Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Всего 2(2(+1) состояиий. Таким образом, налицо 2 (2!+ 1)-кратиое вырождение. Гела учесть теперь слабое взаимодействие спина с мати!тиым поле ! орбитальных токов, то эисргия сосзояиия будет заш;сеть сщг. от орин!таки!! спина а относительно орбиталш!ого ьюмгп!та М. Яы пе буде!! здесь излагать расчет этого взаимодействия, так как поправка иа взаимодействие спина и орбитального даижеш!я оказывается такого же порядка, как п поправка, происходящая от зависимости массы электрона от скорости.
Поэтому правильный расчет расщепления уровней требует в этом случае релятивистского уращ!еиия для движош:я электрона, рассмогрщ!ие которого выходит за рамки этого курса. Огра!и!чимся качественным анализом этого расщепления и оцгп!кой его величины. й(агиитиый момент электрона «Ян иахощггся в поле орбитального тока 7ь"г, Его зшгргия в этом поле рав!щ ЛЕ =- — ('ЖоЖ!). (65.5) Величину магиигиого поля Ж! мы можем оцепить как гщгшпиое поле,и!поля, эквивалситио.о орбиталы!ым токам, т. с. диполя с моментом 9Я!. Зто поле равно зр (3:"! г) г !лзГ! (65.6) где г есть радиус-век!ор, сосдиия!ощий диполи Мл! и ".Л)а.
Поскольку !шс иитересусг '!илько порядок вел!шипы ЛЕ, зо мы 'г!!! можем счптазь гъ,=-,, где а сеть длииа порядка виутриа!омил ' пых расстояний (!О-л см). То!да ЛЕ " — '„— ! сох («з! в, Ж!), (65. 7) Величины момеитоь М!о рз!и по порядку равны магпегоиу Бора (9,27 18 и зрг' г, а соэ('.И, Ж), в си.!у свойств с!шиа, ь ожег прииимагь зо.!ько два з!!ачсиия '-. 1 (смозря по ор!!оптации си!,!!а: по полю Ж, или иром!в пего). Подставляя в (65.7) числе!шыс значения, получаем ЛЕ: ! 8 1ц "' орг. Зга величина мала в сравиеиии с раз!юсгью эисргий мщклу уровп!жш, от.и!чающ!!- мися числдмп и, Е и иозгсм'!' Розникающис 3ювыс с!и'ь! рады!ыс линии близки друг к другу. В час!иост!!, д;!я уисвшиашисгося в Э 57 дублета Г~!а (лоции 5896 Л и 588!! Л) ЛЕ . ',8.10 ".з)зг, Таким об)лазо!!, )зазли и!ел! в ориент !!!иют гпиногого лтгнптного .л!ол!енто по отношепи!о к внутреннвпу л!агнипгнол!у полю 274 соьствгннын мехлннческпп и магнитный моменты ггл, х ,о Рис.
48. Слогксние снииового и орбитального мочеигов н ик пренессия вокруг направления волного иоиеюа а. )'= й"1 (!+1), (65.9) а проекция Я иа произвольное направление ОЯ имеет значения а', = г!тгч (65. 10) при этом ! =1+1„ (65.11) если спииовой момент параллелен орбитальному, и 1=~1 — 1,(, (65.! 2) если оии аитппараллельиы. Подобным жс образом квантовое число т,, определяющее проекцию ас, есть ! пг/---и!+пг„!и,=='- 2. (65.
13) опгома лгоясно обьяснить происхожденг!е мульпи!г!леп!ности спектральных линий. Из изложенного явствует, что для атомов с одним оптическим электроном возможны только Дублеты (двойиьге липни) со- ответственно двум ориентациям спина электро- 7! на. Этот вывод теории вполне подтверждается спектральными данными, Обратимся теперь к нумерации уровней атома с учетом мультиплетпой структуры. При учете спин-орбитального взаимодействия ии орбитальный момент М, пи спиповый з не имеют определенного значения в состоянии с определенной энергией (оии пе коммутируют с оператором Гамильтона).
По классической ыехапике мы имели бы прецессию векторов М и в вокруг вектора полного момента ): Я---М+а, (65.8) как это показано па рпс. 48. Полный момент 3 остается при этом постоянпыа!. Соответствующее положение имеет место и в квантовой механике. При учете спипового взаимодействия только полный момент 3 имеет определенное значение в состоянии с задапиой энергией (ои кома!утнрует с опера~ором Гамильтона Й). Поэтому при учете взаимодействия спина с орбитой состояния следует классифицировать по значениям полного момепта 3. Как было показано в предыдущем параграфе, полный момент кваитуется по тем же правилам, что и орбитальный момент.
Именно, если ввести квантовое число 1, определяющее полный момент Я, то мультпплгтндя структура спсктроп 9 631 275 Так как (, т — целые, а (, и т, — полуцелые, то 1 3 5 1 1 3 (= 2-, -2-, 2, ..., и<---- "'2-, ' 2,, ~(5 (бо.14) В зависимости от ориентации спина энергия терма будет различ- 1 . ! ! ной, именно, она будет разной для ( =(+ — и ( =-1( — — ~. Поза!Ому 2 ~ 2 уровни энергии в етом случае следует характеризовать значениялт Ле; =.о (=У.
„г'=7/г г?,077 л Р0<д г ~ц ы! ив г ( е5<г ?е(л=( (=Ц у=~/У Рис. 49. Мультипдетиая структура 2р.герма атома натрия. Линии 5669,963 А и 6695,939 А образуют извеетныа дублет «верин — гьелтые ли«ни О, и Оо 2з-терм далеко о<оде«аут от 2р-т*рмоп, как зто и долвгао быть в водородоподобных атомах 1«< — вырождение винто!. п=1, 2, 3,..., Ою:( и — 1, (65. 1?) (65. 17') (65.17е) (65.! 7"') 1 2 ' (=(+(, или — (=-т, ==(. главного числа п, значениелс орбитального числа ( и числом (', определяюи)им полный момент, т.
е. в этом случае Е=Е„„. (65.15) Волновые функции будут зависеть от спиновой переменной 5, и различны для разных (5 ту,<( ч = тр <( (г, 0, <р, 5,). (65.16) (В этом случае переменные г, 0, <р и 5, не разделяются.) Квантовые уровни при заданном (, различающиеся величиной (, близки друг другу, так как они различаются как раз на энергию взаимодействия спина с орбитальным движением для двух разных ориентаций спина. Четверка чисел и, (, (, т, может принимать следующие значения: ята со! с!!! !!!и !!! линли!и!! ! ! и!! и мх! опгп! !!! сюм!!пты !Гл Вслпчппу орбиталы'ого момента I обозначают в спектроскопии б)кв.!ми (как мы .!то уже пояснили) з(1--0), р(1=-1), с)((==2), )()=3), ... Глав!юе квапто..ое число и стаьят впереди буквы. Справа внизу )казывшот ч, ело )'. Поэтому, например, уровень (терм) с и=3, (==-1, /=--," обозпачщот так: Зр,.
Иногда ставят еще '2 один значок: 3'р,— двойка слеза вверху указывает, что терм 3'р . принадлежит к числу дублем!ых (двойных). В случае одного оптического электрона это указание излишне, т. с. там все уровни дублетиые (/- — -(+(,. и ) =)) — (,, кроме, конечно, з-уровней, где (=О). При рассмотрешш гелия мы встретимся с случаем более сложпои мультиплетпой структуры. Так, благодаря паличшо двух электронов имеются одппочшле т'рмы (сппглетпые) и тройные (трпилетпые) (см.
3 122). Чтобы различать этп сз!у~!аи, значок, указываю!ций мультиплетпость уровня, все же сохраняют. Итак, дуювгнь, обозначоежий но обычнол!(7 способу (65.13) через Е,, *„ с~ентроснопнчеснн обозначается через 3'р и, На рис. 49 приведена схема уровней водородоподобиого атома (т. е. атома с одним оптическим электроном) с учетом мультиплетпой структуры.
Там же прппедепы кгаптовые числа п спектроскопические обозпачеш!я. Каждому пз рассмотренных уровней Е,„р; прш!адлежит 2/+! состояний, различщощихся числом т,, т. е. ориентацией полиого момента 3 в пространстве. Только при иаложсшш внешнего поля эти сливающиеся уровни могут разделиться (см. теорию сложного эффекта Зеемапа, 3 74).
В отсутствие такого поля мы имеем (2)+1)-кратное вырождеппе. Так, 2з .-терм имеет вырождение 2: два состопшя, отличающиеся орпситацией спииа. 2р. терм имеет з вырождение 4 соответственно ориептацпям 3: т, =-~ Глава Х! ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ $ 66. Постановка вопроса ,Лишь в очень немногих случаях задачу о нахождении кгаптовых уровней системы (т. е, о нахождении собственных зпа кний и сс»бстпе|шых функций оператора энергии Й) удастся разрепшт„ с помощью изученных в математике функций. В большинстве проблем атомной лаехапики таких простых решений пе существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рассматриваемая задача может быть прпближепио сведена к задаче, относящейся к более простой системе, для которой собствеииые значения Е, 'и собственные функции ф,", известны.
Такая возможность представляется тогда, когда оператор энергии Й рассматриваемой системы мало отличается от оператора Йе более простой системы. Точное зиачепие слов «операторы мало отличаются» выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которые относятся к кругу задач, могущих быль решеппыми приближен ю.
Допусти»к что иам известны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме. Нас интересует, как измепятся квантовые уровни и волновые функции, если атом поместить во виешиее электрическое или мапштиое поле. Достигаемые иа опыте поля обычно малы в сравиепии с впутриатомпым кулоповским полем'). Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будем говорить, воза«уи)ение (этот термии заимствован цз небесной механики и применялся первоначально для обозначения влияния одной плаиеты па орбиту другой).
Таким же путем могут быть учтены слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например,магнитные, а в иных случаях даже и кулоиовские. Общие методы решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений. ') В случае электрического пола можно достигнуть полей, сравнимых с анутрпатомными (ср.
а !01). теОРия Возмиа1ш1ии 278 !Гл х! Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Й обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Й равен Н „= 1ф"«Йф««(х. (66.6) Н =Н'+К. (66.1) Добавок Ф будем рассматривать как малый и будем называть э н е р г и е й в о з м у щ е и и я (илп иногда кратко — возмущением). Далее,мы предполагаем, что собственные значения Е„'' оператора Й' и его собственные функции ф~~ известны, так что Ноф (66.2) Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е„ оператора Й и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера Й»р = Е»Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
