Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 60
Текст из файла (страница 60)
х>~ В произведенном расчете мы считали, что матричный элемент (!у „является конечной величиной. Это будет иметь место в случае, если Ю (х) достаточно )т' быстро исчезает при' ,х ~ -ь оа, т. е. для этого возмущение а дол>хин быть сосредоточено в конечной области пространства (рис. 57). В этом слуХ чае, как следует из наших расчстов, энергетический спектр остается непрерывным '), если добавок и мал. Если возмущение К (х) распространяется на все пространство так, что (к'л „бесконечно, то в первоначально непрерывном спектре могут образоватьсн разрьшы.
В качестве примера приведем возмущение вида --ь-д ьз . гаях зчз) 1Р(.т)=-лсоч( ~ ) =- -,е " +е "!' (76:16) где ). н д — некоторые параметры. Вычисляя теперь матричные элементы !Р'а, яо формуле (76.!1), мы получаем КЄ— — 2 (6 (2д+ Р— Р') + 6 ( — 22) + Р— Р') ). (76.17) Подставляя это значение ((т а в (76.14), мы ввиду наличия 6-функций сразу выполняем интегрирование и находим рРЧ-22 ( ) тр — 22 ( ) т)>л (х) = — ф", (х) — о ( Е(я+ос) — Е(р) + Е (р Рч) — Е(р)). ( 6.18) Прн малых ), это будет пригодное приближение, но оно отказывается служить в точках Е(р4-2Ч)=Е(р), р=~д, (76.19) так как в этих точках прн любом ).
добавок к ф," обращается в бесконечность, Чтобы построить приближенно решение для р = + д, воспользуемся тем, что уровню Е (р) принадлежат всегда две функции ф', и т)>' р. Самое общее решение, принадлежащее уровню Е (р), будет р' =- яфр+ рф"- л (76.19') т) Если возмушение изобра>каетси кривой Ь (рис.
57), то при достаточно гл>боком минимуме могут образоватьси дискретные уровни (на рисунке это изображено пунктиром). Наш приближенный метод не дает этих уровней, так как он прииеним лишь дли больших энергий Е. $>ы тсовня возмещении для непегвывного спектгл З!7 6 (0) ~ еа — — — !З~ = О 6 (О) ~е() — †, — ~ = О. Х (?6.20) и для р'= — д (76.20') Сокращая на 6(0), получаем систему уравнений Х Х еа — -р=-О, е(3 — - а=-0 2 ' 2 (76.21) для определения а и р. Легко видеть, что для р = — д из (76.10") получается опять эта же система (76.21).
Система (76,2!) однородна. Из равенства нулю ее определителя получаем ь — " '+ (76.22) где а и р — неопределенные коэффициенты. Если в (76.7) под- ставить теперь Ч>' вместо ~(>р, то, повторяя все выкладки, мы получим вместо (76.8) а д",=Еи=(е )Р)сро, 2н Зх'-' (76.8') Подставляя сюда и из.(76.9), умножая на К и интегрируя по х, найдем вместо (?6.10) и (р') (Е (Р ) — Е (р) ) = е (аб (р — ' р') + + !>б (Р+Р')) — (ай~я „+ рЮ',ь,) (76.10') и, наконец, вставляя сюда значение Ю', „и йгеь, из (76.17), получим и (р')(Е О>') — Е (р)) = е (аб(р — р')+ 86 (р, ру — 2. (а (6 (2Ч+ Р— Р')+6 ( — 2Ч+Р— Р'))+ + () (6 (2Ч вЂ” р — р') -! б ( — 2Ч вЂ” р — р') Д. (76.10") Если р =,' >- д, то мы можем положить а= 0 и взять либо а=-1, (3 = О, либо а = О, р = 1.
В первом случае получим прежнее решение (76.!8), во втором случае получим решение ф „, при- ближенное к >Р". „. Для р= — + д имеем из (76.10") и (Р') (Е (р') — Е (дй = е Еаб (д — р') + М (д+ р')1— — -2- (а [б (Зд Р ) + 6 ( — Ч Р Н+ + () (6 (д — р') + 6 (-- Зд — р )Ц. (76.10"') Для р'=д левая часть равна нулю и должна равняться нулю также и правая. Имея в виду, что при Ц ~ 0 6 (ф) =-О, мы получаем з)в ПРОСТЕПШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ )ГЛ.
ХИ а соответствующие решения сс и р имеют вид Л а=р для е=+ 2 (76.23) Л для е= — —. 2 (76.23') В результате для импульса р= + г) мы имеем решения Е = Е ( 1 11) + —, з)з-а-д (х) = с! («)!»Ее+1)!+»)~ (76,24) Х Е = Е ( г)) — —, ф,г (х) = сс («Р' » — »Р) д). (76.24') Х р =.'+ !) энергия претерпевает разрыв. вдали от р = +.17, как было показано, е = О и, стало быть, Е =- Е (Р). На рис. 58 изображена кривая энергии Е в функции р: пунктиром для невозмущенного движения, а сплошной линией для возмущенного. В точках р = + у получается разрыв величины Л.
Другие разрывы р = + 2!7, отмеченные на рисунке, получатся при расчете во втором приближении. (Вообще разрыв получается в точках р= 1-пг(, и =1, 2, 3, ...) Таким образом получается спектр г Иными словами, в точке Для импульсов, лежащих р типа, рассмотренного в 6 бо, именно, спектр, состоящпи пз Рис аЗ Ооразонанне разрьщо' зон дозволенной э пер г и и (запрещенных полос) н непрерынном Х спектре при наложении периоли»е- от Е=О до Е=-Е(г)) — — и от ского нознун!сини. 2 Е = Е (г)) + Л!2 до следующего разрыва и т. д. и из зон запрещенной энергии от Е = = Е(г)) — Ц2 до Е=Е(г))+Л/2 и т.
д. Эти запрещенные участки энергии отмечены на осп ординат штриховкой. При малой величине возмущенного поля Л-»О разрывы становятся очень узкими, Следовательно, спектр частицы, движущейся в периодическом поле при малой амплитуде поля, является как бы обращением дискретного спектра, характерного, например, для атомов. В дискретном спектре «дозволены» только некоторые значения энергии Е„Е.„..., а остальные значения «запрещены»е В рассматриваемом случае широкие участки энергии <дозволены», а некоторые узкие полоски запрещены. З 761 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА З1Э На рис. 58 помимо вычисленного нами разрыва в сплошном спектре Е показано еще плавное изменение Е в функции р вблизи этих точек разрыва.
Это изменение могло бы быть получено и из нашего расчета, если бы мы учли, что решение (76,18) не годится не только в точках р=-.+ с), где оно просто обращается в бесконечность, но и во всех точках, где !Е(р 1-27)) — Е(р) ~=Л, (76.25) так как в этой области импульсов добавок к Е, хотя и не бесконечен, но велик. Таким образом, следовало бы исследовать поведение решений в окрестности точек р= 1-71.
Этот расчет мы опускаем. Существенно, что наличие этих разрывов сказывается на виде фушсции Е(р) Вблизи разрыва и, таким образом, меняет число состоЯний 7(7р (котоРое мы можем считать пРопоРциональными сср), приходящихся на интервал энергии с(Е. Именно, для невозмущенной задачи „вЂ”. = —, а для возмущенной — =со в точнр и РР 716 ках разрыва энергии. Этот результат может быть получен и без специального расчета, В ~ 55 мы показали в общем виде, что для частицы, движущейся в периодическом поле, групповая скорость 1 71Е ГГЕ О= — — =— а нь нр на краях зон равна нулю. То, что в нашем примере групповая скорость на краю зоны равна нулю, следует уже просто из того, Рх1 что на краях зон мы имеем не бегущие (е Ау' волны, а стоячие (76.24) и (76.24').
Глава Х!П ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ф 77. Постановка вопроса в теории столкновений микрочастиц Теория столкновений лщкрочастиц образует в настоящее время одну нз весьма обширных глав атомной механики. В нашем курсе мы не имеем возможности подробно излагать эту теорию и ограничимся лишь освещением самой постановки вопроса в теории столкновений и изложением простейших методов ее исследования. Представим себе некоторую частицу А, которую для определенности будем считать атомом, и падающий на нее поток частиц В, которые для определенности будем считать электронами. Поток частиц В пусть падает по направлению 02 (рнс.
59). Электроны В, сталкиваясь с атомом, могут претерпевать изменение своего состояния в двух отношениях. Во-первых, они изменяют направление своего движения, во вторых, онн могут отдать некоторую часть е своей энергии Е атому А. В этом случае мы говорим о неупругом столкновении, или неупругом рассеянии. Если е = О, то столкновение называют упругим (упругое рассеяние). В опыте интересуются числом электронов (частиц В), проходящих в 1 сск через площадку п5 (рис. 59), поставленную перпендикулярно к лучу, проведенному из центра рассенвателя А. Обозначим поток частиц, проходящих через эту площадку и имеющих энергию Š— е, через йУ,.
Это число йМ,, пропорционально размерам площади г!о (поскольку она мала) и обратно пропорционально квадрату расстояния до рассеивателя (г). Кроме того, г(Лг„очевидно, пропорционально потоку частиц в первичном пучке Л'. Таким образом, (77.!) ЙЮ,=ЛЪ(е, О, <р) — „, где У вЂ” число частиц, проходящих через площадь в 1 см' в 1 сек в первичном потоке, а о(е,О,~р) — некоторый множитель пропорнз циональностп между г(Л', и Л!. Величина —, есть телесный угол теою1я столкновении микиочдстиц 321 в тт1 с(Р, под которым видна площадка а(5 из центра рассеивателя А. Ссд'а Отношение — ' определяет вероятность рассеяния в угол с(Р с по- и терей энергии е. Это отношение равно — ' = а (е, О, тр) ЙР. (77.
2) Из (77,1) следует, что а имеет размерность площади (так как и ат а ! т с Рис. 59, Столкновение частиц по квантовой механике. А — расссивающиа атом;  — падающий пучок частиц. 1 1 [с(йрв1= —, [Ж1= — „то [а1=1.в) и называется дифференциальнымым эффективным сечением (атома А) для неупругого рассеяния в угол с(аа с потерей энергии е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
