Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Величина (77.3) где интеграл взят по полному телесному углу 4п, дает так называемое полное эффективное сечение для неупругого столкновения с потерей энергии е. Ф,=а,У есть число (рассчитанное на 1 сек) частиц, потерявших при столкновении энергию е при первичном потоке У частиц через 1 см' в 1 сек. Если потеря энергии е может принимать непрерывные значения, то для потери энергии, лежащей между е, е+с(е, вместо (77.2) следует писать — „,' = а (е, О, ср) с(е т(аа.
(77.2') В этом случае а (е, О, ср) с(е будет иметь смысл дифференциального сечения для неупругого рассеяния в угол т(11 с потерей энергии в интервале е, е+с(е. 322 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. ХП1 Величина о (е, О, гр) будет в этом случае также называться дифференциальным сечением для неупругого рассеяния, отнесенным к пнтервалу телесных углов г[ьа и интервалу энергии г(е.
Обычное обозначение: «сечение на стерадиан на единицу энергииэ. Заметим, что кроме в, 9, гр эффективное сечение может быть функцией и других параметров, характеризующих столкновение, например, спина частиц. Во всех случаях с помощью дифференциального эффективного сечения можно дать полную статистическую характеристику процесса столкновения.
Поэтому задача в теории столкновений сводится к вычислению сечения о (е, О, гр). Как мы увидим, эта величина в свою очередь вполне определяется амплитудой рассеянных волн. Оставляя на время вопрос о методах вычисления этой величины в квантовой механике, рассмотрим, в каких случаях следует для расчета столкновения применять квантовую механику, а в каких случаях — классическу1о механику. Рис.
60. Столкновение частицы В с атомом А по классической механике (случай отталкивания). Для этого рассмотрим, как протекает столкновение, если применять законы классической механики. На рнс. 60 изображен атом А с центром в О. Вокруг него проведена сфера радиуса а, вне которой силы между атомом А н падающей частицей В л1алы.
эту сферу мы будем называть с ф е р о й д е йс т в и я 1). Частица В, двигавшаяся первоначально вдоль оси ВЛ, попадая в эту сферу, будет претерпевать тклонспие так, как показано на рис. 60 (приведен случай отталкивания А и В). Опустим из центра атома перпендикуляр на первоначальное направление двюкения частицы ВЛ. Пусть длина этого перпендвкуляра есть р. Его называют па р а метром удар а (или п р и цел ь- ') Эта сфера не всегда может быть определена. Например, для закона Кулона (г=сопз[гг ни о какой сфере говорить не приходится. сферу действия можно определить лишь в том случае, когда силы достаточно быстро убывают.
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ э тт) 323 н ым р а с сто я н нем). Частица, имеющая определенный параметр удара, отклонится на вполне определенный угол О, так что р=р (0), 0=0 (р). Частицы, имеющие параметры удара ыехгду р и р+с(р, отклонятся на углы, лежащие между О и О+бб (угол гр мы сейчас не рассматриваем, предполагая сферическую симметрию поля атома А). Если представить себе потоп первичных частиц, проходящих через площадку в Г сме, то нз ннх отклонятся на углы О, О+с(0 те, которые проходят через кольцо, образованное кругами радиуса р н р+г(р. Площадь этого кольца есть 2пр г(р (рис. 60). Поэтому на угол О, О+г(0 отклонятся все тс частицы из первичного потока, которые пройдут через площадку 2лрар (рис.
60). Стало быть, величина 2побр и есть эффективное сечение для отклонения па угол О, О+аО. Выражая ар через г(0, наидем дифференциальное эффективное сечение а(0)=р г(р (77.4) Зто классическое выражение для а(0) пс всегда будет применимо к микростолкповенням. Действительно, ошибка в определении параметра улара Лр должна быть меньше самого параметра р, С другой стороны, определение р с точностью Ьр вносит неопределенность в импульс, перпендикулярный к перл воначальному двиткению Лр,, а слсдовзтельпо, и неопределенность бр йр, в угле отклонения аб = = — — (р — первона ~альный импульс частицы). р брр Отсюда, имея в виду, что 0 > ЬО, р > Лр: 0) Х Х (э ' 2п' (77.5) — Х ((!.
1 г((l (г) и (г) (7?.6) Пусть потенциал расссивагощсй частицы меняется существенным образом на протяжении а, т. с. а есть по порядку вслишшы область действия потея. циа.ча, пли радиус сферы действия, Тогда условие (77.6) может быть заменено болсе мягким условием (77.7) А (ца (см О 36). Длина полны Х электронов с энергией в несколько электронопольт равна, по порядку величины, 10 а сл, такого жс норядкз н размеры области а, внутри которой существенно меняется потенциал о атоме.
Г!оэтому при столкновениях электронов с атомамн (77.7) нс соблюдается н необходимо примсняп квантовую механику. Прн столкновениях а.частнц (А 1О 'з слг) с атомом )словно (77.7) выполнено и можно ограничиться классическим рассмотрением задачи. Однако при столсновеннях а- ~астяц (нуклонон, вообще ~я>келых частиц) с ядром, для которого радиус сферы действия а !О 'а слц опять нл~ееы Х а, т.
е. необходимо квантовомеханическое рассьютренис задачи. Рассмотрение столкновения лишь с одним атомом, вместо рассмотрения столкнонения с совокупностью атомов, образуюагих газ нли мтидкое, или, наконец, твердое тело, само по себе являсгся абстракцией, пригодной датою: нс вссгла. Рассматривая лишь один атоц, мы предполагаем, что частица до столкновения с атомом движется свободно. В этом — самая сущность Таким образом видно, что рассмотрение малых отклонений методами классической механики бессмысленно. Для рассмотрения же отклонений, удовлетворяющвх условию (77.6), необходимо соблюдение общего условия применимости классической механики, именно, изменения потенциала У (г) на протянгенни длины волны )ь должно быть мало: тпо! ия столкновсн!пл 324 !гл.
хги постановки проблемы о попарпом столкновении. Чтобы оценить, когда такая постановка вопроса возможна, рассмотрим средний путь (свободный пробег), который частица В пробегает без столкновения в соьокупностн атомов, образующих тело. Длл определенности рассмотрим лишь упругие столкнаоения. Введем критерий того, что частица В не взаимодействовала с атомом А (двигалась свободно). В качестве такого критерия будем считать некоторый угол отклонения 0„. Если угол отклонения 0 ~ О„то мы будем считать, что частица не отклопнлась — двигалась свободно, если . 0 ) 0„ то, напротив, будем считать, что взаимодействие имело места.
Зф$ективное а, длл отклонения на углы, большие Ом равно а = ) а (е, О, гр) г(11, (77 В) й, Знак !)ч показывает, что при интегрировании мы исключаем малые отклонения (О ( 0„). Представим теперь себе поток Дг частиц В, проходящих через площадку в ! смэ. При прока>клеили длины г(х этот поток прони кет объем (! слР) пх. Если череа л обозначить число атомов в 1 смэ тела (газообразного, жидкого нли твердого), то в указанном объеме поток частиц В встретит п.
(1 смэ) г(х атомов А. Вероятность столкновения с одним из атомов А одной из частиц В прн прохождегпнг слоя бх равна — ", л. (1 смэ) г(х=-аэп г/х. ! слн (77.9) Обозначим через М(х) сели ~илу потока нсатклонеппых частиц на глубине х внутри вещества. Согласно (77.9) убыль этого потока при прохонсдеиин слоя х, х+бх будет — = — йг (х) а,п. г(М (х) г(х (7?.10) Отсюда находим у(х) — йге а эх, (77.11) Стало быть, величина ю (х) е — олх (77.12) 1 1=а,п ~ е а'эххьгх== — -. ачл ' о (77.13) Для того чтобы мы и в самом деле могли считать частицу, проходящую путь 1, свободно двиигущейся относительно какого-нибудь из атомов тела, нужно, чтобы свободнын пробег был больше сферы действия а.
Иные частица всс время будет находиться а сфере действия того атома, с которым ей предстоит столкнуться. Таким образом, условие применимости теории папарных столкновений как в классической, так и в квантовой механике есть (77.14) Если сфера действия а не может быть определена, то применение теории попарных столкновений становится по меньшей мере сомнительным (во всяком случае, лля тех столкновений, для которых ! мало). В квантопой механике условие (77.14) должно быть дополнено еще одним условием специально квантового характера. Нас интересуют изменения есть вероятность пройти путь х без столкновения.
Следовательно, средний свободный путь ! равен пРР!плижеиный метод вопил 325 1) Л. (77.!5) В случае невыполнения условий (77.14) и (77,15) необходимо рассматривать столкновение сразу со всей совокупностью атомов А или искать особые обходные пути, которые позволили бы обойти трудности такой прямой постановки задачи. 8 78. Расчет упругого рассеяния приближенным методом Бориа Ограничиваясь исследованием упругого рассеяния, мы можем не рассматривать внутрснней структуры атома') А. Действие атома А на падающие частицы В можно в этом случае рассматривать как действие силового центра. Если атом обладает сферической симметрией, то поле, создаваемое этим атомом, будет полем центральных сил.
Имея в виду именно этот случай, обозначим потенциальную энергию частицы В в поле атома А через У(г) (г — расстояние от центра А до В). Энергию частицы В обозначим через Е. Если считать, что У(г) =0 при г=со, то мы должны взять Е ) О, так как нас интересует такой случай, когда частица В с энергией Е движется из бесконечности к атому А. Согласно общей теории движения в поле центральных сил такие состояния частицы В возможны лишь для Е)О.
Обозначая волновую функцию частицы В через тР (х, у, г), мы можем написать для нее уравнение Шредингера в виде — змзР+(7(~М =Еф 2р (78. 1) ()ь — масса частицы В). Потенциальную энергию У(г) мы будем считать достаточно быстро убывающей с возрастанием расстояния г от атома А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
