Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 67
Текст из файла (страница 67)
го~~ Б. Эйкональное приближение Ло сих пор мы ограничивались рассеянием, которое вызвано поглощением рассеиваемых частиц. Более общий случай рассеяния можно описать с помощью комплексного потенциала и (г) = (у,(г) + и, (г), где И„У, — действительные функции переменной г. В соответствии с формулой (36.20) это означает, что мы рассматриваем частицу, вызывающую рассеяние, как оптическую среду с комплексным показателем преломления а(г)=п,(г)+1п,(г), где и, есть его действительная часть, а и,— мнимая. Коэффициент поглощения среды, как нетрудно вывести, равняется у (г) = й,п, (г).
При достаточно короткой длине волны Х мы можем рассчитать фазу Чо пользуясь эйкональным приближением, т. е. формулой (36.22), если интегрирование вдоль луча (х„х,) производить при заданном параметре удара р=(х. Воспользовавшись опять сферической симметрией задачи, нетрудно преобразовать (36.22) к виду 1 = й ~ ( ( ) — 11 , (81.24) Таким образом, эйкональное приближение (Э 36) может быть применено для вычисления фаз парцнальных волн в оптической модели частицы. В.
Резонансное рассеяние При взаимодействии сложных систем с частицами могут наблюдаться резонансные явления, т. е. при определенной энергии частицы Е = Е, наблюдается иногда огромный рост сечения. Подобное положение является, например, весьма типичным для взаимодействия нейтронов с ядрами (ср. рис. 4). Рассмотрим в качестве важного примера резонанс в з-состоянии. В этом случае волновая функция может быть написана в виде т-иг,~ы Фо(г) = — 5э— (81.25) г г где 5,— элемент матрицы рассеяния для 1=0. Ясно, что в случае резонанса 5, сильно меняется в зависимости от А (от энергии частицы). Оказывается, что можно выразить 5, через величины, мало меняющиеся вблизи резонанса.
Для этого выразим 5„через логарифмическую производную от волновой функции на поверхности системы (например, ядра), т. е. при г=)т. Предполагается, что для г) 1г' взаимодеиствие уже практически отсут- 4 ОЦ ОБЩИЙ СЛУЧЛЙ РЛССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЗБЗ | д„!Х(оо (г)1 1 йо =- — ох ' ~ . = ) (Е), (81.26) где слева написана логарифмическая производная от функции гфо(г), х=Ы, а )" (Е) — значение этой производной как функции энергии, выраженное через внутренние параметры системы (например, атомного ядра).
Отсюда (Х вЂ” ) — 11 о (81.27) — " (х+Ь)+((о где положено )(Е) =)о(Е) — ой(Е). Если при некотором значении Е=Е„, )о(Е,)=0, то наступает резонанс. Действительно, в этой области значений мы можем положить )о(Е) = ( †')е е (Š— Е,), Ь(Е) =11(Е,). (81.28) Вводя обозначения Г'=— 2ЛР 1йЕ )е=е„ Г'=— ( йЕ )е=е, (81.29) найдем, что 5о равно 1 2 --( — г +г) — (и е) я сома, о =-— — — (Го+Г)+ (Š— Е,) (81.30) Подставляя в формулы для упругого сечения о" =-о;1 = и ! 1 со!о и неУпРУгого оьх=он= — ", (1 — !Яо (о), получаем и гг (оо (Š— Е,)о+Го14 ' (81.31) — + 2е1ол Б1п Я (81.32) В этих формулах Г=Г'+Г'есть полная пол у ширина резо- ствует. Поэтому производная может быть вычислена с помощью асимптотической функции оро(г), с другой стороны, она опреде- ляется внутренними свойствами системы.
Поэтому 1ГЛ. ХН1 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 354 н а н с а (прп ! Š— Е„~ = Г!2 сечение падает в два раза). Величину Г' называют частичной полушир иной упругого рассеяния, Г' — ч асти ч н о й и ол у ш и р и н о й реакции (неупругого рассеяния).
Амплитуда упругого рассеяния складывается из двух членов: резонансного рассея и и я (член, обратно пропор- 1Г 1 цпональный (Š— Е,+--~) и потенциального рассеяния (член, пропорциональный з!НЛ1г). Эта часть рассеяния не зависит от внутренних параметров ядра, а только от его размеров )с и от энергии частицы. Формулы (81.3!) и (8!.32) были выведены впервые Брейтом и Вигнером и описывают рассеяние вблизи резонанса.
Они аналогичны известным из оптики формулам для рассеяния вблизи резонансной спектральной линии. На рис. 4 были приведены резонансы в сечении для взаимодействия нейтронов с ядром кислорода. Каждый из показанных там максимумов, если вблизи нет соседних, может быть удовлетворительно описан формулами Брейта — Вигнера. Заметим, что резонанс является типично квантовым явлением.
Как видно из формул, прн Е = Е, полное сечение а = о + о1" = — —, — =- — — ) 1,1 м 4л Гр 1 Г,, 1Л Г и Г может принимать огромные значения л1(Г, Г), во много раз превосходящие размеры сферы действия ядерных сил ( ЛЯ'). Например, резонанс в поглощении Хе',",'" тепловых нейтронов имеет сечение, площадь которого в 100 000 раз превосходит площадь геометрического сечения ядра Хе',,'.
Этот резонанс имеет большое практическое значение в эксплуатации ядерных реакторов. $82. Рассеяние заряженной частицы в кулоновском поле В 2 50 было изучено движение заряженной частицы в кулоновском поле. Однако тогда мы интересовались связанными состояниями (Е<0) и не рассматривали случая (Е) О), который осуществляется при рассеянии частиц. Следуя методике 2 50, мы могли бы также найти радиальные функции Я1(р) (р= — ', ! — орбитальное число) и для случая Е>0, Однако в случае рассеяния нам пришлось бы искать сложную линейную комбинацию этих функций, чтобы получить асимптотическое решение типа (80.5).
Поэтому в задаче рассеяния более целесообразно избрать более прямой и более адекватный задаче метод. й а2! РАссеяние зАРяженнон чАстицы В кулоновском пОле 355 (82. 1) Будем искать решение !р в виде »р = е1"' г (г — г). (82.2) Тогда легко убедиться, что для функции г" получится уравнение ь „~, + — „~ (1 — Иь) — 2-НЕ=О «)»Е г)Е . 1 (82.3) где ь=г — г.
Представляя г'(ь) в виде ряда г" (Ь) =- Ьт (1+ азЬ+ аайа+ ...), (82.4) мы убедимся, обычным путем, что у'=О и, следовательно, г (ь) регулярна в нуле. Далее, можно с помощью рекуррентных формул вычислить коэффициенты ряда (82.4). Оказывается, что г" (ь) = згз ( — 19, 1, иь) ($= р)2)г) есть функция, связанная с так называемой конфлюэнтной гипергеометрической функцией Уиттекера'). Асимптотическое разложение этой функции известно') и имеет вид ле 1 ,Р,( — 10, 1, ИЬ) = . )1 — .~. )Е11!в»!в = Г(!+!5) ) 1йй)1 1 лЕ 1е 2 е~Д~ — — е — и! 15+ 1' (! — 15) йг (82.8) Здесь Г (г) есть гамма-функция. Выбирая теперь зр(г, 0) в виде ! !Р(г, 0)=е 2 'Г(1+19)е«а»згз( — 1й, 1, ИЬ), (82.6) где е»2,3 Ь = г — г = г (1 — соз 0) (82.7) ') См.
Э. Т. У и т те к е р и Г«ис Н. В а тс о н, Курс современного анализа Физматгиз, !963, т. 11, гл. 16. ») Н. Мотт, Г. Месс и, Теория атомных столкновений, «Мирм !969, стр, 59, Для этого мы будем исходить нз уравнения (49.2) с неразделенными переменными и положим там (7(г) = —, где е71 и «2,г, е22 — заряды частиц, а г — расстояние между ними.
Обозначим теперь й'=- — „,, р= „,, перепишем уравне- 29Е 2ре»Л»л» ние (49.2) в виде теогия столкновении )ГЛ, Х4Н ЗВГ ф (г, В),, с, = 7+ А (В) 5, (82.8) где (82.9) я= — е" — ц!"" 1 г (82.9') А (О) = — '„'-' СОЗЕС' - Š— 4!144!4 — 44.41-е — ГЧН), (82 9") сЕЕ,, 40 дрее где е"ч = .~ . Сравнение этих формул с обычнымп форму- Г (! + )$) Г (! — )О) ' лами теории рассеяния показывает, что и падающая волна еме и е'"' рассеянная волна — искажены логарифмическими множителями г еп!" 4!' — ') и е 4в!" е'. Это особенность кулоновского поля, которое медленно убывает с расстоянием, и поэтому при сколь угодно больших расстояниях искажает волны. Поэтому решений в виде плоских илп обыкновенных сферических волн в кулоновском поле вообще не существует.
Эффективное дифференциальное сечение о(0) на угол О равно )А (О) !': еее)е4! В о(0)= ' " созес'— 4)ПЫ 2 (82.10) совпадает с ранее вычисленным методом Бориа (ср. (79.19)). Однако амплитуды А (0) (79.12) и (82.9") отличаются фазой. еее4ее Отличие будет невелико, если $= ' ((1. Это есть условие применимости метода Бориа в рассматриваемой задаче. Таким образом, мы доказали, что классическая формула Резерфорда для рассеяния частиц в кулоповском поле строго следует пз квантовой механики, без каких-либо поправок. Однако следует отметить, что для рассеяния тождественных частиц, например, а-частиц на ядрах гелия или протонов на ядре водорода и т. п., наступают существенные отклонения от классической формулы Резерфорда, связанные с особыми квантовомеханическими требованиями к симметрии волновой.
функции для тождественных частиц. Теория рассеяния тождественных частиц изложена в 0 134. В заключение этого раздела приведем выражение для матрицы рассеяния 5(К 1) в случае кулоновского рассеяния. Для этого нужно представить А (О) (82.9") в виде н в =р)14 — скорость частицы, получим из (82.6) с помощью (8240) ДЛЯ Г, Ь вЂ” 4.СЭ: З М! РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 357 ряда по полиномам Лежандра (80.15).
Пользуясь ортогональностью этих полиномов, будем иметь е~ч!(~) — 1 = й ~ А (9) Р! (соз 9) з(п 9 д9. о (82.11) 8 (й 1) мч1пи Г (!+! +$) (82.12) = Г(!+1-!9)~ где à — гамма-функция. Агг,Е, Чтобы перейти к случаю притяжения (7(г) = — —, во Р всех полученных выше формулах следует заменить $ на — $. Весьма громоздкое вычисление, которое мы опускаем, приводит к результату Гл а на Х17 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В 83. Постановка вопроса Одной из важнейших задач квантовой механики является вычисление вероятности перехода из одного квантового состояния в другое. Эта задача может быть обрисована следующим образом. Пусть в момент времени (=О мы имеем чистый ансамбль систем, характеризуемый тем, что какая-либо механическая величина Ь имеет определенное значение 8=-1.„.
Такой ансамбль будет описываться волновой функцией ф„(х), являющейся собственной функцией оператора 1, и принадлежащей собственному значению Ь =— = 1.„т). Про системы такого ансамбля говорят, что они находятся в квантовом состоянии и. С течением времени, благодаря действию внешних полей или в силу внутренних причин, состояние систем может измениться. В результате к моменту времени ( наш ансамбль будет описываться уже некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим черезф„(х, ().
Этот новый ансамбль, возникший из прежнего, вообще говоря, будет ансамблем с неопределенным значением величины Е'). Есни теперь подвергнуть системы, принадлежащие этому ансамблю сортировке по величине 1., т. е. выполнить спектральное разложение по признаку Е, то получится новый ансамбль (смешанный, ср. 5 17). При этом часть систем будет иметь Е=Е и образовывать чистый ансамбль, описываемый волновой функцией тр (х) [Бр (х) =Е чР (х)]„другая часть систем будет иметь Е=Е ° и будет образовывать чистый ансамбль тр ° (х) и т. д. ') В общем случае состояние может характеризоваться не одной, а несколькими механическими величинами ь, М, У, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
