Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 28
Текст из файла (страница 28)
16) Однако в этом случае гамильтониан совпадает с оператором полной энергии, Поэтому (33.16) выражает тот факт, что полная энергия в поле сил, не зависящих от времени, ес>пь интеграл движения. Ппаче говоря, (33.16) выражает закон сохранения энергии в квантовой механике. Согласно изложенным выше свойствам интегралов движения !равнение (33.16з) следует понимать в том смысле.
что ни среднее >ннчспие энергии Е, ззи вероятности найти отдельные возможные значения энергии Е = Е„ не зависят от времени '). '1 О законе сохранении энергии в квантовой механике см. $ 113. Таким образом, момент импульса в поле центральных сил есть интеграл движения. Применим теперь равенство (33.1) к гамильтониану. Полагая 1'.=Й, получаем Глава Н! СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ Доказанные в 3 32 теоремы Эренфеста утверждают, что во всяком состоянии ф для среднего значения механических величин имеет место квантовое уравнение Ньютона ') (34.1) Представим себе, что ф отлично от нуля заметным образом лишь в очень малой пространственной области Ах.
Такое состояние мы будем называть волновым пакетом. Если бы среднее значение х изменялось согласно классическому уравнению Ньютона и форма, пакета не менялась бы, то движение пакета ~тр," мы могли бы рассматривать как движение материальной точки, подчиняющейся ньютоновской механике. Вообще говоря, такого движения по квантовой механике не получается, так как, во-первых, волновой пакет расплывается, а, во-вторых, чтобы движение центра тяжести пакета х совпадало с движением материальной точки в поле У(х), нужно, чтобы осуществлялось равенство оО йи (д) дк ох (34.2) Последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим все же подробнее те условия, при которых движение пакета приближенно совпадает с движением материальной точки.
Среднее значение х координаты х, т. е. координата центра тяжести пакета, определяется формулой х= ~ф*хтр с(х. (34.3) ') Мы ограничиваемся одним измерением. Обобщение рассузядений на пространственный случай не представляет никаного труда. й 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона 127 % зн КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ 1Л УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА Среднее значение силы есть аи г , аи — — =, — дт гр' — гр ~ . дх ' д дх (34.4) Но 1 гг*'Ф Дя = 1 Ф*гр Дх = 1 ~ град> 1$ = ~ гр* (х — х) гр г(х = О, ~ гр*~хгр д = ~ гр* (х — х)е~ г(х = (йх)х.
Поэтому ди ди (х) 1 д"и(х) — — — — — (глх)' — .. дх дх 2 дхг (34.6) Нз уравнения (34.1) имеем агх аи (Гй ( дги(Е) гиг дх 2 дх' (34. 7) Ргсли силовое поле медленно изменяется в пространстве, то, выбрав достаточно малую ширину пакета ~Лх)', мы можем в этом уравнении пренебречь всеми членами, кроме первого. Тогда мы получим уравнение Ньютона для движения центра тяжести (х) волнового пакета: аи (х) )г д(г дх (34.
7') которое будет справедливо для того промежутка времени (, для испорого отброшенные в уравнении (34.7) члены малы, т. е. по край- ней мере при условии пока (34.8) Положим х=х+$, тогда а = ~ фх (х+Р а- ' ф(х+ $) г)$, (34.4') Допустим, что (г'(х) — достаточно медленно меняющаяся функция переменной х в области, где ~ гР,' заметным образом отлично ди(х+и от пуля. Тогда .
можно разложить в ряд по степеням й. дх Производя это разложение, получим дх дх — — — 1 Р"Ф% — — — 11*К Р4— аи ди (х) Г „1 дги(х) (' 1! дхг — — ( ) ~ (Р "$'гР г($ —... (34.5) )33 связь с клАссическОЙ мехАникОЙ и ОптикОЙ (гл.ус й=(ф ифдх=()(х). (34.9) Но этого нельзя сказать о кинетической энергии Т. Действительно, ~= — = — (Р-Р+Р)'= — + — '.
(34Д0) ра ! — з (Лр)е Рз 2!с 2ц 2)з 2)с ' В силу соотношения Гайзенберга 4 поэтому в (34.10) первый квантовый член может оказаться гораздо ббльше классической энергии частицы, движущейся с импульсом р. Квантовым членом в (34.10) можно пренебречь, если рз (Ар)з, Лз 2Н 2я ж 4 (дх)з (34. 1! ) Таким образом, движение частицы момсно считать пронсходящшл по законам классической механики в течение времени г, если в течение этого времени можно одновременно удовлетворить неравенствам (34.8) и (34.11).
Одновременному удовлетворению обоих этих неравенств благоприятствуют следующие обстоятельства: 1) большая кинетическая энергия частицы Т, 2) поле (г'(х) представляет собой медленно меняющуюся функцию координат х. Таким образом, переход от квантовых уравнений движения к ньютоновским получается при переходе к большим кинетическим энергиям частиц и плавно менягои(имея полялс. т) Для всох функций (l(х) вида; У:=а+Ьх+схз, как следует из (34.7), движение центра тягкссти пакета точно совпадает с классическим движением материальной точки в поле () (х).
К числу таких случаев относятся: а) свободное движение, в) движение в однородном поле, с) гармонический осциллятор и некоторые другие (например, в однородном магнитном поле получаются те же результаты, что н для осциллятора), Величина (Лх)', определяющая размеры пакета, есть функция времени и, вообще говоря, растет со временем (см.
ниже) — пакет расплывается. Поэтому, если даже неравенство (34.8) выполнено в начальный момент времени, то, начиная с некоторого момента (, оио может нарушиться. Но и выполнение неравенства (34.8) еще пе означает, что состояние частиц совпадает с классическим '). Действительно, если взять очень узкий пакет ((Лх)' мало), то средняя потенциальная энергия частш(ггс по квантовой механике практически равна потенциальной энергги материальной точки, находящейся в центре волнового пакета: 130 КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Н УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА й зт! Рассмотрим теперь расплывание пакета для свободного движения частицы. Среднее квадратичное отклонение (Лх)' есть среднее от величины (Лх) з =- х- — хе, где х — координата центра пакета.
Согласно (34.7) имеем дк д! — =о, х=б!+хе, (34.12) ! и так как для свободного движения оператор Й =- — Рз, то') 2р [Й, хз] =- — [Рз, хе] = —. (х'Рз — Р'хе) =— 1 ° . ! - - „.ТР— Рх 2и ' 2РЦА " р д(Лк)з Таким образом, оператор равен д(Лх)з хР+Рх дхз хР+Рх р д! р 2ох. (34.13) Вычислим теперь вторую производную дз(Лх)' д (д(Лх)з'), [Й д(Лх)з] дехе ( . х)З+Рх ~ " 1=„,'.«" '"- ''"»=-;.
т. е. ьм (Лх)з 2Ре дзхз 2Рт = — — — = — — 2оз. ре дР рз (34.!4) Ввиду того, что Р' коммутирует с Й, все высшие производные от (Лх)е равны нулю. таким образом, разложение (лх)з в ряд Тейлора по степеням г имеет внд (Лх)з=(бх)з+ ( !хР+Рк 1 1 12Р' р — 2бх] !+ — ( — 2бз) Р. (34 Б) 2! (г рз Переходя от операторов к средним значениям, получим (Лх) =(Лх)'-' + ( — 2бх) 1+ ( — — Вз) Р, (34.!6) (Лк)з — величина, обязательно положительная, цозтому из (34.16) слвдует, что (Лх)) с ростом ! неограниченно растет (может быть, переходя через минимум), т. е пакет расплывается. Во многих случаях (в зависимости от вида ф (х, 0)) ') Во всех дальнейших расчетак пользуемся формулой Рх хР— !Д.
т, е. центр пакета дни>котся иперциально со скоростью о. Производные величины (Лх)е по времени вычисляются по общей формуле (31.7). Полагая там Е =(Лх)', находим д(Лк)з д(Лх)з - „г!Хт дт д! ' дт = — + [й,(Л )з]= — — + [й, хе], 140 связь с клйссичвскоп мвхлиикоп и оптиков (гл.чгг член с 1 исчезает. Тогда (34.16) получает особенно простой вид: (Л )1=(бх)е+(бр)а!-", где (бр)в — среднее квадратичное отклонение скорости: !ря (Др)в = — — ОЯ = гР— ба. !св Расплывание такого пакета совпадает с растеканием роя частиц в классической механике, если их начальные положения и скорости распределены около сред- Ц=Ц -И Рис.
20, Данн<ение н расплывание волнового пакета в отсутствие внешних сил. них значений с квадратичными отклонениями (бх);-' ,н (йо)с. Однако в классиче- ской механике можно взять рой, в котором (ЛхД н (Ло)т равны нулю. В квантовой механике этого сделать нельзя в силу со- А' отношения неопределенностей. Рис. 20 иллюстрирует сказанное выше о движении и расплывании волнового пакета.
В качестве приложения теории двиткения пакета, нзчоженной в этом параграгре, найдем усчовия, при выполнении которых рассеянис частицы в поле атома можно рассматривать методами классической механики. Пусть радиус сил взаимодейа ствня между атомом н проходящей около него частицей будет а. Ясно, что для того, ч юбы можно о было говорить о траектории частицы внутри атома, необходимо, чтобы размеры волнового пакета Лх были много меньше а (рнс.
2!), На основании (34.10) н (34.11) можно сделать вывод, что кинетическая энергия частицы ря Т = — )) — ~ — (так как Лх < а). При 2Р ВР (бх)в 8Рав А этом же условии пакет не успевает заметно рас. плыгься за время прохождения частицы через атом, Рис. 21. Рассеяние ча. а а.(т стицы в поле атома. которое по порядку величины равно 1= — =— р Действительно, нз (34,!7) следует, что расширение пакета составляет Лх'=ар 1=- -Х бр )с а р Лр к — = — а; так как при выполнении (34.11) р р Лр((р, то Ьх'(а. Радиус действия сил по порядку величины равен радиусу атома а =10-а см.
Для а-частицы, с типичной энсрг«ей Т=1 Маг=1,6 10 а эрг, р =)у2Р„Т=4,6 1О " (масса а-частицы р„=6,7 10 ве г). С другой стороны, Π— центр атома, л — радиус действия сил, ЯЯ' — траеиторня пакета, расплывающегося от шйрины Ьл до шириаы Ьхс 4 ЗЗ) УРАВНЕНИЯ ШРЕДННГГРЛ Н УРАВНЕННЕ ГАМИЛЬТОНЛ вЂ” ЯКОЬИ 14! !Уа=! 10 ".
Таким образом, для сх-частицы уравнение (34.1!) выполнено. Следовательно, рассеяние м-частицы можно рассматривать ьоеталами классической механики (что и было впервые сделано Резерфордом в его знаменитой теории рассеяния а-частиц). Однако, если а-частица проходит вблизи ядра, то необходимо учесть действие ялерных сил, для которых сфера действия а = 1О ы см, йга = 1.!О " и уравнение (34.11) не будет выполнено. Поэтому рассеяние а-частиц ядерными силами нельзя изучат~ средствами классической механики. для электронов (р,= 9 . 10 та а), например, при Т= 100 за имеем и, = = 5,4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
