Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 32
Текст из файла (страница 32)
о О 1.„О „. О (40.1) О О О...1.„„. Важным случаем диагональной матрицы является единичная матрица б с элементами 6 „, равными (О, т~п, бп~п = ~ Фарп 1(» = ~ 1 1, 1п=п. (40.2) Эта матрица имеет вид ооо О1ОО ОО1О о...... (40.2') Из определения матричных элементов единичной матрицы (40.2) следует, что единичная матрица остаетеч единичной в любом предппавлении, ибо равенство (40.2) имеет место для любой системы ортогональных,функций чр„(»). Элементы диагональной матрицы Л всегда могут быть записаны в виде С.„= 1.„6,„„.
(40.3) Часто наряду с какой-либо матрнцей Л с элементами ь „приходится рассматривать производные от нее матрицы. Среди таких отметим сначала комплексно сопряженную матрицу Элементы этой матрицы комплексно сопряжены соответству1о1цим элементам исходной матрицы: (йч)...=Ио. (40.4) Далее, из данной матрицы можно образовать транспонированную матрицу ь. Эта матрица образуется из исходной путем взаимной замены строк и столбцов. Элементы этой матрицы определяются формулой (Е) „=Е„. (40.5) Если мы возьмем матрицу, комплексно сопряженную транспонированной, т. е.
А*, то мы получим матрицу, которую называют с оп р яже ни ой к исходной и обозначают через Е'. Ее ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ г58 1гл. нп элементы определяются формулой (7.').. = (7.*).. = 7.!.. (40.6) В том случае, когда сопряженная матрица равна исходной: Л."=1, (т.
е. В „=7.„;,„), (40. 7) она называется эрмитовской или самосопр яжея ной. Это определение вполне соответствует нашему прежнему определению эрмитовского нли самосопряженного оператора (18.7). В самом деле, если оператор 7.— эрмитовский, то мы имеем для его матричных элементов Т..=М,Ь~.дх=Ь„К "р",. дх =7,".. Рассмотрим теперь алгебраические операции над матрицами.
Обратимся сначала к сложению матриц. Пусть дан некоторый оператор С, являющийся суммой операторов Л и В. Тогда под суммой матриц А и В мы будем понимать' матрицу оператора С. Легко найти элементы этой матрицы. Имеем С,„„= — ~ ~р,*'„Сф„дх =- ~ ф,"'„Лф„т(х+ ~ ф,Вф„г(х, (40.8) следовательно, С„„,=Л,„+В „, (40.9) т. е. мопгричньй элел~ент сулыны оосраторов ровен сумме соответствуклаих алел~антса каждого но входяа1ах в сумму операторов. Весьма важным в смысле прпложеш,й является правило умножения матриц. Для установления этого правила вычислим матричный элемент оператора С, являющегося произведением двух операторов А и В.
Пользуясь определением матричного элемента, получаем С„„,-= $ф";„Сфвг(х= — $ф„*,А (Вф„) дх. (40.10) ВелпРпша В1Р„сама является некоторой функцией и может быть разложена в ряд по ортогональным функциям фл(х): В$" = Х ЬиЬ (х). где *оь = ~ 1КВ|р„г(х =- В„„. Подставляя это разложение в (40.10), получим С„„, = — (Зъ~4,.1 ~,'Вв„ър„г(х = У ВА„~ ф',";,Афл т(х= — ~ ВА„А А. А А А % 401 МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 159 Следовательно, С«,„= ~ А,„АВ„«. А (40.
11) сг 0 0 с, 0 0 (40.12) еп Таким же образом представим и функцию гр: О 0 О 0 (40.! 3) Теперь легко видеть, что (39.5) может быть написано в виде матричного произведения Ц> = Ь>Р, (40.14) где гр есть матрица (40.13), 4Р— матрица (40.12), а Š— матрица (39.7). В самом деле, например, Ь„есть элемент т-й строки и первого столбца матрицы (40.13). Он должен получиться, согласно (40.11), путем перемножения элементов т-й строки матрицы (39.7) на элементы первого столбца матрицы 4)> (40.12).
Но это как раз и дает уравнения (39.5). Сопряженную волновую функцию с",, с.,", ..., с„", ... Можно записать в виде матрицы, сопряженной к (40.12), именно, в виде матрицы с одной строкои: с' с« .„«« г « " а 0 0 ... 0 (40. 12') В (40.11) заключено правило умножения матриц: жлобы гголучпть лгатричный элемент С„,„матрицьг, ггрсдставлягощей прогюведснпе операторов А и В, нйжно элемснпгы т-й строки матрицы А умножить на элементы и-го столбца лгагприцы В и сложить.
Правило сложения матриц (40.9) и правило умножения матриц (40.11) позволят по данным матрицам операторов А, В, находить матрицы, представляющие различные функции от А, В,... Кроме того, правило умножения позволяет в несколько иной форме представить формулу (39.5), выражающую результат действия оператора Е на волновую функцию.
Именно, эту формулу можно рассматривать как матричное произведеняе. Лля этого запишем волновую функцию в «Еь-представлении в виде матрицы с одним столбцом ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ шл. Хи !60 С записью волновых функций в виде матриц (40.12) мы встретимся в теории магнитного момента электрона. Заметим еще следующий результат из правила умножения матриц. Матрица С', сопряженная к произведению С двух матриц А и В, должна писаться в виде С' = (А В) к = В 'А'. (40.15) В самом деле, элементы С,'„„по определению сопряженной матрицы равны СР .
Из (40.11) имеем Стер=Срт=~А;"ИВАРт= ~~ВтАААА= А (В')тд(А')рк. А А А Совершенно аналогичным путем (заменяя суммы на интегралы, символ 6 „на 6(р' — р)) получаем соответствующие формулы для непрерывных матриц. Именно, вместо (40.2) имеем единичную матрицу 6=6 (р' — р). (40.2") Элементы диагональной матрицы запишутся в виде барр=~(р') 6(р' — р). (40.3') Свойство самосопряженности выразится формулой ~.р р — ~ртр. (40.?') Матричный элемент суммы двух матриц А и В будет равен Срр — — Ар р+Вр р, (40.9') а матричный элемент произведения двух матриц А и В будет равен Ср;,=~АР -В, т(р".
(40.11') Приведем примеры непрерывных матриц. Рассмотрим сначала оператор координаты х в «р»-представлении. Согласно определению матричного элемента имеем . р'к . Рк 1 Р хр'р= ~ тгр'хфрт(х = а ~ е хс ох= аль Р (Р Р) д = —,д — 2 л ~ е " с(х= — тпд — 6(Р' — р) (40.16) Т др2па д др Далее, по форл1уле (39.5'), определяющей действие оператора 1., данного в матричной форме, на волновую функцию имеем Ь (р ) — ~ хр,с (р) е(р — — Ю ~ -- 6 (р — р) с (р) 1р. МАТРИЦЫ И ДЕПСТВИЯ ИАД 1и!МИ » 40! 1б! Производя здесь интегрирование по частям, находим Ь(р')=[ — И6(р' — р)с(РЯ~ +И ~ 6(р' — р) — ~г)р, или Ь(р) = — И! —, дс !Р) др (40.17) или !р (х) = У (х) ф (х), (40.19) т.
е. действие функции У(х) в «х»-представлении сводится к умножению ф (х) на У (х). Результат опять-таки известнып. Подобным же образом оператор Р может быть дан в матричной форме Р„=+ И1 6 (х — х'). д (40.20) Имеем 00 (х') = ~ Р„ ф (х) «(х = И ~ :- 6 (х — х') ф (х) «(х. Г д Интегрируя здесь по частям, получаем !р(х) = — И вЂ” ф(х), д (40. 21) т. е. матричное представление (40.20) оператора Р эквивалентно д дифференциальному Р = — !И!, —,. На основании формул (40.18) и (40.20) любой оператор, д данный в виде 7".~ — Ид, х) =7".(Р, х), можно написать в дх' т.
е. оператор х в «Р»-представлении может быть дан либо в виде матрицы (40.16), либо в виде дифференциального оператора И вЂ” (40.17). Последний результат нам уже знаком (ср. 2 13). д д!0 Оператор х в своем собственном представлении может быть изображен диагональной матрицей х„„= х'6 (х — х'), (40. 18) а оператор любой функции У (х) — матрицей У, „= 1' (х') 6 (х — х'). (40. 18') В самом деле, по формуле (39.5'), заменяя там обозначения Ь на 00, с на тр, р на х, получаем !р (х') = — ~ У, „ф (х) 0(х = ~ У (х') 6 (х — х') ф (х) «(х, 162 основы теогин пгедстлвленни игл. чн матричной форме таким образом, что ф(х') = ~ 1,,$(х)г(х=А( — (йд-„х')ф(х'). (40.22) Для определения матричных элементов Л„, достаточно рассматривать операторы Р и х в ь(Р, х) как матрицы (40.18) и (40.20) и выполнить умножение и сложение этих операторов сосласно правилам (40.9') и (40.11') для непрерывных матриц. Нетрудно, например, убедиться, что в матричном координатном представлении гамнльтониан И=--+) (х)= — — ' — з+( (х) Рх И У йи 2и дхз (40.23) будет иметь матричные элементы Н х == — з — а,, + Р (х') 6 (х — х').
(40.24) 9 41. Определение среднего значения и спектра величины, представляемой оператором в матричной форме ф(х, 1) =~с„ф„(х, (), ф*(х, () =~ с,'„'ф' (х, 1). (41. 1) (41. 1') Подставив их в формулу Е =- 1 ф' (х, () (, ф (х, 1) г(х, получим Е = ~", ~ с„",с„~ ф,"иааф„г(х, т. е. (- =,у.', ~; с;бХапсл (4 1.2) Это и есть выражение для среднего значения ь' величины ь, если представляющий ее оператор Ь дан в матричной форме. Рассматривая совокупность с„ как матрицу ф с одним столбцом Формула (19.1) для среднего значения величины, нзображад емой оператором Е( — И вЂ”, х) в состоянии ф(х, (), может быть легко переписана в матричной форме. Пусть ф„(х) — собственная функция, принадлежащая и-му собственному значению величины, взятой за независимую переменную (например, энергии).
Представим ф(х, Г) н ф"' (х, 1) в виде ряда й 4П ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СПЕКТРА ВЕЛИЧИНЫ 163 (40.12), а совокупность св — как сопряженную матрицу гР4 с одной строкой (40.12'), мы можем по правилу матричного умножения записать (41.2) в виде Е = ф'Еф. (41.3) Спектр величины (совокупность ее возможных значений) и собственные функции представляющего ее оператора Е определяются согласно (20.2) нз уравнения ЕгРГ=Ефы Подставляя в это уравнение тр из (41.1), умножая слева на гр' и интегрируя по х, получим ~' с„~ тр"' Егр„г(х =- Е ~ ', сз ~ гр"' тр„е(х или ~ Е „с, = Ес, (41,4) Егт — Е Еи 1м !.44 Егг Е 1-гз " 1-гл (41.5) 0. ).з! 1-зг Езз "° ).зл 1.
Это уравнение накладывает ограничения на возможные значения Е. Оно является уравнением бесконечно высокой степени Е (трансцендентным) и будет иметь бесконечно большое число корней: Е= Е„Ег, ., Е„... В алгебре доказывается, что корни такого уравнешзя обязательно действительны.
Совокупность значешгй Еа, прп которых разрешима система уравнений (4!.4), и будет совокупностью собственных значений оператора Е. Подставляя в (4!.4) один из корней уравнения (4!.5), например, Е„мы найдем соответствующее это~у корню решение Е = Еа сз =- с! (! а) сг = ге (Еа) ° ° ° гл = сл (Еа) ° ..
('11.0) Совокупность найденных такпм образом зпачсшш сн сз, .,., сп, ... и будет собственной функцией оператора Е, принадлежащей ') Такой опрсдслитель следует рассматривать как предел определителя, образованного для системы коне ~ного числа Аг неизвестных с„, при А4 -ь со. Уравнение (41.5) имсст смысл, если такой предел существует. Пример такого уравнения читатель найдет в кингс: У и т те к е р и В а т с о н, Курс современного анализа, т, 1, Физматгиз, 1963, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
