Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(состояние а), в состояние с импульсами р„р„... (состояние ))) равна вероятности за такой же отрезок времени перейти из состояния, характеризуемого обращенными импульсами — р,, — р„... (обращенное состояние р), в состояние с импульсами — р,", — р.",, ... (обращенное состояние а) '). Из краткого очерка унитарных преобразований видно, что весь мптемптический аппарат квантовой механики может бьшгь сформулнрован на языке операторов, предсгпавленных в форме матриц и на языке унитарных преобразований. $ 48.
Гайзенберговское представление и представление взаимодействия в квантовой механике В этой книге почти повсюду принято такое описание квантовых систем, в котором операторы т"'., сопоставляемые классическим динамическим переменным, не зависят от времени. Всю информацию о временном развитии системы несет волновая функция 4Р (х, 7), явно зависящая от времени и удовлетворяющая нестационарному уравнению Шредингера (28.3). Такой способ описания называется шредингеровским представле- ') См.
пв этому поводу работу автора, ЖЭТФ 17, 924 (1947), где подробно рассмотрев этот вопрас. глизвнвгвговсков пиедстлвленив 175 н нем операторов 1. и волновых функций ф(х, г). Аналогом ему в классической механике является метод Гамильтона — Якоби, в котором основную роль играет функция действия 5 (х, 1), подчиняющаяся уравнению Гамильтона — Якоби (см. 9 35). Помимо этого в классической механике широко используются лагранжев и гамильтонов подходы.
Оказывается, что им также можно сопоставить квантовые формализмы. Построение квантовой механики в рамках лагранжева подхода рассматривается в конце книги в 9 138 (так называемая фейнмановская формулировка квантовой механики). Что касается канонических уравнений Гамильтона, то, как было показано в 9 32, эти уравнения имеют место и в квантовой теории (см.
(32.2) и (32.2')). Однако в принятом нами шредннгеровском представлении эти уравнения не описывают эволюцию операторов во времени, а определяют лх и новые операторы -- н — через Х, Р= — И7 и Й. ар и Гайзенберг еще на первом этапе развития квантовой механики (1927 — !929) применил метод канонических уравнений Гамильтона для нахождения квантовых операторов как функций времени и для определения собственных значений оператора энергии Й. Для этого он использовал представление операторов в виде (42.12). Уравнения Гамильтона (32.3) и (32.2') в этом представлении записываются следующим образом: (й „=[Й Р[ (45.1) (-"„-,) = [Й, Х[.„.
(45.2) Матричные элементы операторов Р и Х зависят теперь от времени согласно (42.12). Задача заключается в нахождении матриц Й, Р(1) и Х(1), удовлетворяюших этим уравнениям н дополнительным условиям [Х, Р„~1= 1, [У, Р [=-0 и т. д. В матричной форме эти скобки принимают вид [Х Р.1-=б-. [р', Р,~„„=О и т. д., причем умножение операторов Х и Р, представленных в матричной форме (42.12), должно выполняться по правилу умножения матриц (40.11). !76 основы теории ппндстдвлвнин [гл.
чн В подавляющем большинстве случаев решить дифференциальное уравнение Шредингера оказывается значительно легче, чем найти решение матричных уравнений (45.1) и (45.2). Однако в квантовой теории поля область применения гайзенберговского представления более широка. Поэтому мы сформулируем здесь связь представления Гайзенберга с обычным шредингеровским. При этом будет использован аппарат унитарных преобразований по времени (см.
3 44). В некоторый момент времени 1, операторы в обоих представлениях должны совпадать. Пусть это будет прн те=0. Волновую функцию в этот момент обозначим Ф(х): Ф(х)=ф(х, О). В момент времени ( эта функция, согласно (44.1), может быть и представлена в следующем виде: с * тР(х, 1)=Я(1, 0)Ф(х), где 8(1, 0)=е " . (45.3) Далее возможны два пути. Можно взять операторы Е не зависящими от времени и пользоваться прн вычислении матричных элементов волновыми функциями тр(х, ().
В результате получим шредингеровское представление. Другой путь состоит в перенесении всей временной зависимости на операторы с помощью преобразования А(()=5- (1, 0) Е5(1, 0). (45.4) В этом случае волновые функции Ф(х) не зависят от времени. Такое представление операторов и волновых функций называется гайзенберговским представлением. Дифференцируя (45.4) по времени, получаем уравнение движения для гайзенберговских операторов (45.5) где (Й, 1. (1)1 =,.г (А(1) Й вЂ” Йс,(()) — квантовая скобка Пуассона (31.5).
Уравнение (45.5) формально совпадает с (31.7). Однако смысл этого уравнения теперь иной: оно не служит определением нобй вого оператора —, а описывает эволюцию гайзенберговского опеш' ратора А(1) во времени. Эквивалентность обоих методов вытекает нз равенства матричных элементов операторов в шредингеровском и гайзенберговском представлениях'). Действительно, в представлении Шреднн- т) В этой связи следует подчеркнуть, что матричные элементы операторов определяют физически наблюдаемые величины, поэтому не могут быть различ. ными в эквивалентных представлениях. ГАйЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ й 451 177 Й = Йе+ )((т (х, 4), причем уравнение Шредингера с гамильтонианом Й, Нотр.
= Ея. решается точно, а оператор 457(х, 7) является малым возмущением '). В этом случае волновую функцию 4Р (х, 7), подчиняющуюся нестационарному уравнению Шредингера с оператором Й = = Й,+ )и' (х, (), целесообразно искать в виде 4Р(х, Г) =и а Ф(х, (). Действительно, подставляя (45.6) в уравнение (45.6) получим гйбсп(х' 0 = )7(Х, 7) Ф(Х, 7), (45.7) где г Й га, а " '4" о, О' ') Например, Йе описывает свободное движение частицы, а йт (х, 0 описывает воздействие слабого виешиего поля. гера матричный элемент Етз оператора 1, для любых двух состояний тР,(х, 4) и 4Ра(х, () Равен ~та=')тР4 (х, 7) ЬРа(х, ~) гтх.
Выражая здесь 4Р4 (х, 4) и тра(х, г) через Ф;(х) и Ф,(х) с помощью (45.3), найдем (.та = ~ Ф;" (х) 34 ((, О) ЕВ (~, О) Ф, (х) гтх = = ~ Ф,"' (х) 1, (~) Фа (х) 4(х = В„((). Прн этом мы воспользовались унитарностью оператора Я: 34 = 3 '. Частный случай перехода от представления Шредингера к представлению Гайзенберга был рассмотрен в ~ 42. Гамильтониан Й был приведен там к диагональному виду, поэтому —.„-' Е„г оператор 3(1, О) оказался равным е " "б„, Помимо шредингеровского н гайзенберговского представлений находит применение, особенно в квантовой теории поля, п р едс т а в л е н и е в з а и м о д е й с т в и я.
Суть его заключается в следующем. Пусть гамильтониан Й имеет вид ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ пв ИГЛ. УП есть оператор энергии возмущения в представлении взаимодействия, а Ф(х, 1) — волновая функция в том же представлении. Так как возмущения )Р' (х', 1) и )х(х, () считаются малыми, то преобразование (45.6) и (45.7) позволяет перейти к медленно меняющейся волновой функции Ф (х, 1) (при Р' = О Ф (х, 1) по'- просту постоянна). Таким образом, в представлении взаимодействия и операторы и волновые функции явно зависят от времени, При этом изменение операторов во времени определяется «свободным» гамильтонианом Йю: $ 46. Матрица плотности Пусть оператор (. дан в координатном представлении в виде матрицы Ь,, Среднее значение Х в состоянии ф,(х) будет (ср.
(41.2")) Х, = ~ ~ Йх' дхф' (х') (.„,ф, (х). (46.1) Если из чистых ансамблей, характеризуемых волновыми функциями ~р„образовать смешанный ансамбль такой, что каждое чистое состояние будет представлено с вероятностью Р„, то среднее значение Е в смешанном ансамбле будет (ср.
(22.18)) Х = ~'" Ра1а = ~Х~ Ра~ ~ дх ЫХ фа (Х ) 1 хк1хЬа (Х) (46 2) а а (при условии 'Я Р„= 1). Равенство (46.2) можно переписать в следующем виде: ~ = ~ ~ Е(Х' ~(ХРкх 1,х к1 (46.3) где рхх равно Ркх' = ~ Р~Яа (Х ) хха (Х) а (46.4) — [а Р (г)1 а возмущение В'(х, 1) обусловливает временную зависимость волновой функции В В 83, где рассматривается теория квантовых переходов под воздействием слабого возмущения, используется переход к представлению взаимодействия. Это преобразование выполнено - — „'йм там в энергетическом представлении, поэтому операторы е + — Е сводятся к числам е МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 179 Оператор р, представляемый матрицей с элементами р„„(46.4), называется оператором плотности'). Выражение (46.3) есть не что иное, как сумма диагональных элементов оператора р1.- Поэтому мы можем написать (46.3) в виде Х=Вр Я) (46.5) В другом представлении, разлагая-тра(х) по собственным функциям тр„(х) некоторого оператора М, имеющего дискретный спектр собственных значений Мт, М„...„М„, ..., получим из (46.2) ~ = ~'.~,~~ ~'~ Рогат~-тесал (46.6) т.
е. Рлт =,У> Расатоал~ а (46. 7) где сал суть амплитуды в разложении фа(х) по ~рл(х). Стало быть, в этом представлении имеем (46.8) Диагональный матричный элемент матрицы р имеет смысл вероятности (или плотности вероятности). Действительно, полагая в (46.4) х'=х, найдем рлл =,У~ Рл ~ Фа (х) ~ = ш (х) а (46.9) т. е. плотность вероятности для координаты х в смешанном ансамбле. Подобным же образом из (46.7) получаем рлл ~~~ ~Ра ~ пал ~ = шл, а (46.10) ') Этот оператор был введен Нейманном (ем. 1. У. Хепшапп, тло11.
ХасЬт., 1927). т. е. вероятности найти в смешанном ансамбле значение М=М„. Рассмотрим теперь, как будет меняться оператор р с течением времени. Матрица (46.4) определяет р для какого-то момента времени, который мы можем принять за начальный (1=0). Смешанный ансамбль, описываемый этой матрицей, есть набор независимых систем, каждая из которых находится (с вероятностью Р,) в одном из чистых состояний ф,(х)=тр (х, О). Система, находившаяся в момент 1=0 в чистом состоянии тр (х, О), в момент основы теонии пяедстлвлинии !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
