Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Сравнение с (56.21') показывает, что в однородном электромагнитном поле центр пакета движется по законам классической механики как частица с зарядом е и массой р. Если магнитное поле отсутствует, то вместо (56.22) получаем (56.23) т. е. имеет место равномерно ускоренное движение центра волнового пакета.
Заметим, что в однородном электрическом поле не существует стационарных решений (соответствующие волновые функции обращаются в бесконечность при х=.+.со (смотря по направлению поля Ж„)). действительно, согласно (56.23), центр волнового пакета для (=со должен лежать в бесконечности: поле «сдувает» частицы в сторону падения потенциальной энергии. В магнитном поле существуют стационарные решения (см. 2 57). Они существуют также при одновременном наличии электрического и магнитного полей, если последние перпендикулярны друг к другу.
Из (563) н (56.2) следует, что если вместо потенциалов А н т' мы заедем новые А' н «", связанные с прежними формулами (56.24) А'= А+Чй (56.25) 242 МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ !ГЛ. !Х где ! †произвольн функция координат и времени, то потенциалы А' и г' описывают то же поле, что и А и Р. Действительно, 1 дА', 1 д 1 д/ б' = — — — — ЧР'=ж- — — Ч)+ — — =б. с д! с дт с д! К'=го! А'=Ю+го! (Ч))=,71~.
Таким образом, потенциалы А, )е вплоть да преобразования (56.24), (56.25) произвольны. Но потенциалы входят в гамнльтониан Й. Поэтому может показаться, что физические выводы могут зависеть от произвола в выборе А и г'. На самом деле что не так. Физические выводы зависят лишь от поля о, дй, а не от потенциалов А, (е. В частности, в уравнение движения (56.2!) входят лишь напряженности полей, а не потенциалы. Это пример, иллюстрирующий правильность приведенного утверждения. Предоставляем самому читателю прямой подстановкой показать, что если найдено решение уравнения Шредингера рл — = Йф, дф д! (56.
26) где Н вЂ” гамильтониан (56.3), то решение ф' уравнения Шредингера ея — = Й'ф', дф' д! (56.26') где Й' отличается от Й заменой А и Р на А' и )г' по формулам (56.24) и (56.25), будет получаться из ф по формуле ы „ре 1 Ле (56.27) ф'=4м '; так как / — действительная функция, то ! ф'р=~ф Р (56.28) й = — „(Р'Ч Р" — ф'*Чф') — — А' ~ Р ~ = 2р (Я,, е 2р = — (фрфе — ферф) — —. А ! Р Р=й (5626) с ы яе так как ргр' = Чфв ве + — ' Ч/ ф' Яс То есть вероятность местонахождения частицы и плотность тока остаются неизменными при преобразовании потенциалов (56.24) и (56.25), оставляющем неизменным электромагнитное поле.
Подобным же образом и все другие физические величины остаются теми же. Это свойство'уравнения Шредингера называется зле к тром а г н и гной или калибровочной январи аитностьют). 2 57. Движение заряженной свободной частицы в однородном магнитном поле Направим ось ОЕ по направлению магнитного поля. Тогда компоненты поля будут о2(" =- сер „ = О, еЗ", = 2!", ') Этим же свойством обладают классические уравнения Гамильтона (см. дополнение Ч!). $22! дВижение 3АРяженнОЙ чАстицы В ОднОРОднОм пОле 243 где а и (! — некоторые постоянные. Подставляя (57.4) в (57.3), находим уравнение для функ- ции 4 (у): а2 дс~р еусс С е2271 ' 2 Г а2с22 а2Р2 ~ — — — — + — л"усу+ — у2ср = Š— — — — ) ~р, (5?,5) 2И ду2 Ис 2рс2 (, 2И 2И Это последнее уравнение легко приводится к уравнению для осциллятора.
Для этого положим у=у «ас ест" ' (57.6) еД~" ыо= ис «262 е=Š— —. 2и (57.6") Тогда после простых преобразований получаем вместо предыду- щего уравнения новое уравнение — — —,+ — 1И'у=ау. ис21 '2 2и ду'2 2 (57. 7) Это и есть уравнение для осциллятора массы р, частоты се, (см. (47.3)). Отсюда на основании известных решений для осциллятора мы можем сразу написать нужные нам решения: $' <р„(у') = е ' Н„($), (57.6') (57.9) (57.!О) Вектор-потенциал А возьмем в виде А = — 72 у, А, =А,=О. (57.1) Тогда из уравнения (57.1) получается как раз нужное поле (чем и оправдывается выбор А): В2г „= О, с2г"„= О, суг, = — ~ " — с т".
(57.2) ду Других полей мы не предполагаем (У=О, Р'=О), поэтому на основании (56.3) уравнение Шредингера для стационарных состояний напишется в виде — уэф — — Лу х+ —,Л Иэф= Еф. (07.3) В этом уравнении мы можем сразу разделить переменные, если положим ф(х, у, г) =ему,а.),р(у) (57. 4) 244 МНКРОЧАСТНЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ [ГЛ.!Х Стало быть, собственные функции частицы в поле будут ы трава(х, у, г)=аып ча'е аН я) а квантовые уровни определятся формулой (57.11) Е.е) = '"~ (п+ 2)+ — ",', (57.
12) т) См, дополнение Х, где приведен соответствующий расчет по Классической механике. где п = О, 1, 2, ... Последний член есть не что иное, как кинетическая энергия движения по оси 02 (вдоль поля), первая же часть Еп(0)= ' ' (и+ 2) (57.12') представляет собой энергию движения в плоскости х, у, перпендикулярной к магнитному полю. Эту энергию можно записать в виде потенциальной энергии тока, обладающего магнитным моментом чауа, в магнитном поле Ж (О, О, З ).
Именно, положим Е„(0) = — (И1Ю) = — й)1,оуг" =й1а (2п+ 1) Й". (57,13) Из этой формулы мы видим, что проекция магнитного момента М, на направление магнитного поля есть целое кратное от магнетона Бора %а. Полученное квантование энергии свободной частицы, движущейся в магнитном поле, является важным следствием квантовой механики, так как приводит к наличию диамагнетнзма у электронного газа, в то время как по классической теории днамагнитные свойства у электронного газа должны отсутствовать.
Собственные функции (57.11) вполне соответствуют классическому закону движения в магнитном поле. Именно, по классической теории мы имеем круговое движение в плоскости х, у с частотой юа (как раз эта часть энергии квантуется) и свободное движение по оси ОХт). Действительно, волновая функция (57.11) означает, что обобщенный импульс по оси ОХ равен р,'=йа и по оси ОХ равен р,'=й~. По оси Ог' мы имеем гармоническое движение с частот р1 той юе около положениЯ РавновесиЯ Уе= — '.. Согласно классие — е эа'. ° ческой механике импульс по оси ОХ также постоянен, и это не противоречит тому, что по оси ОХ также происходит гармоническое колебание около некоторого положения равновесия хсо так как р„= ро„+-' А„, а не рпа! С Обобщенный импульс р'„определяет положение равновесия у„ и поэтому от него не зависит энергия движения Е„(р).
$ ЕП ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОИ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 245 То обстоятельство, что по квантовомеханическому решению как будто получается гармоническое движение только по оси ОУ, в то время как классическое круговое движение означает гармоническое колебание и по оси ОУ, и по оси ОХ (с разностью фаз И,72), связано с тем, что волновая функция ф„„в(х, у, г) (57.11) описывает состояние с неопределенным положением равновесия х, для колебаний по оси ОХ. Так как энергия Е„(()) не зависит от а, то мы имеем бесконечно высокое вырождение, соответствующее различным возможным положениям точки равновесия х,. Поэтому энергии Е„(()) ПРИНаДЛЕжИт НЕ ТОЛЬКО НайДЕННОЕ НаМИ РЕШЕНИЕ 7(7 в, НО И ВСЕ волновые функции вида +СО $а ф„а(х, у, г) = ~ с(а) е7О7" аме ' н„(е) да, где с(а) — произвольная функция а.
В частности, можно подобрать с(а) так, чтобы решение Ч7„В соответствовало определенному положению точки равновесия по оси ОХ(х,). Глава Х СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА (СПИН) й 58. Экспериментальные доказательства существования спина электрона Изложенная в предыдущем теория движения заряженной частицы в магнитном поле является далеко не полной.
Дело в том, что помимо механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, электрону необходимо приписать собственный механический и магнитный моменты, как если бы он являлся не материальной точкой, а вращающимся заряженным волчком. Этот механический и магнитный моменты называют с п и но в ы м и (в отличие от механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, которые мы будем теперь называть орбитальными). Само явление называют с п и н о м электрона.
Мы изложим кратко те опытные факты, из которых следует существование спина электрона. Одно из наиболее простых и прямых указаний на существование спина электрона получается из опытов Штерна и Герлаха по пространственному квантованию (~ 3). Штерн и Герлах наблюдали расщепление надвое пучка атомов водорода, заведомо находящихся в з-состоянии. В этом состоянии механический, а вместе с ним и магнитный орбитальный моменты равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
