Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Введем волновое число йв 2рЕ рз дэ дз (78.2) где р — импульс частицы. Обозначим далее '„',", и(г) = р (.). (78.3) ') Напротив, при расчете неупругих столкновений неизбежно приходится рассматривать структуру атома А, так кзк при неупругом столкновении изменяется квантовое состояние этого атома. импульса (и энергии) частицы прн столкновениях. Состояние с определенным значением импульса р есть волна де Бройля с длиной волны Л=2лдйь Из условия (77.14) следует, что нам нужно рассматривать движение свободной частицы на протяжении свободного пробега 1, т. с, мы должны иметь де.чо с группой волн, размеры которой не превышают Л В такой группе, вообще говоря, (бр)е чь Π— это состояние с неопределенным импульсом. Чтобы можно было пренебречь этой неопределенностью (и оперировать тогда с моно- хроматической волной), нужно, чтобы (ГЛ, ХИ! ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ 326 Тогда уравнение (78А) можно переписать в виде Ч ф+йф=р(г)ф, (78.
Р) Решения этого уравнения, принадлежащие энергии Е, Очень сильно вырождены и имеют весьма разнообразную форму. Мы должны взять такие решения, которые соответствовали бы поставленной физической задаче, т. е, чтобы для больших расстояний от атома А решения тр были бы совокупностью плоской волны, представляютцей поток падающих частиц В, и расходящейся волны, представляющей рассеянные частицы (в общем решении уравнения (?8А') могли бы, например, присутствовать еще и сходящиеся волны).
Соответственно этому представим тр в виде суперпозиции тр= тра+ и, (78 А) где тре представляет поток падающих частиц, а и — поток рассеянных. Считая, что падающие частицы движутся вдоль оси ОУ, мы возьмем тре в виде ро гз ( Сдгз (78.5) )г(з Выбранная нормировка функции тРе означает плотность падающих частиц,тРа~з=! см-'г.одну частицу на единицу обьема. При этом поток по формуле (29.5) будет равен У =.? = — ~ тРо ~з = о ' тРе 1з = о (сек-'. см '), (78.6) йй и где о= — =- — есть скорость частиц.
Функция и, изображающая йл р и и состояние рассеянных частиц, для больших расстояний г от центра атома должна иметь вид расходящейся волны: и (г, 8) = А (8) —, (78.7) Г СО г где А (8) есть амплитуда рассеянной волны, а 8 — угол между г и ОУ, т. е. угол рассеяния. Вычислим теперь поток рассеянных частиц иа большом расстоянии от атома. Из формулы для потока частиц (29.5) и из (78.7) следует, что поток рассеянных частиц будет равен') а', = — ( и — — и - ) = — ~ А (8) )з -- = .
(78.8) гд / диь еди) йй, з 1 о А(В)~з 2)с ~ дг дг) )1 г' гз Отсюда поток через площадку г(В будет с()(г =,?, г(В = о 1 А (8) ~з с(ьа, (78.9) г) См. (33.3). Осгалы<ые компоненты уо, 7 и поле центральных сил будут равны нулю (А (В) действительно!). Заметим еще, что если бы п (78.7) мы взяли с 'е' вместо е" га', то мы получили бы сходящийся поток. 4 781 ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА 327 И, следовательно, из (?8.9) и (?8.6) находим а(б) сй =--,-= ~ А (О) 88(11. ддг (78.10) Таким образом, для вычисления эффективного сечения а (0) достаточно знать амплитуду рассеянной волны А (9), Чтобы найти рассеянную волну и, мы будем считать (г(г) в (78.Г) возмущением и применим для решения уравнения (78.1') методы теории возмущений').
Подставляя (78.4) в (78.1') и пренебрегая членом Уи как членом второго порядка малости, мы получим Чаи+/чаи = 1гтйе (78.11) Нам нужно теперь найти решение этого уравнения, имеющее асимптотическую форму (78.7). Вместо разложения и по невозмущенным функциям мы применим для решения (78.11) более прямой метод. Именно, рассмотрим функцию Ф (г, г) = Ф, (г) е-'"', (78.12) р (г, () = р, (г) е '"'. (78.!3) Из электродинамики известно, что потенциал удовлетворяет уравнению Даламбера ЧвФ вЂ” у —, = — 4пр, 1 деф (78.14) где с — скорость распространения электромагнитных волн.
Решение уравнения (78.14) известно; именно, если брать волны, излучаемые зарядом р (г', () г(о' (мы подразумеваем, что г(п' = = г(х' с(у' йг'), расположенным в точке г', то электрический потенциал в точке г в момент времени ( равен (78.15) где , 'г' — г) есть расстояние от точки г', в которой расположен з) Мы будем, кроме того, предполагать, что У(г) убывает с расстоянием быстрее, нежели 1!г (см, примечание в 4 4Э). Матричный элемент У(г) будем считать конечным, так что из изложенного в 4 76 следует, что спектр Г останется и си р ерывным.
где г — радиус-вектор точки х, у, г, а 1 будем рассматривать как время, соответственно этому от в как некоторую частоту. Будем далее рассматривать Ф как скалярный потенциал, создаваемый электрическими зарядами, распределенными в пространстве, с плот- ностью ТЕОРИЯ СТОЛКНОВГИИИ 328 (гл. хи! заряд рс(о', до точки наблюдения г. Подставляя в (?8.15) Ф из (78.12) и р из (78.13) и сокращая на е ™, получаем +1- 1г' — г) Фо(Г) = ~, г — с(о'. 1.
р„(г') е с (78.16) Если мы подставим в уравнение Даламбера Ф (78.12) и р (78.13) и сократим на е ' ', то получим йр'Фо+ —; Фо = — 4про. (78.17) Сравнивая это уравнение с (78.11), мы видим, что (78.11) н (78.17) совпадают, если положить Фо=и -=й Р = — — 1/УРо ы 1 о — г е — г о — 4п (78.18) Отсюда на основании (78.16) можно сделать вывод, что и (Г) — 4 ~, /(о (78.
19) (' )г (г') т)о (1.') ем1г' — г) /г' ) Г' где ОЯ означает члены порядка — и выше. г г Подставляя )г' — г~ из (78.20) в (78.19) и пренебрегая в знаменателе величиной пг' по сравнению с г, мы получаем выраже- есть решение уравнения (?8.11). Прн этом у нас уже автоматически учтено, что и содержит лишь расходящиеся волны, так как решение (?8.15) есть решение для излучаемых, а не «всасы- ваемых» зарядами волн. /Ь;ух/ Найдем теперь вид и(г) вдали от атома А. Для этого обозначим г' г единичный вектор в направлении т падающего пучка (ось 02) через те ' ° О пгп а единичный вектор в направтк Ыпд 1 ленин вектора г через п.
Пре- л ††--- †--'у образуем сначала ~г' — г1. Из трр/ "и треугольника, приведенного на рис. 61, имеем Рнс. 61 Пояснение к выбору век- торов. ~ г' — г,в = гв+ г" — 2пг'г, г' — Радиус-вектор от центра атома к алектрану, г — радиус-вектор от центра ГДЕ Г = 1 Г1, /' = ! Г ), ОТСЮДа ДЛЯ атома в точку наблюдения Л(г, р, «), Г)) Г' ПОЛунасч1 Π— угол рассеяния, п,— единичный вектор по направлению первичного пучка, /г' 1 п — тоже по направлению рассеянного ! à — Г! =г — ПГ + О ( — ), (78.20) пучка.
г пРиБлиженный метОд БОРИА о та( 320 нпе для и, справедливое для больших расстояний г от атома'): (ал и (г) = — — — ~ е — '""' (г (г') (Ро (г') (Ь'. (78.19') Подставляя сюда тйо(г') из (78.5) и имея в виду, что г'=г'и„ мы получаем ( е(ос г и (г) = — — — ~ е" (" — ")' )г (г') ((о'. (78 21) 4л г Сравнивая (78.21) с (78.7), мы видим, что амплитуда рассеянной волны равна А = . е(л(п,— а)г')/ ((') ( г — 4л ~ (78,22) Введем вектор К = л (по — п), К = й ~ п, — и ~ = 2)т вйп — = — в )п В 4л. В 2 л 2' (78.23) /" -ф 1))(')",' '" 'а'!.
(7826) 0 При л- со интеграл справа стремится к О. Поэтому прп доста- точно большой энергии частицы (большое л) метод Бориа будет всегда пригоден. ') то есть дла гв а, где а — радиус сферы действия. Тогда, имея в виду (78.3), получаем А (0) = 4 — ~ ~ Е и'(/(г') 4о', (78.24) т. е. амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте Фурье в разложении потенциала по плоским волнам е(к". Подставляя это значение А (0) в (78.10), находим эффективное сечение: о(0)= —.(„-д) ~ ~ е(кн(7(г') (Ь'! .
(78.25) Эта формула, как следует из ее вывода, приближенна. В теории столкновений это приближение (первое приближение теории возмущений) обычно называют борновским. Мы не можем входить подробно в рассмотрение вопроса о точности борновского приближения и пригодности его в тех или иных случаях. Укажем лишь на то, что интенсивность рассеянной волны ! и (г) ' вблизи рассеивающего центра должна быть мала в сравиешш с интенсивностью волны падающей ~т()о(г)(о. Из формулы (78.19) легко оценить отношение (и(о к ,'т))о(о, взяв значение этих функций в центре атома (г=О). Считая, что силы-центральные, так что )г (г') = )г (г'), н полагая в (78.19) г = О, с(о' = гео с(г' Б(п 0' (10' (йр', йг'=лг'соэ0', после элементарного интегрирования по углам 0' и (р' находим ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ ззо ~гл.
х!и 9 79. Упругое рассеяние атомами быстрых заряженных микрочастиц р (~") = ~ (79.4) может рассматриваться как потенциал, создаваемый в точке г" электрическими зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р(г') =е'к"'. Потенциал ~р(г') удовлетворяет уравнению Пуассона те,р (г') 4пр (г') 4пе'ке' (79.5) Из этого уравнения сразу находим ср(г'): еР(г )= к е, ~ К~~=Кее+Кд+К' (79.6) Из сопоставления (79.4) с первым интегралом в (79.3) следует, что г е'к", г еж', 4п — = .),'~ =~к,' (79.7) Полученная нами формула для дифференциального эффективного сечения о(8) применима для расчета упругого рассеяния достаточно быстрых частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
