Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Именно, вместо (50.3) получаем е('и ( 2Я 1(1 + 1)) ЛР +~'+ —— В соответствии с проведенным в предыдущем параграфе исследовании асимптотического поведения функции и мы будем искать и в виде и (р) = е-"Р1(р), а = 1/ — е, (50.7) где 1(р) — новая искомая функция. Подставляя и (р) из (50.7) в (50.6), мы найдем уравнение для функции 7(р). Именно, после несложных вычислений получаем — — 2а- -+1 — — ))=О. Ие) Л) (22 1(1+ 0 (50.8) е(Ре ир ( Р Ре Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням р.
Из общей теории мы знаем, что конечное при г = 0 решение уравнения (50.3) таково, что ряд по степеням г должен начинаться с члена г"'. Из (50.7) тогда следует, что конечное в нуле решение (50.8) должно начинаться с р'"'. Поэтому 7(р) будем искать в виде 1(Р) =Р"'2, ЛРР' (50.9) где а„— пока неизвестные коэффициенты ряда. Рассматриваемый нами случай соответствует притяжению (см. рис.
28). Поэтому согласно общей теории движения в поле центральных сил мы будем иметь непрерывный энергетический спектр для Е>0 и дискретный для Е<0. Мы поставим себе задачу найти этот дискретный спектр и соответствующие собственные функции Р. В целях удобства решения введем вместо г и Е безразмерные величины р= — и е= —, Г Е д Ф (50.4) ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ Ряд (50.9) должен быть таков, чтобы функция )т'(г), которую мы можем теперь, согласно (50.2) и (50.7), написать в виде е еп/ (о) (50.9') Р не возрастала до со при р-ьсо. для нахождения коэффициентов ряда а» подставим (50.9) в (50.8) н соберем одинаковые степени р. Эта подстановка дает ~ [а»+т [(»+1+ 2) (»+1+ 1) — 1(1+ 1)]+ + а„[2Š— 2ог (»+1+ 1)])р»+' = О. (50.10) Чтобы ряд (50.9) был решением уравнения (50,8), нужно, чтобы (50.10) было удовлетворено тождественно при всех значениях р от 0 до со.
Это возможно лишь в том случае, если коэффициенты при каждой степени р равны нулю, т. е. когда а»»з[(»+1+2) (»+1+1) — 1(1+!)]+ +а»[27 — 2а (»+1.+ 1)] = 0 (50.11) для всех значений». Эта формула дает рекуррентное соотношение между а, и а».„т: 2и (»+ !+ 1) — 22 а»ез — ( 1„( 1„) ! ! ) а„, »=0,1,2,3,... ° (50.12) Первый коэффициент а„ конечно, произволен, так как уравнение однородно. Дав ему какое-либо значение, найдем из (50.12) а,; по а, найдем аз и т.
д, Вычисляя все аг, мы получим искомое решение в виде ряда по степеням Р. Нетрудно видеть, что полученный ряд будет сходиться при всех значениях р, но при больших р растет столь сильно, что е оп) )1 =-' — при р -+.ОО будет стремиться к бесконечности '). Таким Р г) Полагая л= —, з=2!+1, перепишем (ЕО.!2) в виде Л (»+ — ) — х о».,з=, ) 1,+, ! 1 и» а» „2га Отсюда видно, что отношение — — > — при»-»оо.
Далее, мы можем взять и„»+ 1 талое » = »', что з -(- ! »'+ — — )г 2 1 ) — (!+ в). где е ) О, — (1+ е) ( 1 ° 1 2 Начиная с этого значения», коэффициенты а„растут быстрее, нежели козф- 904 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ (ГЛ, УШ образом, как это и следует нз общей теории 9 49, конечное при р=О решение не будет, вообще говоря, конечным при р=со. Однако решение будет заведомо конечно и при р=ОО, если ряд оборвется на каком-нибудь члене. Тогда 7(р) будет многочленом и тт' будет стремиться к нулю при р-~ОО. Такое решение будет собственной функцией уравнения, так как оно конечно во всем интервале от р=О до р=ОО и однозначно.
Легко видеть, что обрыв. ряда на каком-нибудь члене, например, номера ч=п„может произойти лишь при определенном значении параметра уравнения а. Действительно, положим, что коэффициент ает еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент а„+, обращался в нуль, необходимо, чтобы 2а (и„+ 1+ 1) — 2Л =- О, т. е а= (50.13) Ясно, что при этом условии не только а„+т, но и все последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны а„„. Таким образом, (50.13) есть необходимое и достаточное условие, чтобы решение ) (р) обращалось в много- член, а вместе с тем функция )т (р) оставалась бы всюду конечной. Полагая п=п,+1+! (50.14) и подставляя в (50.13) значение я из (50.7), получим лэ (50.14') еэе'р 1 Е = — — —, л йдэ лэ' (50.15) фициенты ряда, определяемые рекуррентной формулой и (1+в) Ьт+1= 1 1 Ьт.
Ряд же с этими коэффициентами дает й(р) сап еа Поэтому 1(р) растет быстрее 1,(р), и, следовательно, функция (50.9') будет стремиться к со при р -э со. Имея в виду выражение Е через е (50.4), мы получаем, что конечные и однозначные решения )т существуют лишь при следующих значениях энергии электрона: ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 205 где число а принимает, согласно (50.14), значения и = 1, 2, 3, ..., л, = О, 1, 2, 3, .... (50.!б) Число и определяет, как мы видим, энергию электрона и называется главным квантовым ч иолом.
Полученная формула для квантовых уровней Е„электрона, движущегося в кулоновском поле, найдена впервые Бором на основе полуклассической квантовой теории. В этой теории, где квантование носило характер искусственного рецепта, приходилось специально оговаривать невозможность значения и=О. В квантовой механике это значение исключено само собой, так как 1 принимает значения О, 1, 2, ..., а и, есть номер члена ряда (50.9) и имеет наименьшее значение О.
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению полученных квантовых уровней Е„, рассмотрим еще вид собственных решений 7((р), Для собственных решений а=Я(и, поэтому формула (50.12) упрощается: 22 л — (1+У+!) ° (+~)(21+ +2)"' (50.16') Вычисляя один коэффициент за другим и подставляя их в (50.9), получим 1 (р): и — 1 — ! (2Лр) (л — 1 — !) (л — 1 — 2) (22р')з !!(21+2) (, и /+ 2! (21+2) (21+3) (, л 1 + 1 л (л — 1 — !) (л — 1 — 2) ...
! 722р'~лг) ил! (21.+2) (21+3)...(2!+ л +!) ( и Отсюда видно, что целесообразно ввести новую переменную: (50.18) Объединяя все постоянные множитсли в один фактор Ф„п мы получим из (50.9'), что функция Я„,(р), принадлежащая квантовым числам и и 1, будет равна 1 Р ($) =й( е ' Й"~+!'(Е) (50.19) где через Е~'ф~' обозначен многочлен, стоящий в фигурных скобках в формуле (50.1?). Такое обозначение связано с принятым в математике. Дело в том, что многочлен в (50.17) выражается через производные многочленов Лагерра, которые определяются формулой Еи ($) = еь —— ,е (е и$~).
(50.20) Тогда под многочленом Ей(е) понимают многочлен Ей($) = —;Е~(Ц. (50.21) 206 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ. ЧП1 Полная собственная функция, согласно (49.4), будет равна произведению Е„1 иа собственную функцию оператора момента импульса, т. е. грига (1 0 1р) )счг (») 1»1~ (9, гр).
(50.23) Энергия Е„, как следует из (50.15), зависит лишь от главного квантового числа и. Если это число задано, то из (50.14) вытекает, что число 1, которое называют орбитальным'), может иметь лишь такие значения: 1=0, 1, 2, ..., и — ! (п,=и — 1, и — 2, ..., 0). (50.24) Далее, как мы знаем, магнитное число т при заданном 1 пробегает значения т = О, + 1, + 2, .... + 1 (50.25) Подсчитаем теперь, сколько различных волновых функций принадлежит квантовому уровню Е„.
При каждом 1 мы имеем 21+ 1 функций, отличающихся числом иг. Но 1 пробегает значения от 0 до и — 1, поэтому полное число функций будет ч-1 ~х, '(21+1) = и'. (50.26) 1=О Таким образом, каждому квантовому уровню Е„принадлежит и' различных состояний. Мы имеем дело со случаем пз-кратного вырождения. 9 51.
Спектр и волновые функции атома водорода Подставляя в формулу (50.15) значения универсальных постоянных е, р и й, мы можем вычислить квантовые уровни электрона, движущегося в кулоновском поле ядра номера Е. На рис. 30 приведены эти уровни для атома водорода (2 = 1).
') Число 7 называют орбитальным квантовым числом по той причине, что в старой боровской теории оно определяло при заданной энергии форму орбиты; т называют магнитнмм квантовым числом по той оричине, что оно играет существенную роль в магнитных явлениях (см. Я 74, 75, 129, !30).
Полагая здесь 7е=.и+1 и в=21+1, легко убедиться, что мы получим многочлен, заключенный в квадратные скобки в (50.17). Формулы (50.20) и (50.21) легко позволяют вычислять функции )т„г. Множитель й7„в (50.19) мы будем выбирать так, чтобы функция )7„1 была нормирована к единице: 1 Иг»зг(» = 1. (50.22) о спектн и волновыв оэнкции атома водорода 207 $6Ц Числа по вертикали слева дают энергию уровней в электроновольтах (энергия отсчитывается при этом не от О, а от нижнего уровня Е,).
Как видно, по мере роста главного квантового Елг А7 11 146 Ш Рнс. 30. Схема квантовых уровней атома водорода. числа и уровни располагаются теснее, и при и = со Е = О; далее идет область непрерывного спектра Е)О, соответствующая ионизованному атому. Энергия нонизации атома водорода равна ! = — Е = "'--, = 13,55 зн. 2ат (51.1) Чтобы понять значение чисел, нанесенных на правой вертикали, напомним, что частота света со, излучаемого при переходе из уровня Е„,„в уровень Е„т, согласно квантовой теории света, 208 мнкрочдстицы в полн потенциальных снл !гл.юп определяется из уравнения Бора '). ям= Епнп — Епсн ' (51.2) Величина тт 4 3,27 10" сек-' 4лйз (51.4') называется постоянной Ридбер га — Ритца н впервые была вычислена теоретически Бором.
В спектроскопии величину термов Е чаще указывают не в частотах —, а в волновых числах, покай зывающих, сколько длин волн Х укладывается в 1 см. Если циклическая частота света есть оз, то обычная частота т= —. Эту-то частоту и измеряют обычно в 1!Х, так что спектроскопическая частота (волновое число) равна обыкновенной частоте т, деленной на скорость света с: тепептР т с 2 СМ -1 Постоянная Ридберга — Ритца в волновых числах равна )Г = 4 йз = 109737,30 СМ 1.
(51.4п) Термы водорода в этих же единицах равны 1,09 10 1 2 3 и' и' (51Хп) Числа, нанесенные на диаграмме уровней атома водорода (рис. 30) справа, дают величину спектральных термов в обратных сантиметрах. Линии, соединяющие уровни, по своей длине пропорциональны энергии кванта света, излучаемого или поглощаемого при переходе электрона между этими уровнями.
Указанные на этих линиях числа дают длину волны Х света в А. ') Это будет доказано. Пока мы опираемся на изложенное в 4 2. Подставляя сюда энергию Епн из (50.15), получим Еее411/1 11 ОЗ= — ~ —, — — ! И'(И. 2й' 1л" ле7' (51.3) Эта формула (при 2=1) дает частоту света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода. Величина — "' называется с п е к та р аль ным термом. Разности термов дают частоты.
Для атома водорода терм равен (51.4) $ зц спектг и волновые чхнкции Атома водогодА 209 Все частоты, относящиеся к переходам, кончающимся одним и тем же нижним уровнем, образуют так называемую спектр ал ь н у ю с е р и ю. Отметим наиболее важные серии водорода. Переходы на уровень п=! (нижний) образуют серию Лаймана. Частоты серии Лаймана вычисляются по формуле ч = Р ( —, — —,), и = 2, 3,.... (51.5) Среди этих спектральных линий линия п=2 имеет наибольшую длину волны 1=1215,68 А. Она находится в ультрафиолетовой части спектра. Переходы на уровень п = 2 соответствуют излучению видимого света. Совокупность этих спектральных линий образует серию Б альме р а. Частоты этой серии суть (51.6) Формула (51.6) была найдена Бальмером в 1885 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
