Ел, будет за время г(1 равно г()т' = — А,"„7тг г((, откуда л лмг а т у =у'е '" =-Лг" е 'лл, (88.12) где ! т = Ал (88.13) Из этих формул следует, что т „ есть средняя продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии Е .
Из (88.9) получаем Зсаа 4го' Ч' ~ )У )з ' (88.14) где 7" — степень вырождения уровня Е, Пользуясь свойствами Ь"„, Ь~„и а" „, легко доказать, что ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 4 ВВ 379 9 89. Принцип соответствия + аэ х (1) = ~ч~ х»е'~», (89.1) в» = в»А, й = и1, +2, ..., х» = х' »,' в, будет основной частотой, а ⻠— частотами обертонов. Полагая х»= )х»)е'~», мы можем записать (89.1) в форме х (7) =- ~~ ', 2 ~ х» ( соз (в»1+ гр»). (89.1') »=! Электрический момент частицы 0 равен ех((), т.
е. 4- со СО Р(1)=- ~ Р,е' »'= ~', 2)Р»(соз(в»1+гр»), (89.3) (89.2) где Р» = ех,. Интенсивность излучения частоты в», его распределение в пространстве и его поляризация определяются членом 0„„= 2 ~ О» ~ соз (в»1+ <р»). (89.4) Средняя энергия, излучаемая таким днполем в телесный угол йП, равна г((- -) = — — (0„,)' 91п' В т(а, (89.5) а полное излучение равно ВЕ 2в' » (О (89.6) где (0„„)9=4 ~0» Цсоз(в»1+»р»)19=2',О» ~9. Таким образом, мы получаем вместо (89.5) и (89.6) 798~ в» »( (--) = — (0» ~9 з(п» 0 г(П, ~е7) — 2. ВЕ 4໠— =--Ф~0» ~'.
е) зс» (89.7) (89.5') (89.6') Рассмотрим излучение заряженной частицы (заряд — е), движущейся согласно законам классической механики. Для простоты ограничимся случаем одного измерения. Период движения пусть 2л будет т, = †. Обозначая координату частицы через х(1), мы разва ложим ее в ряд Фурье 380 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩГНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА !ГЛ.ХУ Из сопоставления этих формул с (88.15) и (88.16) следует, что матричный элемент электрического момента 0 „является полным аналогом классических компонент Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
