Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 55
Текст из файла (страница 55)
288 тсогня возмхщгннн >ГЛ, Х1 ~Н„, и — Е~ ... Он,„...Нн,„, „, Н21 21 ' О21, »! ... Ни,,г, ИЛ1, „ ~ 821 11 ( ~2/ 11 »,, „ =0 И»и и н»а 2. 22>Ы> 11 О»а, „ ~н»,„,„нц,,„.. (68.17) Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же квантовому уровню. Так, например, в первом прямоугольнике (однн элемент) — к уровню Ф =- 1, во втором— к уровню й=-2, в третьем — к А-му уровню. Если мы пренебре- (41.5). Понимая в (41.4) под оператором ь оператор полной энергии Й, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого нз индексов и и и в этой формуле теперь фигурирует по два индекса п, 22 н п>, (1 соответственно. В результате из (41.4) получаем уравнения Нта лаСла = — ЕСИ18 (68.15) л,а которые совпадают с (68.5), так как Н»18, ла = Етбтл+ )т' и>8, иа (68.16) Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрицы оператора Й нумеруются двумя квантовыми числами и и 22.
Именно, при каждом и имеется )„разных значений 22 ()„-кратное вырождение). число 7„возрастает с увеличением и. Для первого уровня )1.=-! термин авырождепие» не применяется. Расположить элементы Н 8 „, в матрицу не представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (и, 1), а следующие столбцы номерами: (п, 2), (л, 3), ..., (и, Ел), затем пойдут столбцы с номерами (и+ 1, 1), (и+ 1, 2), ..., до (и+1, )221) н т.
д. Подобным же образом нумеруем строки (т, 1), (и, 2), ..., (и, ( ) и т. д. При такой же нумерации элементов матрицы Н в „, уравнение для определения собственных значений Е может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая): 289 ПОЗМУШСН11С ПРП ПЛЧ11'1ИИ ВЬ1РОЖЛСНПЯ а сз! жем матричными элемептамп, относящимися к различным уров- ПЯМ, т. С. ЭЛЕМЕптавш тина На,а ап (П1ЭЬН) (Этн ЭЛЕМсптЫ, СО- гласно (68.16), равны 1Гл,р,ьо), чо уравнение (68.17) упростится и примет щ1д ~!нп,м — е, о.
;о н.е.— й...не,„, о., !о о н„,„.,.п,,,-л о .. о. 'о. о, о.. (68.18) Такую матрицу называют с т у п е н ч а т о й. Ее определитель йа (Е) разбивается на произведение определителей меньшего ранга, именно '), Не1,11 Н ° ° И ь у Ле (Е) =',!/ Нм, „— Е 1. ( ~н,~,,„... и„, „,— и,' н„ь„— н ... н„ььу, = О. (68,19) Н1/, и .. Н1Н ьт — Д ь 1ю Л Обозначая входящие сюда определители через й~л(Е), получим Л' (Е) =- Л! (Е) Л! (Е)... Л;л (Е)...
== О. (68.26) Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если Лд (Е) = О, плп Ь19(Е) = О, или вообще Ь)„(Е) = О. Корпи этих уравнений и дают в первом приближении энергии первого, второго и вообще /г-го уровня. Уравнение (68.21) Л,л(Е)=О тождественно с уравнением (68.1!), установленным другим путем. В 9 41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к' диагональному виду его матрицы.
Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение ') Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель (63.18) по осычному правилу раскрытии: произведение элементов на миноры. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ !гл. х> 000 заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.!8)).
9 69. Расщепление уровней в случае двукратного вырождения Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы дву- кратно выро>кден. Пусть собственному значению Е» оператора Й' принадлежат две функции ф, = 2): >)>», и ф»,. Любые две функции ф», и ф„получающиеся из >)>1, и ч»"„путем ортогонального пре- образования, будут также собственными функциямн оператора О', принадлежащими уровню Е». Это преобразование мы можем запи- сать в виде (см. (68.1)) гр»» = аи >!>», + а,, >р»„ (69.1) 0>!в =а,»ф!„',+а,»ф»». (69.1') Чтобы удовлетворить условию ортогональностн (68.2), положим а>, — соз 0 е>0, а„= з!п 0 е->0, (69.2) а„= — з!п0 е'0, а,, =сов 0 е-'В, причем 0 и (> здесь два произвольных угла. Таким образом, 69 3 ч>»»=- — з!п0 е>ВЧ>»>+соз0 е 'а>р)е представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню Е».
Ортогопальность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, что коэффициенты а,в (69.2) удовлетворяют условию ортогональности '(68.2). При (> =0=0 из (69.3) получаются исходные функции >(>», и»р!». Пусть теперь наложено некоторое возмущение >у'. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями певозмущенной системы, т. е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов 0 и р будут зависеть от вида возмущения Ф. Для определения этих углов будем искать прямо ко~ициептгя е, и с» в суперпозиция »Р = с,>!>», + с»ф»,.
(69.4) Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются пз уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном 444) глсщапленив эговнап двэкглтиого выгождания 29! случае имеет вид (Е1+ 10'ы — Е) с, + У7„с, = О, (Еь+ В'~з — Е) сз+ Кис, =- О, (69.6) где 10г1м Км, Я7„, В'„ — матричные элементы энергии возму- щения: Ц711 - — 1 аиду р1, (х, (69,6) (69.7) ))го с~ е — )г'н (69.10) Полагая В7м —— ) 1Рм ~ сма и подставляя в (69,10) первый корень (е„знак +), получим с1яО ема (69 12) )Г гг )Гн .а ОГн — )Гм) — + Ь 4 г)))гм' а для второго корпя (е.„ знак †) са Г.,— Ф'д~ /())гн — Ф',,)-' Таким образом, получаются следующие решения (в «в>-представ- лении): Еп=Е~+ "+ и+1l 1 " " +~Км~', 2 г' 4 ~ ' (69 13) ср„,=соз0 е'аф,+з)п0 е-'а ~4, Ю'„= — ~ ф1,"Кф, дх, (69. 6') 1)71».=)р21=1 аЧ7е Дх.
(69.6") Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид АДЕ) =, =О, где е — поправка к энергии Й-го уровня: е=Š— Е3. (69.8) Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня (07 )г )~ е, 4= " 2 '"- +. ф —" — "' +) Ю'„)'. (69.9) Из уравнений (69.5) находим теОР11я ВОзмущении 1гл. х! и Е2,=Е,".+ "+ "-' — 1I ( " 22) +~ 16' „ «раз=- — О!и 0 е'О «)«2!+сон 0 е !О «раз, причем Ек!О= —,' . ! 1Р«2 ! (69.15) Весьма важным является частный с,чучай, когда 1!'!1= )У 22 1!'! = )('~21 (69.16) Для этого случая имеем Е„=- Е3+ 1)т!!+ йу!2, ! фь« = —,, («1«й!+Ф,'2), Р 2 Е,з=Е,+ 16„— Юю, флз = — (фа! — ф!«!). )У 2 (69.17) (69.! 7') (69.18) 2«11 1 «Р)1 (индекс й мы будем держать в уме).
Если потребовать, чтобы 62+Ч«=1, (69.19) то средним значением з«!ергии возмущения Ф в состоянии (69.18) будет 1Р =) Е12+ч«Р"-:::) )Р (';ф)+чф ) йх Согласно (69.6) получим Гу' = )Р! «Ез+ 2йт«,2«1+ й«22Ч2. (69.20) (69.21) Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой второго порядка па плоскости ("„, «;). Таким образом, среднее значстнс йг сеть квадратичная форма от амплитуд (2., «1), представляющих состояние «р. Введем теперь вместо системы координат $, «1 новые координаты Ц', «1', отличающиеся ат первых поворотом на угол О: (69.22) й=созО К' — Мпа.«1', «).= ми а +созй Преобразование (69.3) ость поворот. Мы можсм получить прям«!о гсочетричсскую аналогию, если буд ч считать 6=0 (зто требует, чтобы )Р«2 — (О'2«).
Тогда козффицнснты а дсйствптельны. Часгпыс значсния коэффициентов а— ком)финке!««ы с — также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать, полагая с«=$ са=-Ч: заме'!Ания О снятии ВыРОждения 293 В то) Подставляя в (69.18), получим ф=5 ч)+ч ВЯ, (р",=-сов В (р)+э!п В ф), Отиоситсльцо функций (р", и (р", матрица Ф должна быть диагональной. Дей- ств(пельио, )В» ~ (р»»!Рю» дх !Р '.„= ~ (р! ь(г'(р»» ух = ев. (69.24) Поэтому средиее зпачеппе !Р в состоянии (р представится теперь в ином виде: !В' = ~ Ч(' У(р дх = е,ь'в + еа(1' (69.25) является кривой п(орого т.
с. в попых переменных , и' средияи энергия порядка, отиессоиой к глаппйт( осям (рис. 52]. таким образом, задача о лриэедеиии матрицы совпадает с геометрической задачей о причедгиии к вой второго порядка (отнесение к главиым осям). В более общем случае Ц и Р, комплексом, поэтому полного совпалепия задач иет, по еиалогия сохраиястся, если 5 и и я в этом случае рассматри. вать как координаты точки. У к диаеоиильнол(у вид) каиоиичегкому аиду хри- 9 70. Замечания о снятии вырождения Мы показали, что при включении возму!ценна вырождение, свойственное невозмущепной системе, снимается: сливающиеся- уровни расщепляются. Чем обусловлено это расщепление? Для ответа на этот вопрос обратимся прежде всего к причинам вырождения.
Рис. 52. Геометрическая Мы видели, что, нап)!имер, Уровни иллюстрация приведения электрона в поле центральных сил вырож- к диагоиальпому виду депы 2(+! раз (если не считать спннового матрицы второго ранга. вырождения). Это вырождение обусловлено тем, что энергия электрона в поле центральных сил не зависит от ориентации момента импульса относительно поля. Математически это выражается тем, что гамильтониан в этом случае обладает симметрией вращения, именно, гамильтониан и'= — и»'»-и(( ( =ге»э*+В( (7».(( 2р остается неизменным при повороте системы координат, когда координаты х, у, г переходят в х', у', г'.
В самом деле, при ьгл. хь твоуия возмущении 294 повороте (70.2) х'+ у'+ г' = х'+ у'+ г', д' дг дг Ф дг дг ~'=-т+ ---+ — = —, + — + —, дхг ду- "дгг дх'г ду'г дг'г (?0.2') — — — + —,) + — ' (х'+ у') Ч" = Етх. (70Л) аьг ! дгЧ' дгяьЬ Игь) 2Ьь (ь дхг ду- ') 2 Гамильтониаьь в этом уравнении остается неизменным при пово- роте системы координат вокруг осн Ог. Таким образом, оп обладает симметрией вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
