Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(31.4) Введем обозначение (Н, Ц=,—.'„(7.Й НЦ. (31.5) 1 Оператор —.-(1,Н вЂ” НЬ) будем называть квантовой скобкой г'л П у асс о па'). Введенное обозначение позволяет написать (3!.4) н Форме "— „',=д,+1Й, 7). (31.8) л(ы видим, что производная по времени от среднего значепн'! Х есть среднее от некоторой величинь!, изображенной ') Эта терминология заимствована из классической механики. См. Дополнение у1, Формулу (4) !30 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН !ГЛ. Ч оператором Поэтому этот оператор следует принять за оператор ~~ производ- И.
ну ной по времени — от величины Л, изображаемой оператором 1.: в1 я+гЙ' ~] (31.7) Это определение оператора, изображающего производную по времени †, ведет к тому, что щ ив ., (Е) = — „, = ~ ф' — „, ф с(х, (31.8) т. е. производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени. Если величина 7 ие зависит от времени явно, то формулы (3!.6) и (31.7) упрощаются: ' —,';=1й, Ц, (3!.9) -Т вЂ” — [й, Ц.
(31.10) В заключение обратим внимание читателя на то, что при вычислении оператора производной по времени от произведения или от суммы операторов с квантовой скобкой Пуассона можно обращаться как с обычной производной (соблюдая, однако, порядок сомножителей). Действительно, нетрудно видеть, что если с"'. = = А+В, то —,=(й, А+В]=~Й, А]+(Й, В]= — + — „—, (31.11) и если 1.=АВ, то (Н' АВ]=(Н' А]В+А(Н' В]= ы В+А 1 ' (3!'12) й 32. Уравнения движения в квантовой механике. Теоремы Эренфеста Найдем теперь законы изменения импульсов и координат с течением времени.
Импульсы и координаты являются величинами, не зависящими явно от времени. Поэтому, согласно (31.10), операторы производ- уРАВнения дВижения. ТеоРемы ЭРенФестА а 321 ных этих величин по времени выражаются просто через кванто- вые скобки Пуассона, т. е. в конечном счете через операторы самих этих величин и гамильтониан Н, характеризующий рас- сматряваемую механическую систему.
Обозначим операторы декартовых координат х, у, г и соот- ветствующих импульсов р„р„, ра соответственно через Х, Ут, к. и Рл, Рго Р,'). Гамильтониан Й будет функцией этих операторов и, вообще говоря, времени 1: Й=Н(Р„, ЄЄХ, У, Л, 1). (32. !) дх ар нх Обозначим далее через — —, — ' операторы производных ог ' г11 ' и'1 координат по времени, т. е. операторы проекций скорости на осн о1т„г1РР г1Р, координат, а через †„,", †„ ", л ' — операторы производных про- екций импульса по времени.
Подставляя в (31.)0) вместо т'. операторы Х, У, 2, Р„, Р„ Р,, получим искомые операторные уравнения — "„~=-(й, х~, "-„',-=(и, у), "— „',=(й, г~, (з.2) — "„",''=(Н', Р„.1, '—— ,',,а=(й, Р„1, '— „",а=(Н, Р,1. (32.2') Эгн операторные уравнения вполне аналогичны классическим уравнениям Гамильтона и поэтому называются к в а н т о в ы м н у р а в не ни я ми Гамильтона'). В классической механике первая группа уравнений (производные от координат) устанавливает связь между скоростью и импульсом, а вторая группа (производные от импульсов) выражает законы изменения импульса во времени. Такое же значение имеют и квантовые уравнения Гамильтона.
Для того чтобы в этом убедиться, следует раскрыть явно скобки Пуассона в (32.2) н (32.2'). !'иди простоты рассмотрим случай, когда магнитные силы отсутствуют. В этом случае гамильтопнан имеет вид (см. (27.2)) й = —,— '„(Ра+Р,"-+Ра)+и(Х, У, 2, 1). (З2.З) рассматривая волновую функцию как функцию координат частины х, у, г н времени 1, имеем следующие выражения для '] Мм ограиияивасмся рассмотрсиисм движсния в декартовой системе *раина ь Об урависииях в криволинейной системе координат см.
дополнсяис У11. с1 Ср. дополнснис У1, уравнснис (5). !32 изменение во времени механических величин !гл. и операторов: Х=-х, У=у, Л=г, д д д Р= — И,Р= — И-, Р= — И вЂ”. дх' " ду' " дг' (32.4) т. е. (32.!0) ди дУ сЗУ вЂ” — — суть не что иное, как операторы и родх' ду' да е к пи й си л ы '). Так что (32.!О) можно переписать также в виде (32. ! 1) т. е. оператор производной по времени от импульса равен оператору силы. Поэтому (32.!О) можно рассматривать как уравнения Ньютона в операторной форме.
') Эти операторы яодтотся попросту функцняни координат. Вычислим теперь оператор †. Имеем дХ Ж ' (Н, Х1 = —. (ХН вЂ” НХ) = 2 —.! — (ХРх — Р„'-Х), (32.5) так как Х коммутнрует с Ри, Рх, У(х, у, г, !). Правило перестановки операторов Х и Р„(24.2) дает Р„-Х=рх (Р„Х) =-Рх(ХРх — И) =(Р'.Х) Рх — ИР,= =(Хрх — И) Р,— ~1Р = ХР,'— 2ИРх. (32.6) Подставляя это выражение в (32.5), находим '!Н, Х1=- — Рх. (32.7) Для у, г, очевидно, получим аналогичный результат; поэтому ПХ Р, ВУ Ру д7. Р, т И ' ат Н ' дГ И ' (32х8) т.
е. оператор сноросп|и равен оператору импульса, деленноллу на массу частицьс 1и Иными словами, связь между операторами скорости и импульса такова же, как и связь между соответствующими величинами в классической механике. дрх 'г!айдем теперь опе! атор — „,". Из (32.2') и (24.4) имеем (й, Р,.) =,'„(Р,и — ирх) = — ",~, (32.9) ИНТЕГРЛЛЫ ДВИЖЕНИЯ !зз а Зн дх д —,— = — „(х) = — р„ (32.12) Тр, д Ви и =и(р) д (32.13) и т.
д. Иначе говоря, производная по времени от средней координаты х равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, и производная от среднего импульса Р,. равна средней силе Р,. В раскрытой форме равенства (32.12) и (32,13) имеют вид — „- ~ ~р*хф йх =- . ~ ф* Р ф дх, — „- ~ ф*Р.,ф г(х =- — ~ ф* — Ф г(х. (32.13') Оии носят название т е о р е м Э р е н ф е с т а. Дифференцируя (32.12) по времени и исключая из (32.12) и (32.13) — „(р ), получим квантовое уравнение Ньютона д-х дС~ р-. = — — — =Р. д!г — дх — к. (32.! 4) 5 33. Интегралы движения Ь квантовой л~схапнке мы имеем те же интегралы движения, ио и в классической.
Величина Ь будет интегралом движения, если "— „', =- ' —,', + ~й, (.] == 0. (33. 1) Псобый интерес представляет случай, когда величина Ь не завис~ т явно от времени; тогда вместо (33.1) имеем ~- = 1й, Ц= =О, т с. для интегралов движения (не зависящих явно от времени) квантовая скобка Пуассона равна нулю. Так как (й, Ц определяется коммутатором оператора А и опеГгпора Гамильтона, то всякая величина (., не зависящая явно от времени, будет интегралом движения, если ее оператор комм)тир)ст с оператором Гамильтона. Если мы вычислим среднее значение от величин —, — 'ит.д. дх дп,.
сй ' ~1Е в каком-нибудь состоянии ф то из (32.8) и (32.10) на основании (31.8) получаем 134 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. Ч Из формул (33.1) п (33.2) следует, что среднее значение интегралов движения не зависит от времени —,", (Е)=0. Покажем теперь, что и вероятность гв(1.», Г) найти в момент времени ! какое-нибудь значение интеграла движения, равное, скажем, 1„, не зависит от времени '), Так как операторы Е и Й коммутируют, то они имеют общие собственные функции Фл(х): Еф, =Е,тР, (33.4) Йзр„= Е,ф„. (33.4') Разложим произвольное состояние ф (х,!) по собственным функциям трл. Эти функции суть функции стационарных состояний, поэтому (ср.
(30.8)) . е»г зр (х, !) = ~ч„с„ф„(х) е л (33.5) нли ф(х, !) =~х,сл(!) фл(х), » (33.6) где (Й Р ( )Й Ря] )Й Р Д 0 (33.10) т. е. Лйт Лй» ЛР. лг (ЗЗ.!! ) т) Речь идет об интегралах движения, ие зависящих яяио от времени, . Ела , е!и сл(!) =еле " =с»(0)е (33.?) Разложение (33.6) есть разложение Чз(х, !) по собственнным функциям оператора Е, поэтому из (Ел Й =/сл (!) / = ! Сл (О) !! =сопз!. (33.8) Впд интегралов движения зависит от рода силового поля, в котором движется частица.
Для свободного движения силовая функция (?(х,у, г, !) =0 н гамильтониан будет равен Н = Т = 2 — (Р'„+Р„'+ Р,'). (33.9) Как и В классической механике, в этом случае интегралом движения, т. е. сохраняющейся величиной, является импульс, действительно, % зз! интсгиллы движснР!я В поле центральной силы имеет место закон площадей — момент импульса есть интеграл движения, В самом деле, в поле центральной силы потенциальная энергия (>' есть функция расстояния от центра силы: (/=У (г). Поэтому для этого случая гамильтониан Н может быть написан в виде (ср.
(26.6)) Й=р +Ма+(у (33.12) Операторы квадрата момента импульса М' и его проекций М„ М„, М„согласно (25.8), зависят только от углов О, ср, поэтому не действуют на функции от г. Кроме того, оператор М', входящий в (33.12), коммутирует с М, Ми и М, (см. (25.6)). Поэтому все четыре названных оператора коммутируют с Й (33.12) так, что ]Й, М']=О, — „= О, (33.13) (Й, 44,]=(>Й, Ма] =~Й, Ма]=О, —" = — „'= — „' = О. (33.!4) (33.15) Если гамильтониан не зависит явно от времени, то ын (33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
