Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 41
Текст из файла (страница 41)
на основе анализа эмпирических данных о спектре водорода. Впоследствии эта формула сыграла исключительную роль в расшифровке спектров и послужила пробным камнем для квантовой теории атома. Спектральные линии серии Бальмера обозначаются буквами Н,(п=З), Нв(п=-4), Нт(п=5) и т. д. Кроме серии Бальмера и серии Лаймана, на диаграмме приведены и другие серии, соответствующие переходам на уровни п= 3, 4 и 5 (серии Ритца — Пашена, Брэккета и Пфунда, соответственно).
Линии этих серий лежат в инфракрасной области спектра. Спектры водородоподобных ионов Не+, 1.1~~ и т. п. имеют такой же вид, как и рассмотренный спектр водорода, но все линии перемещаются в область более коротких длин волн, так как в этих случаях постоянную Ридберга следует увеличить в У' раз. Именно, согласно (51.3) и (51.4"), частоты для этих ионов будут вычисляться из формулы !1 1 (51.
7) Обратимся теперь к более детальному анализу квантовых состояний и соответствующих собственных функций ф„м, (», 0, гр) (50.23). Любое определенное состояние, задаваемое тройкой квантовых чисел а, 1, и, представляет собой собственное состояние трех одновременно измеримых величин: энергии, квадрата момента импульса и проекции момента импульса на некоторое направление ОУ. Все эти три величины имеют в состоянии ф„ь„ 0!0 микеочьстнцы в пола потенциальных сил [гл.тц! определенные значения, именно, л»««!«1 Е » 0Ь« и» ю (51.8) М)=0»1(1+1), 1=0, 1, 2, ..., п — 1, (51.9) М,=От, т=О, + 1, + 2, ..., +'1. (51.10) Таким образом, динамическое значение квантовых чисел и, 1, т заключается в том, что главное число и указывает величину энергии Е„, орбитальное число 1 — величину 'щ=члдллл»р момента импульса М) и, наконеи„ » магнитное число т — величину проекции момента импульса М, на некоторое произвольное направг Ыг ление 03.
Три величины Е, М), М, впол- 1 не определяют волновую функцию и поэтому образуют полный набор величин. Число их, как и ! - должно быть, равно трем, т. е. числу степеней свободы (ср. 0 14). Квадрат абсолютного значения «Р„,„(г, 0, «р) («координатное предРис. 3!. Сферические координаты. ставление») дает вероятность того, что при определении положения электрона в квантовом состоянии и, 1, т он будет обнаружен в окрестности точки г, 0, ~р. Точнее эта вероятность определяется так: (51.13) !о«л (г, 0, ф) г« Ь з!и 0 «(0 «йр = =!»р„г (г, 0, ~р) )»г»а!гз!паб8 !йр.
(51.11) Чтобы нагляднее представить себе характер этой вероятности, мы приводим на рис. 31 сферическую систему координат. Полярная ось О». выделяется тем, что она есть как раз то направление, на которое проектируется момент импульса М,=От. Обозначая через Ю элемент телесного угла з!п0Юаьр в области 8, р и пользуясь формулой (50.23) для»р„,, мы можем написать вероятность (5!.11) в форме «омт (», О, «р) г' бг «Я = Йлс (г) г' дг / Ъ ь, (О, р) /' Н(1.
(5! .12) Если мы проинтегрируем (51,!2) по всем углам е(!1, то мы получим вероятность найти электрон между двумя сферами радиусов г и г+бг. Обозначим эту вероятность через !в»и (г) Нг = Я'„'~ (г) г» ~1». й 51! СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 2!! сти для различных состояний. Числа ние чисел п, 1 (п,=а — 1 — 1). На- Ж Л~ Я а1 и-ппппиппипг!"й! 1р гр ж Е)р-аипуппппп11-11 1! 12 гР ТР й) у! пппптпппип 11.д) а ппапппдпп Ю Поэтому при больших значениях г вероятность ш„,(г) будет равна ухг — — т22г' Яи йр с (г) Л!'.~е ис ' ) (5!.15) Отсюда следует, что длина па12А есть длина, определяющая па размеры атома, так как для г=в вероятность атга(г) практически равна нулю. Приведем более подробный расчет для самого нижнего квантового состояния (л = 1).
В этом случае из (50.19) имеем )бхо (Р) = й!тое (51.16) Следовательно, йгг — — /гтя тахо(г) =№!оайе ' ( — ) . 'та) ' (51.17) На рис. 32 даны эти вероятно на кривых показывают значе пример, 31 означает а=3, 1=! (п„=1). По абсциссеотложено расстояние от центра р=г1а (см. (50.4)).
Из графиков можно видеть, что число а, (которое называют радиальным квантовым числом) равно числу узлов волновой функции )с„ь При этом мы имеем не узлы в точках, а узловые поверхности, ибо )с„, обращается в нуль при некотором г=г', а это означает поверхность шара радиуса г'. Стало быть, в состоянии, характеризуемом числами и, 1, имеется и,= =п — 1 — ! узловых поверхностей, имеющих форму сферы.
Выясним теперь значение введенной ранее длины а. Из вида функций )сгга(р) (50.!9) следует, что при больших г(р -ы Оо) радиальная функция )х'„, принимает вид агб )~та(р) =Л.,е =('— „".)" '+... (51. 14) Рнс. 32. Распределение заряда в первых состояниях атома водорода. По осн абсцисс отложено ресстониие г в радиусах первой боровской орбиты, оо оси орда. наг — веронтность найти электрон в сфериееском слое с радиусами г и г + Пг. 212 микрочлстицы в поле пОтенциАльных сил 1гл.тип Максимальное значение этой вероятности получается при р = = Яг/а=1.
Отсюда следует, что в состоянии п=! (1=-ит=О) наиболее вероятно найти электрон при го = — = — = — '1О а см. а Лт 0329 -а г =рстг г (51.18) Это есть в точности ради ус первой орбиты Бора, величина которого впервые была получена Бором из старой теории квантования в 1913 г. Так как нижняя орбита по теории Бора — круговая, то по этой теории вероятность найти электрон в состоянии и = 1 отлична от нуля лишь на шаре радиуса Ъ г=г,.
Согласно же новой квантовой механике она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 33 соподлй ставлены вероятности по старой теории (ш„,) и по новой (ш„,) для состояния и = ! атома водорода. При. веденное соответствие между сн„„ и сн„ наблюдается и для других состояний: оно является далеко не полным, что видно уже из того, что в квантовой механике в нижнем со() Г стоянии момент импульса М) = 0 (! = Рнс. 33.
Сравнение ва, (г) и = 0), в то время как по старой тео- т в в„(г) длн состоянии' н=) рии в этом же состоянии М~=яв. ()=т=о). Несмотря иа неполноту указанного соответствия, картина распределения вероятности становится более наглядной и указывает на связь между квантовой и классической механикой, которая и в самом деле существует (ср. гл. Ч1). Обратимся теперь к распределению по углам.
Если проинтегрировать (51.1!) по г от 0 до оо, то мы получим вероятность тн1 (О, ср) Ю того, что электрон окажется лежащим где-то в телесном угле д1! (см. рис. 31) около луча (О, ср). В силу нормировки функций )с , получаем ,„(О, р) (а=~)пн(О, р)~,(а. (51. 19) Из вида функции У, (О, сс) следует, что вероятность не зависит от угла тр и равна ') в~ (О) ~И = Ф~ Рт,' ~ (соз ОЦ~ сИ.
(51.20) Следовательно, распределение по углам обладает симметрией тела вращения около той оси, на которую фиксирована проекция момента импульса (у нас эта ось есть ось Ог",). ') Уьв — нормировочный множитель, см. дополнение Ч. э а!1 СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА й1з На рис. 34 мы изобразили графики вероятности геь„для различных состояний 1, и.
При этом принята полярная система координат О, гн,„, так что величина ы, откладывается по радиусу-вектору. Для сравнения приведены орбиты по Бору, расположенные надлежащим образом. При 1=0, т=О вероятность „(О) =(Р11 =,-'„- (51.2!) не зависит от угла О, и поэтому мы имеем сферическую симметрию. Состояние, в котором момент импульса равен нулю (1=0), 1=0 леоны е~ $ е(е алаларрлы -и- -ф- ~ ( К ~я а=1 т й т;-- т=-я ллейароны Х'+4 ~- Я е(ев а- а й а;-- а=-3 т=-,) .М-+4. ))к -р- г г Рнс. 34. Угловое распределение электронов еьн (0) для э-, рэ о- н Рсостояний.
называют з - с о с т о я н и е м, соответствующий терм называют э - т е р м о м; з-состояние характеризуется, следовательно, шаровой симметрией. Соответствующих орбит по Бору нет. Это обстоятельство представляло одну из трудностей теории Бора, так как приходилось сопоставлять с оптическим з-термом состояния с 1=1 (т=О, -+ 1), в то время как опыт однозначно показывал, что электрон в з-терме не обладает орбитальным механическим (и магнитным) моментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
