Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В раскрытом виде уравнение Шредингера (28.3) в отсутствие л)агнитного поля, в соответствии со значением оператора Й (см. (2?.2) и (26.2')), имеет вид т'гг — = —, чгзф-(-(?(х, у, г, 1) ф дф Я' (28.4) (при наличии магнитного поля следует взять Н из (2?.9)). Наиболее важной особенностью уравнения Шредингера является наличие мнимой единицы перед производной — -.
В класдф дт ' сической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периодических решений — они описывают необратимые процессы, например, диффузию, теплопроводность '). Благодаря мнимости дф коэффициента при уравнение Шредингера, будучи уравнением первого порядка по времени, может иметь и периодические решения. Связанная с уравнением Шредингера постановка вопроса «найти ф (х, 1), если дана ф (х, 0)», имеет смысл лишь атом случае, если ф(х, О) может быть однозначно сопоставлено с некоторыми определенными физисгескнхиг условиями. Такое сопоставление не является, однако, тривиапьньш, так как волновая функция по самой своей природе является велишной неизмеримой (напомним, что ф и фп= атР, где а — любая постоянная, изображают одно и то >ке состояние). Изыеримыхти являются значения механических величин 1., М, тт) частицы (или системы частиц) и вероятности, с которыми обнаруживаются эти значения в ансамбле частиц (или систем).
') Во многих курсах стремятся «вывести» уравнение Шредингера. На самом дете, это уравнение ниоткуда не выводится, а образует основу новой теории, Почтову мы прелпочи гаси постулироятть его, ограничившись приведенными выше доводаии в пользу ~акого паст)лата. з) Конечно, характер решения дифференпнальнаго уравнения зависит еше н от краевых условий. Проводя указанное противопоставление, мы имеем в виду случаи, когда ни ст (х, у, г), ни краевые условия не зависят от времени. излгенение состояния во Внеа!еии >гл >и 100 Поэтому мы могли бы рассчитывать только на то, что по измерениях! вероятностей в анспл>бле окажется возможным вычислить волновую функцию с точностью до несущественного постоянного множителя.
Эта задача вычисления волновой функции по измеренным вероятностям в общем случае совсем ие является простой, так как вероятности определяют только >гр(х)>з или вообще квадраты модулей амплитуд ~ с„е разложс>шя И! (х) по собственным функциям какого-либо оператора, а фаза гр(х) или с„остается неопределенной '). Только в исключительных случаях зада!а становится простой, или даже тривиальной. Например, в ~ 29 будет показано, что в состояниях, в которых иет потока частиц, волновая функция действитсльна. В этих случаях плотность вероятности щ(х) =--;ф(х) 1з=фз(х) и ф(х) = = + )' в(х).
Однако вся проблема определе>шя г)>(х, 0) упрощается тем, что в подавляю>цем большинстве практически интересных случаев мы имеем дело с ансамблямп частиц, имеющих определенный пплньп! набор мехпнигеских перел>енньгх ), М, У. Зная их значения из измерений в момент времени 1=0, можно, пользуясь мателлатическим аппаратом квантовой механики, вы шслить и начальную волновую функцию. Действительно, если в момент времени 1 —.-0 измерены значения 1., М, гг> этих величин, то мы можем утверждать, что начальная волновая функция еспгь оби(ая, собсогвгнная функ>(ия операторов У., М, Л), ггринпдлежпигпя собственным значениялг') !., М, й>. На этом пути вся проблема определения волновой функции сводится к выяснению того, какие величины образуют полный набор.
Ниже показано, что эти величины должны обладать следующими свойствами: !) они односрг женно !игл>гргглгы, 2) число их равно чнслу стсигнсй свободе! сиспгемы, 3) они незпвисимьс между собой. Имея в виду дальиешиие обобщения, будем считать, что волновая функция яв!яется функцией ) переменных (система с) степенялш свободы). Интересующая иас функция есть собственная функция и поэтому принадлежит к полной системе ортогоиальиых функций в пространстве ) измерений. Каждая такая функция характеризуется ( параметрами а, (3, у, ...
(еиомераэ фушсции). ') См. теори>о рассеяния тт. Х111. е) Например, если начальное состояние характеризуется заданием импульса частицы р (в этом случае >.=р,, !И=-р,, Н=р,), то г!'(г, 0)=>Р (х) есть плоская волна де Бройля, нр>нгадлежагцая импульсу р. СОХРАНЬР>Р!Е ЧИСЛА ЧАСТИЦ 12! (ф.лнт,...=7-(а, 1, у, ")ф.,в,,...
Мфа,р,т„..--М(СР, 8, у,. )фа.р,, ..., Л)фа,в,,ч, =- Л'(а, (), у, )фи,в,, (28.5) Эти уравнения совместны, если В М1=1(., Л)1=!М, Л)1=...=(), (28.6) т. е, если величины Л, М, Лг,... одновременно измеримы. Далее, чтобы определить по измеренным 7., Л!, Л), ... параметры и, р, у, ..., нужно регннть 7 таких уравнений: 7 =7 (а, )3, у,...), М =М (а, (3, у,...), Л'=Ж (а, (5, у,...)..., (28.7) прн этом ни одно из них не долкц1о быть следствием другого, т. е. величины (., М, Л), ... долмсны быть независимыми').
9 29. Сохранение числа частиц Из уравнения Шредингера можно получить закон сохранения числа частиц, выражаемый уравнением непрерывности .Э) + Ц11 )в (29.1) где гв — средняя плотность числа частиц в точке л', у, г, а )— средняя плотность потока частиц. Для того чтобы получить это уравнение, возьмем уравнение Шредингера сначала для простого случая потенциальных сил (28.4) 171 ~' =- — -- 'Ргф+(lф. (29.2) Уравнение для комплексно сопряженной функции будет д" ),г (29.2') Умножая уравнение (29.2) на ф*, а (29.2') на ф и вычитая вто(.ое уравнение из первого, получим й(ф — + ф---~) =-- (ф ~гф-ф 7 ф ) Ф дф г>чг > )!г, г, .г г,е г>1 ат ) 2р ') Зтн параметры мог>т быть непрерывными или дискретными. В прпшсяшем случае разделяющихся персг~енных такая ф>пиния илмет аид (х, р, г) = и„ (х) с11 88 шу (г) Есл>1 такаЯ фУнкциЯ ф„р, (х, У, з, ...) есть собственнаЯ функция операторов 1., М, Л), ..., то собственные значения 7., М, Лг, ...
будут функциями этих паралгетров. Л(ы будем ил:еть изменение состояния Во Времени ~ГЛ. 1Ч Это равенство может быть переписано в виде ;;(фф') =,;,81 (ф*рф — фууфв). фетр есть плотность вероятности щ: (29.3) ш=фзгр. (29.4) Если через 1 обозначить вектор ь (трчф" — ф*ч г'), 2р (29.6) то уравнение (29.3) запишется в форме '-,-;+81 1=-6. (29.6) Отсюда следует, что вектор 1 есть вектор плотности тока вероятности. Уравнение (29.6) получает более наглядное толкование, если заметить, что то=-фвф может рассматриваться так же, как средняя плотность часгтгиг). Тогда 1 следует рассматривать как среднии поток частит) чгрез площадь в 1 сла в 1 сек. В соответствии с этим уравнение (29.6) нужно толковать как закон сох ранен и я числа част и ц. В частности, интегрируя (29.6) по некоторому конечному объему )г и применяя теорему Гаусса, получаем о шдо= — ~ дгч)до= — ~ )адз, (29.7) 5 где последний интеграл взят по поверхности Я, охватывающей объем )г.
Распространяя интегрирование по всему пространству ()г — «со) и имея в виду, что волновые функции ф а вместе стем и плотность тока 1 обращаются на бесконечно удаленной поверхности в нуль'), мы находим —; ~ и1 г(о = — ~ трефе(о=О, (29.8) '1 В случае, когда функции ф нсинтегрирусмм, интеграл (гааз может и нс обратиться н нуль даже по бесконечно удаленной поверхно"тп.
физически зто означает существование потока частиц из бесконечности или в бесконечность, т. е. полная вероятность найти чости1)р гдг-либо в пространстве не зависит от времени. Следова1елы1о, число частиц остается неизменным. Вместе с теы (29.8) утверждает, по нормировка волновых функций не меняется с течением времени, положение, о котором мы уже упоминали в 9 10. СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ г23 Умножим 1 и ш на массу частицы р: р„= )ио = — — р ! ф ~', 1„= — (файф* — ф*7ф). (29.9) Тогда р„имеет смысл средней плотности вецесплва (массы), а )и— с)эедней плотности тока вен<ветви (массы). Из (29.6) следует, что этн величины подчиняются уравнению непрерывности ~~ + д (ч )я = 0 (29.
1О) р,= =е~ф~', ),=-,";",(фрфв ф*~ф), (29,11) для которых опять-таки получается уравнение непрерывности а' + д (ч 1, = О. (29. 12) Уравнения (29.10) и (29.!2) выражают закон сохранения массы и заряда в квантовой механике. Если представить волновую функцию ф в виде ф =- ие"', (29.13) где и — действительная амплитуда, а 0 — действительная фаза, то подстановка (29.13) в (29.5) дает 1 = — ил'чО.
(29. 5') и Так как и' есть плотность ю, то величина — чО может быть ис- толкована как средняя скорость в точке х, у, г: и ч = — 70, и (29.14) я а вел и ч и на — 0 — как потенциал скорости. Из формулы (29.5') с особой ясностью видно, что плотность тока 1 отлична от нуля лишь в том случае, когда состояние описывается комплексной функцией ф. При наличии магнитного поля Ж, описываемого вектором-потенциалом А (Ж=го1 А), формула для плотности тока ) должна т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
