Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Соответственно этому число индексов у волновой функнии будет больше ф,, „,... а) Исключение представляет случай, когда о есть интеграл движения. , Гаг Тогда фл(х, Г)= — ф,(х)е " и в состоянии фа(х, 0 опять имеется единственное значение й=й„. 359 ПОСТАНОВКА ВОПРОСА з вз1 О системах, которые оказались принадлежащими ансамблю с !. = 1 (те и), говорят, что они совершили квпнтовый переход из квантового состояния и в квантовое состояние т. Сказанное может быть иллюстрировано схемой: 1=0 — ф (х), У.=Е, ф=фа(Х)-ьф =«Р»(Х, !)=-Ч~,'С „(!)ф (Х) """'"" "Ь (А), т =т т ------- тры- (Х), !. = !.т!. =!.„ !.
неопределенно На этой схеме сплошной стрелкой показано изменение ансамбля, происходящее само по себе, без вмешательства измерения, т. е. без осуществления спектрального разложения по признаку !.. Это изменение ансамбля может быть найдено из уравнения Шредингера. На схеме показано, что это новое состояние ансамбля представляет собой суперпозицию состояний с различными значениями Л (сумма по т). Пунктирными стрелками показаны изменения ансамбля, возникающие при реализации спектрального разложения ансамбля в момент !. Как мы знаем (ср. 9 17) такое разложение происходит, в частности, при измерении. Иными словами, пунктирной стрелкой изображена «редукция пакета» (ср, 9 17), при которой суперпозиция «Р„(х, !) превращается в одно из частных состояний ф„(х). Только после этой редукции и можно говорить о квантовом переходе из состояния !.=!.„в состояние, скажем, Л=!..
Таким образом понятие о квантовом переходе обязательно предполагает помимо фиксирования начального состояния (и) также фиксирование н окончательного состояния (т). Хы подчеркиваем последнее обстоятельство по той причине, что это фиксирование меняет состояние систем ансамбля. Такое фиксирование будет происходить при всех взаимодействиях, селективных по отношению к признаку !., т. е. производящих спектральное разложение ансамбля ф„(х, !) по тр (х), в частности, при измерениях величины Ь. Обращаемся теперь к разъяснению понятия вероятности переходаа из состояния и в состояние т. Согласно общей теории (9 22) величина Р (!) =-~с „(!) 1' есть вероятность найти !.=Е в состоянии тр„(х, !) (см.
схему) '). Так как при 1=0 Р „(О) равно нулю, если т =~и (для т=п, Р „(О)=1), то вероятность Р „(!) (т чьи) называют веро ят постыл пе рехода из состояния ф„(х) с 1,=!.„в состояние тр (х) с !.=!.„за время !. Действительно, при тФп Р „(!) дает вероятность найти в момент ! значение !. = Е , которого при ! = 0 в нашем ансамбле не существовало, ибо Р „(О) =О.
Наиболее т) дополнительный значок и у с,„„указывает на начальное состояние. В $22 такого указания не давалось. ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРГХОДОВ 1гл. х!ч важными задачами из теории квантовых переходов являются задачи на вычисление вероятности перехода из состояния с одной энергией Е„ в состояние с другой энергией Е„ или, как говорят, вероятности перехода с одного квантового уровня на другой. В связи с этим заметим, что если частица (или в общем случае система) находится под действием зависящего от времени внешнего поля, то понятие потенциальной энергии, а вместе с тем и полной энергии лишено смысла (это не относится к кинетической энергии).
Поэтому в общем случае вопрос о переходе частицы с одного квантового уровня на другой получает смысл лишь тогда, когда причина, вызывающая переход, действует в течение конечного промежутка времени, скажем, от 1=0 до 1=-Т. Вне этого промежутка полная энергия является интегралом движения и может быть определена путем надлежащих измерений (см. Я 111 и 112). Решение уравнения Шредингера, определяющего ф(х, 1) по ф(х, О), представляет большие трудности. Результаты, имеющие общее значение, могут быть получены лишь в тех случаях, когда переходы с одного уровня на другой вызываются слабыми воздействиями, так что эти воздействия можно рассматривать как возмущение.
При этом условии уравнение Шредингера может быть написано в виде 1М Т = Йо (х) ф + (р (х, 1)»р, (83.1) где Й'(х) ест) оператор полной энергии системы в отсутствие возмущения, а )Р' (х, () — возмущение. При малом возмущении оператор Й'(х) можно рассматривать как оператор полной энергии, и поэтому в этом специальном случае включение и выключение )Р'(х, 1) имеют второстепенное значение. Для нахождения вероятности перехода Р,„„(1) с уровня Е„ на уровень Е обратимся к представлению взаимодействия (см. 2 45). В этом представлении решение уравнения (83.1) ищется, согласно (45.6), в виде (83.2) зр(х, () = е ' ' Ф (х, 1). В дальнейшем удобно перейти от «х»-представления к энергетическому «Е»-представлению. Для этого разложим искомую функцию Ф(х, 1) в ряд по собственным функциям ф»(х) оператора Н;.
Ф (х, 1) = ~ с» (») ф» (х) . Подставим это разложение и формулу (83.2) в уравнение (83.1). Умножая результат слева на ф;„(х) н интегрируя по х, получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия, ПОСТАНОВКА ВОПРОСА $831 записанное в энергетической переменной <й," =- ~) )Р' д(!)Е<" дсд(1). (83.3) < < — к Й.< — — Ед< Здесь принято во внимание, что е " <Рд(х) =е " <Р«(х). Величина У д='й7 д(()е< т«'=с<" д')~4(х) Ф(х, ()<рд(х)<(х (83.4) есть матричный элемент энергии возмущения Тдт (х, () в представ- Е,« — ЕД ленни взаимодействия, а <о д= я — боровская частота перехода Е„- Ед.
В начальный момент предполагается, что система находится в состоянии Е=Е„. Следовательно, при <=0 сд (О) = 1, если й = а, и сд (О) = О, если й ~ п. (83.5) Вероятность найти систему в состоянии Е=Е„в момент времени ') ~ равна ) с„(() (8. Поэтому вероятность перехода из Е„в Е к моменту т равна (83.6) Таким образом, дело сводится к определению величин сд(т) нз уравнений (83.3) с начальными данными (83.5). Мы будем рассматривать Ф(х, 1) как малое возмущение. Для решения уравнения (83.3) заметим, что если совсем игнорировать 1Р', то величины сд (<) будут постоянными.
Поэтому в качестве нулевого приближения для с«(<) можно взять их начальное значение (83.5) с«(1) = б„д. (83. 7) Отсюда с"'(() = — „~ %',(т) е'~ '<(т+Ь„„. о Подставляя это первое приближение для с"' (() в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для второго приближения: «с'-" (<) (й «, = ~~)Р' «(()е'~ д'сд" (<). (83.10) 9 См. 4 22, ,Подставляя эти значения в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для первого приближения с"'(1): И вЂ”,< =,7,)Р д(<)е "дс«=(Р .(<)е . (83.8) твогия квантовых пегвходов !гл.
хш 362 Так как соо'(() суть опять известные функции времени (83.9), то, интегрируя (83.10) по времени, мы найдем с'„с'(1), т. е. второе приближение. Эту процедуру можно продолжать и дальше, н она ведет к точному решению для с (1). Однако, вообще говоря, придется брать много приближений или ограничиваться малыми отрезками времени 1. Если же йг(х, () мало, то достаточно ограничиться первым или вторым приближением. В дальнейшем мы рассмотрим различные специальные случаи возмущений и систем.
$84. Вероятности переходов под влиянием возмущения, зависящего от времени Определим теперь вероятность перехода системы из квантового уровня Е„в Е под действием возмущения К(х, (), зависящего от времени, Допустим, что возмущение равно нулю для (.с 0 и для () Т. Считая, что )Р' „(1) столь малы, что первое приближение пригодно и для (= Т, мы получаем из (83.9) амплитуду с,'„"(() для 1) Т в виде г + со с"' = —.„~ Яг „(т) еоо 'Нтоо —.„~ Яу „(т) еов 'с(т, и ~ и.
(84.1) (Заметим, что с"' для () Т от времени не зависят, так как энергия есть интеграл движения.) Полученное выражение для с"' (1) имеет простое значение. В самом деле, возмущение %'(х, г) может быть разложено в интеграл Фурье + со К (х, () = ~ (г' (х, ы) е-'"' Йо. (84.2) Отсюда по теореме Фурье получаем + со 'йх (х, ь) = — ~ 1Р' (х, 1) екм с(1. 1 (84.3) Ях „(т) =~ф* (х) 1Р'(х, 1)ф„(х) с(хоо +со +со -~- со ~ е слисЬ ~ фо(х) (Р'(х, ы)~Р„(х) дх=- ~ е-'иК „(а)йо, (84.4) Матричный элемент возмущения (83.4) на основании (84.2) может быть написан в виде эм1 пегсходы пги возмэщвннях, злвисящнх от вевмени зоз где )е"„,„(ы) есть матричный элемент компоненты Фурье частоты ы. Применяя к (84.4) теорему Фурье, находим + СО 2~ (84.5) Сравнивая это с интегралом в (84.1), мы видим, что 2я си = й )еал (%лп) (84.6) При этом наше приближение законно, если с'" мало (это— необходимое условие, так как с„",'(0) =0).
Согласно (83.6) и (84.6) вероятность перехода из состояния Е„в состояние Е будет равна (84.7) Эта формула содержит важный результат. Как мы видим, Р „~'=0 только тогда, когда )Р' „(ы „) ~' О, т. е. переход из уровня Е„ в уровень Е„возможен лишь в том случае, когда в спектре возЕга Ел мущения содержится часто~а ы„,„= "„". Иными словами, переход носит резонансный характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами, равными частотам Бора ы „. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем воздействии. Ниже мы приведем важные приложения формулы (84.7) к оптическим вопросам. Формула (84.7) выведена для переходов в дискретном спектре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
