Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(55.1 Г) В центре зоны (около й = О, см. рис. 43) можно разложить (55.11') по степеням й, тогда найдем Е[(Ф) =Е,о+Е?1(1 — 2 + ...). (55.1 Г) Для свооодного движения энергия равна а2Аа ЕА = сопз(+— 2[1 (см. ~ ?). Поэтому (55.11") можно переписать в виде а1А1 Ет (й) = сопз1+ —,, где р* есть так называемая эффективная масса (55.11'") (55.23) (55.24) Соответственно импульс равен р= — '", йй, (55.25) Ет (й) = Е1в — Ел (1 — + ...), Ь'а1 2 т. е. отличается от импульса свободной частицы коэффициентом р/[А*. Подобным же образом можно представить энергию н на краях зоны (й =.+.
Л?а). Возьмем, например, окрестность точки й = + и/а. Положим й=п/а — $. Тогда соз (ал) = соз (л — $а) = — соз Яа). В этой области з 551 движении электрона в периодическом полк 235 т. е Е) (й) = соп51 + — '„,, (55.23') где р** есть эффективная масса на краю зоны. Из (55.24) следует, что т. е. эффективные массы в середине и на краю зоны имеют противоположные знаки. Доказанные в этом отделе теоремы имеют исключительное значение в современной теории металлов '). Не имея возможности входить в детали этой обширной в настоящее время теории, мы ограничимся самыми краткими замечаниями. Теорема о движении группы в периодическом поле показывает, что в периодическом поле электрон движется с неизменным средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю (это впервые было показано Ф.
Блохом в 1927 г.). Поэтому омическое сопротивление металла может быть вызвано только тем, что реальный металл не является средой с идеально периодическим полем. Отступления от строгой периодичности полЯ вызывают РассеЯние электРонных волн [тР)ь(х)1 и приводят к изменению среднего импульса электрона Р)ь, чем и вызывается омическое сопротивление. Эти отступления от периодичности обусловчены двумя причинами: 1) тепловыми колебаниями атомов металла, 2) наличием посторонних вкраплений в кристалле и случайными микродеформациями.
По мере уменьшения температуры металла уменьшается амплитуда колебания атомов, а вместе с тем уменьшается рассеяние электронных волн, и следовательно, падает сопротивление. В хорошо приготовленном кристалле вторая причина может играть малую роль, поэтому сопротивление металла будет стремиться к нулю (или очень малой величине) по мере понижения температуры '). По классической теории, оно должно было бы возрастать («замерзание электронного газа»). Построенная на основе этой качественной картины количественная теория омического сопротивления металлов приводит к хорошему согласию с опытом.
Отметим еще одно интересное обстоятельство. Несмотря нато, что опыты Толмэна твердо установили, что проводимость металлов обусловлена движением электронов, оказалось, что в некоторых т) Мы должны были бы обобщить зти теоремы на три измерения. Однако зто обобщение тривиально сводится просто к увеличению числа переменных (х, и, з вместо х, /г„, ла, л, вместо д), и все теоремы сохраняют свою силу. з) Это уменьшение сопротивления металлов ие следует смешивать с явлением «сверхпроводимости», которое заключается в резком, скачкообразном исчезновении сопротивления некоторых металлов при понижении температуры. 236 микРОЧАстицы В поле потенциАльных сил 1гл. чп! металлах знак эффекта Холла таков, как если бы проводимость была обусловлена положительно заряженными частицами.
Эта аномалия полностью объясняется с точки зрения квантовой механики. Можно показать, что если проводимость металла обусловлена электронами, находящимися на краю зоны, то дело будет обстоять так, как если бы это были не электроны, а положительно заряженные частицы. Представим себе, что на электрон, находящийся на краю зоны, действует электрическое поле'Ж. Сила, действующая на электрон, равна еЖ. Эта сила вызовет изменение среднего импульса, которое по теореме Эренфеста равно — = ЕО.
ЫР Ж Согласно (55.21) получаем Нр Л /и ЫЕ! и Н!Е !1й а! !Й1,й йй) й !1й"- !и' С другой стороны, работа, произведенная полем за 1 сея, равна ЛЕ НЕ (й 1 ЫŠ— — — = е8о= е8 — —. ч! Ай Л! й лй ' Отсюда ~й ео <й= й Имея в виду, что, согласно (55.23'), ~-"Е дтЕ й! дИ ~ф' мы получаем (55.26) Обычное положение дел таково, что р* положительно. (Это видно уже из того, что с уменьшением величины периодического поля У-эО, т.
е. при переходе к свободному движению, р*-~р). Но из (55.25) следует, что р**= — р*(0. Следовательно, согласно (55.26), электрон, находящийся на краю зоны, движется так, как если бы он имел заряд е'! е' =е —, н !! ~ ~ т. е. заряд, по знаку противоположный заряду е(так как ~„(0). Глава 1Х ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ $ 56. Произвольное электромагнитное поле Рассмотрим теперь движение частиц с зарядом е и массой Р в произвольном электромагнитном поле.
Пусть напряженность электрического поля есть 8, а напряженность магнитного поля ой. Эти напряженности мы выразим через скалярный потенциал )г и векторный потенциал А: (56.1) га =го1А. (56.2) Гамильтониан для этого случая приведен в р 27 и равен (27.9) Й = — Р' — — (АР)+ — '' йчА+ — „', А'+е$'+У, (56.3) где У вЂ” силовая функция и присоединена на тот случай, если помимо электромагнитных сил имеются еще н другие силы. Мы не будем сейчас искать стационарные состояния, так как в произвольном электромагнитном поле они не всегда существуют. Ограничимся установлением уравнений движения и из них выведем некоторые общие заключения.
Для установления уравнений движения мы можем опираться на общую теорию, изложенную в р 32. Согласно (32.2) и (32.2') дело сводится к вычислению квантовых скобок Пуассона для координат х, у, г и импульсов Ра, Р„, Р„причем под оператором гт' следует понимать гамильтониан (56.3) ').
г) дальнейший расчет аналогичен классическому, рассмотренному а лопол. ненни Ч1. 238 МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ [ГЛ. 1Х Следовательно, (56.6) Эти операторные уравнения в точности совпадают со второй группой классических уравнений Гамильтона (см. дополнение Н1, формула (10')), если под Р понимать величину, а не оператор. Вторая группа уравнений получается несколько более сложным путем. Вычислим — „"; — "= [Й Р ] = — — [АР, Рс]+ — [[[[у А, Р„]+ + — „,, [Ае, Р ]+[ела+У, Рх].
(56.7) Вычислим все эти скобки, начиная с последних: др дУ [е'«'+У, Р„]= — е — — —, дх дх ' (56.8) — [А*, Рх]= — — — = — — [А — + А — «+А — ') ее е " ее дде ее 1 дл дА«дле1 2рсе ' х 2рсе дх рсе ~ " дх « дх * дх )' [Г[1УА Рх] ~ х+ «+ е) Уае . " Гае д д! у А Гае 1 деле УА оеА 2рс ' " 2рс дх 2рс ~ дх' дуде дедх)' Вычислим сначала оператор скорости — „1 ~ —, — „напишутся тогда по аналогии). Имеем — =[Й, х]= — [Р', х] — — [АР, х]. (56А) Первую скобку мы уже вычисляли (32.5); она равна Р,7р. Для второй имеем [АР, х]=[А„Р„, х]=.—,.„(хА,Є— АхРхх)= = —.„[хАхЄ— А„(хЄ— Й)] = А,.
(56.5) пуоизвольноа элвктуомхгнитноа пола % ее! Следовательно, ДР„ дУ Де' е Г дА„ Г е — "= — — — е — + — ! — "(Р— — А 1+ дг дх дх ус ) дх ! " с «/ + дх (~е с Ае)+ дх (е е с А,)~ — 2 дх ' (56.9) Чтобы получить производную не от обобщенного импульса, а от обыкновенного, равного, согласно (56.6), сх " е (56.10) нужно из (56.9) вычесть — — ". Для этого вычислим е сА„ е сАх с д! с сг' Имеем — — '= — — "+ — [Й, А ]. е ДАх е дА„е с д! с дг с (56.11) ! ДА„ дУ ДА„ ДА„ дА, дАе — — — = ехт — ' — — '=аг с дЕ дх "' дх ду ' е' де дх да!чА д /дАх ДАе'1 Д /дАс дАх! 7еА — "~ — — ! — — — ) = — го(хМ, дх ду ~ ду дх ~ дх ~ дх де,~ Подставляя сюда Й из (56.3), находим —;~й, А„) = —,' ф, А.) ", (ЛР, А.1.
(56,19) Далее, вычисляем эти скобки: (Р' Ах1=2( —" Рх+ — "Ре+ — "Р ) — Ир'А„, (56.13) Отсюда получаем Вычитая теперь — †„ " (56.15) из — (56.9), находим е ДАх д~х Но Имея еше в виду (56.10), получаем из (56.16) их ю ег ар аг1 ае )г — = — — +еЖ + — ~М" — — чй" — ~ — — го1 Ю. ЕГ2 — Вх к е( 'и~ е ЕГ) Зие (56.17) ер ег Операторы скорости — и — не перестановочны с полем ае ЕГ ЕГ (если оно неоднородно). Поэтому в (56,17) лучше произвести снмметризацию: = — Я"„(Р, — — ' А,) = — ( Р, — — А,):Л „+ — — '' " .
Отсюда следует, что (56.18) Подставляя (56.18) в (56.17), получаем ахи ви р — = — — +ее + ар ох Выражение Р.=А+ —,' [(~.— ",~ + 4.21;) — (Л „— "„', + ег Я „)~ (56.20) следует рассматривать как оператор силы Лоренца, действующей в поле е, ае на частицу с зарядом е. В самом деле, классическое выражение для силы Лоренца имеет вид Р„=ев„+ — ~:Л,— „— чЗ „— „~. Остальные два уравнения для осей ОУ и ОЕ, очевидно, напишутся путем циклической подстановки х, у, г.
Переходя от операторного равенства (56.19) к уравнению для средних значений (для чего умножаем (56.19) слева науй*(х, у, г, 1), а справа на ~р(х, у, г, 1) и интегрируем по всему пространству), мы получаем теорему Эренфеста для движения в электромагнит- ном поле ~зх аи р — = — — +еЖ + лта дл х + е ~(аУа». Ы' + П' 21- ) (56.21) Это уравнение вполне аналогично классическому уравнению Ньютона р —, = — — +еЖ„+ — ~Л",— „, — Я"„—,). (56.2Г) Рассмотрим теперь специальный случай движения в однородном электрическом и магнитном поле. В этом случае Ж и М не зависят от координат и поэтому коммутируют с операторами лХ а)з гг †, — и †. В силу этого для однородных полей вместо лт ' и( л( ' (56.21) получаем р — „", = еЖ„+ — (а2("х — „~ — о2("а — „); (56,22) 2, у, 2 суть координаты центра волнового пакета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
