Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Заметим еще, что, представляя силу как градиент от сг, мы исключаем вихревые поля (случай, когда го! Р ее 0). Однако такого рода силы, не зависящие от скорости, в механике микрочастиц неизвестны. ГАмильтоиидн 11З теперь потенциальной энергией, то и Н не есть полная энергия системы. В полной аналогии с классическим выражением функции Гамильтона гамильтониан напишется в квантовой механике для этого случая в виде й=-т+и(х, а, г, г), (27.2) уь" = го(А, (27А) где о — напряженность электрического поля, Ю вЂ” напряженность магнитного поля.
Классическая функция Гамильтона Н, приводящая к правильным уравнениям движения в электромагнитном поле, имеет вид Н= — ~р — — Л~ +с)с, (27.5) где р (р,, Рэ р.) есть вектор обобгцениого импульса ~так что е 1 Ц р — — Л =рт, где т — скорость частицы, но р ~ )сч! ) Оказывается, что в квантовой механике мы получаем правильный гамильтониан, если под р будем понимать оператор импульса Р =- — 1йт, т.
е. оператор Галщльтона для этого случая есть Й = — - 1 Р— Л + с1.'. 1/- е е 2И1 С Если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы, описываемые силовой функцией У, то общим выражением для гамильтониана будет й= —,(Р— — 'Л, +ек+(1. (27. 7) (27.6) ') Си. дополнение Ч1. где (/ — силовая функция. Остается рассмотреть случай сил, зависящих от скорости частицы. В микромире единственными известными силами такого рода являются силы, возникающие в электромагнитном поле (сила Лоренца).
Поэтому достаточно рассмотреть гамильтониаи для движения заряженной частицы (заряд е, масса р) в произвольном электромагнитном поле. Как известно из теории поля, произвольное электромагнитное поле может быть описано с помощью скалярного потенциала и' и векторного потенциала А, причем 8= — т)с — — —. )ы изОБРАжение мехАнических величин ОпеРАтоплми )гл.гн е Раскроем теперь в явном виде оператор (Р— - -А) . Имеем с (Р— -- Л) = (Є—, А,)~ + Р, — — А, ) + (Р, —, Л,) . (2У.8) По Определению произведения операторов ( Є— — ' А,) = ( Є— - А„) (Р, — -'- А,.) = Далее, на основании (24.4) имеем Р,˄— Ааря= — гл ла, * .
дА» поэтому Г-. Р— е Л 1а — Р< 2еА Р +гяедА„+ <А< Повторяя вычисления для остальных двух членов в (27.8) и склз- дывая результаты, находим Оператор функции Гамильтона или энергии, как следует из изложенного в этом и предыдущем параграфах, определяется двумя обстоятельствами: 1) природой частицы (в общем случае — системы частиц, ср. ~ 102) и 2) природой действующих на нее полей. Этот оператор является основным для механики, так как, выбирая его, мы в сущности формулируем на математическом языке все особенности той системы, с которой мы намерены иметь дело. В частности, число незпвисил1ых переменных, входящих в еплгильтонипн, по определению рпвно числ)у сгпсисней свободы наите11 сисгнел1ьс.
Успех решения задачи, в смысле согласия выводов теории с опытом уже предопределяется тем, насколько основательно выбран гамнльтониан (все ли важные взаилюдействия учтены!). Обычно в качестве независимых переменных в гамильтониане берут декартовы координаты частицы, так как именно при этом выборе переменных операторы взаимодействий (например, потенциальная энергия) выражаются наиболее просто (числом), а оператор кинетической энергии — сравнительно простым дифференциальным оператором второго порядка. Однако возможны и другие выборы независимых переменных ').
Чтобы получить выражение гамильтониана в произвольной криволинейной системе координат д„г),, г)„достаточно преобразовать ') Если настина обладает <спиноиа (ср. 44 58, 59, 60), то наряду с координатами в гамильтониан входит спиновая переменная. Гамильтоиилп й ат1 полученный нами для декартовой системы координат гамильтониан в игу систему, следуя обычным правилам дифференциального исчисления.
(Пример такого преобразования дает формула (26.5).) Вид гамильтониана в криволинейной систел!е координат не находится в таком простом отношении к классической функции Гамильтона, какое имеет место в декартовой системе координат (замена р на оператор Р). Это обстоятельство не является случайным. Декартова система в квантовой механике выделена среди всех других координатных систем тем, что в этой системе кинетическая энергия выражается суммой квадратов компонент импульса р,, рк, р„так что измерив импульс, мы можем вычислить кинетическую энергию. В криволинейной системе координат кинетическая энергия выражается в виде нвадратичной функции обобщенных импульсов: а Т=,Э ам(с)т, с)„да) р;р»н (27.10) к»=! причем коэффициенты ам являются функциями координат.
Измерение р» (й = 1, 2, 3) еще не определяет кинетической энергии, так как нужно еще знать аон Последние суть функции координат д» (к = — 1, 2, 3) и поэтому ие могут быть определены одновременно с импульсами р„. Таким образом, только в декартовой системе координат измерение импульсов есть в то же время и измерение кинетической энергии '). ') Оо уравнениях квантовой механики в кряволннейной системе координат сл!.
дополнение НВ. Глава1Ч ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ й 28. Уравнение Шредингера Пусть в какой-нибудь момент времени ( = 0 дана волновая функция тч(х, О), описывающая состояние ансамбля частиц (буксой х мы обозначаем совокупность всех координат частицы). С помощью этой волновой функции мы можем вычислять вероятность результатов измерения различных механических величин для момента времени г' = 0 в ансамбле частиц, находящихся в состоянии »Р(х, О). В этом смысле мы говорим, что волновая функция ф (х, О) определяет состояние частицы в момент времени г = О. Допустилг теперь, что мы намерены произвести измерения не в момент времени г = О, а позднее, в момент г ) О.
За это время состояние частицы (в общем случае †систе частиц) изменится и будет изображаться некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через ф(х, (). Как мы знаем, волновая функция меняется также в результате измерений («редукция волнового пакета», ~ 17). Сейчас мы предполагаем, что никаких измерений в интервале от (=0 до некоторого момента г не производится, так что речь идет об измененггях состояния, вызванных исключительно движением частицы (илн системы частиц) самой по себе, без вмешательства измерительного прибора.
Каким образом в этом случае связаны между собой волновые функции ф(х, О) и ф (х, ()? Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, то она должна также определять и его дальнейшее развитие. Эгло требование выражает принцип гтричинноспги в ггрименении к квантовой лгеханике '). Математически это означает, ') Мы оставляем открытым вопрос, насколько такая общепринятая формулировка принципа причинности является единственной.
Возможна и такая постановка вопроса, когда решение не определяется начальными данными, а выбирается условиями, относящимися и к прошедшему, и к будущему, так что получается задача на нахождение собственных решений в пространстве и времени. УРнВНЕНИЕ ШРГДИНГСРЛ что из волновой функции тР(х, О) для 1=0 должна однозначно определяться волновая функция тр(х, 1) в более поздние моменты времени. Рассмотрим функцию тР в момент времени Л1, бесконечно близкий к ( = О. Тогда ф ( х Л ( ) т ( А О ) + ~ Р ( 0 1 Л 1 + Согласно сказанному ( — ', '— ) должно определяться из тр (х, 0), ,'д4'(х, 1)т дт,г а т, е.
(дФ(', О~ =(.(х,о)ф(х,о), где 1'. (х, 0) — некоторая операция, которую следует произвести над тр (х, О), чтобы получить (-- ) 1дф (,д1, . Так как момент !=О взят совершенно произвольно, то будем ил!еть — = 1'. (х, 1) ф (х, 1). (28.1) Вид оператора (., который можно называть опер атороь! смещения во времени, не может быть определен из изложенных выше положений квантовой механики и должен быть постулирован. Согласно принципу суперпозиция состояний этот оператор должен быть,шнепныек Далее, оператор (. не может содержать нп производных, ни интегралов по времени. В самом деле, если бы он содержал первую производную по 1, то это означало бы просто, что оператор )".
есть не тот оператор, ко!орый мы хотим иметь: оператор А выражает первую производную по 1 через тР(х, (). Если бы он содержал высшие производные по 1, то (28.1) означало бы уравнение для ф более высокого порядка, чем первый, и следовательно, для определения состояния в последующие моменты времени нужно было бы знать при 1=0 не только тр(х, 0), но и производные по времени от тр: (-~~, (-~1, '), (!д1 1'е' (,дт-','с' т. е. волновая функция тр не определяла бы состояния системы, что противоречит нашему основному предположению (ф определяет состояние системы). Наличие интеграла по 1 означало бы, ') Так, например, уравнение для колебаний струны есть уравнение второго порядка по времени. з(ля определения состояния струпы в ыоыент 1=0 нужно знать не только отклонение струны а (х, О для 1=0, но и скорости ее точек да(х, Π— при 1=0.
д1 измы!ение состоя!!Ия Во вгсмсии !!8 что для последующего играет роль значение ф иа целом отрезке времени, т. е. история процесса. Таким образом, Е может содержать ! лишь как параметр. Уравнение (28.!) позволяет по начальной волновой функции ф(х, О) найти функцию ф(х, !) и тем самым предсказать вероятность результатов различных измерений в момент (, в предположении, что в интервале от ! =--0 до ! система не испытывала никаких дополнительных воздействий, в частности, не подвергалась измерению.
Изменение волновой функции, имеющее место при измерениях (кредукция»), не описывается каким-либо дифференциальным уравнением, а вытекает непосредственно из самого результата измере- ниЯ (2 17). Правильный выбор оператора 1. подсказывается рассмотрением свободного движения с определенным значением импульса р. Волновая функция для такого движения есть волна де Бройля где х ~а ~л 2 Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению — Ч'ф. д! 2н Это последнее уравнение можно переписать в виде дФ 'й, др (а если под оператором Й понимать гамильтониан для свободного движения частицы 2и Отсюда следует, что для свободного дан!кения оператор смеще! ния во времени Е =--.- Й.
И В квантовой механике делается обобщсние этого чвсщного ргзульталза, именно, принимают, что этот оператор смещения ь всегда равен (28.2) 119 УРАВ!>ЬНИС ШРСДИНГСРА где Й есть гамп,пьтониан (оператор функции Гакгильтона), вид которого для разных случаев рассмотрен в 9 2?. В соответствии с этим посгулаточ уравнение (28.1) для волновой функции ф может быть теперь записано в виде й —;- =- Йф. (28.3) Это уравнение носит название у р а в и е н ц я Ш реди н гер а. Оно образует одну из основ квантовой механики ') и обоснование свое находит ие столько в теоретических и исторических обстоятельствах, приведших к установлению этого уравнения, сколько в согласии с опытом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
