Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ц 14, 15). Поэтому всякий прибор, применяемый в квантовой области для измерения механических величин, относящихся к микрочастицам, должен быть тщательно рассмотрен с точки зрения анализа значения получаемых с его помощью результатов измерения и тех изменений в состоянии системы, к которым он может приводить. Всякого рода догматические суждения, не основанные на анализе конкретного устройства аппарата, могут принести к ошибочным выводам. $24.
Операторы координаты и импульса микрочастнцы Поскольку волновая функция рассматривается нами как функция координат частицы, постольку оператор координаты частицы х есть само число х. Действие функции координат частицы Р (х, у, г) как оператора сводится просто к умножению 1Р (х, у, г) на Р (х, у, г). При этом же выборе переменных ') в волновой функции операторы проекций импульса частицы, в соответствии с 3 13, будут д " . д .
д Рк= 13 д ~ РР= — »й д, Ра= — »й дз, (24 1) или в векторной форме (24. Г) Р= — 137, где 7 есть оператор градиента (набла). ') См. сноску на стр. 106. з) Возможность другого выбора независимых переменных в волновой функции рассмотрена в гл. т'11. зи1 опвехтоеы кооединхты и импхльсх микеочхстицы 1оЗ Вычитая вторую строку из первой, находим (хЄ— Ркх) ф = Иф, т. е. «Р — Р «=И, и аналогичным образом уАх Рку И~ х)б~ — Р 2 = И. (24.2) (24.2') (24.2") Эти правила перестановок носят название п е р е с т а н о во чных соотношений Гайзенберга. Видно, что хЄ— Р„х = О, (24.3) уР,— Р,у =О, (24.3') »Рх Рчх О (24.3") и т. д. Подобным же путем можно установить более общие перестановочиые соотношения для любой функции Р (х, у, г) и операторов импульса.
Именно, (24. 4) д ду ' д (24.4') (24.4") Из соотношений (24.2) и (24.4) следует, что не существует состояний, в которых импульс и сопряженная ему координата имеют одновременно определенные значения. В сущности (24.2) и (24.4) в операторной форме выражают уже известное нам соотношение неопределенностей. Определим теперь собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса на какую-нибудь ось (например, Операторы проекций импульса и координат подчиняются определенным правилам перестановки, которые очень облегчают 'расчеты с ними.
Пусть ф (х, у, х) есть волновая функция; тогда имеем «(Ркф))=х( — И д ) = — Их —, Р.( И)= — й —,( И)= — И» —,— йф. д - дф дк дк 1О4 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ 1ГЛ.!!1 ОХ). Согласно изложенному в $21 уравнение для собственных функций оператора импульса имеет вид РЯ= РЯ, (24.5) где р — собственное значение. Используя явное выражение для Р„, получаем — !й; —,„= мр.
дф (24.5') Зто уравнение легко интегрируется Р к ф, (х)=ЖЕ (24.6) где й( — постоянное число. Для того чтобы это решение было всюду конечным (непрерывность и однозначность этого решения очевидны), достаточно, чтобы р„было любым вещественным числом. Поэтому спектр собственных значений р„получается непрерывным —" <Рк(+':О.
(24.7) Множитель !е' можно выбрать так, чтобы функция !Рр была нормирована к 6-функции '). Для этого нужно положить !к' = (2пй) кл. Окончательно нормированные и ортогональные собственные функции оператора Р„имеют вид р к (24.8) ~ !р* (х) !рп (х) !(х = 6 (Р„' — р ), (24.9) т. е.
собственные функции оператора импульса !Р суть плоские волны де Бройля. Это вполне естественно. То, что волна де Бройля есть состояние с определенным значением импульса частицы, было в сущности исходным пунктом квантовой механики (Я 7, 12). й 25. Оператор момента импульса микрочастицы Под м о м е н т о м и м п у л ь с а частицы (моментом коли- честна движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного от некоторой избранной точки (например, центра сил) к частице, на импульс М =1 гр). (25.1) Значение этой величины в механике определяется тем, что она является интегралом движения в поле центральных сил.
В кван- '1 См. дополнение П!, формулу (20). 3 ая ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ !05 М„=Р,У вЂ” Руг=гй(г — — у - -), 1 l д д Т М = Р .г — Р х = (й (х — — г — ), дг дг)' I д д 1 М, = Р„х — Ргу — гй (у -д- — х — -) (25.3) и, наконец, для .оператора к в адр а та, мо мент а' и ми у л ь с а получаем следующее выражение д 'г Мг "г+Мг+Мг йг('(' д у д ) + +(х-,—,— г д-) +(у -„— — х — „— ) ~. (25.4) Найдем правила перестановки для компонент момента импульса.
Эти правила понадобятся нам в дальнейшем, а сейчас они могут служить иллюстрацией приемов алгебры операторов. Вычислим коммутатор 6 = М„М, — М,М„. Подставим сюда вместо М„и М. Нх-выражение (25.3). Вычислим М„М,: М,М, = (Р,х — Р„г) (Р,у — Р„х) = Р хР,У вЂ” РггР,У— — Р,хР,х+РггР„х=уР,хЄ— гуР„'— хгР,РР+гЄРх (так как у и Р„Р, г, и Р„, Р„, х, и ЄЄперестановочны). Подобным же образом М,М„= УР,Ргх — гуР„'— х'Р,Р„+ гР„хР . Вычитая нз первого равенства второе, найдем М„М,— М,М =УР,(хР— Р х)+гР,(Р„х — хР ) ° Пользуясь теперь (24.2), получаем М„М вЂ” М,М„= гй(УР,— 1дД = (ЛМ„.
товой механике момент импульса изображается оператором М = [ТР1, (25.2) где гг — векторный оператор импульса (24.1'), а г — раднус-вектор. Основанием к такому выбору оператора момента импульса является не только внешняя аналогия с классическим выражением (25.1), но и то, что изображаемая оператором М величина является также интегралом движения в поле центральных сил (ср; 3 33) н обладает свойствами, аналогичными свойствам момента импульса в классической механике.
Операторы проекций момента импульса на о с и к о о р д и н а т, согласно определению (25.2), имеют вид [Оа ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. 1П Меняя циклически х, у, г, получим все три перестановки: М„М, — М,МР— — ИМ„, (25.5) М,М, — МлМ, = ИМР, (25.5') Мл̄— М„М, = ИМ,. (25.5") Таким образом, операторы компонент момента импульса неком- мутатиены. Напротив, каждая из компонент момента импульса коммути- рует с квадратом полного момента импульса: М„Ма — М'Ма=О, (25.6) мама-Мами=о, (25.6') М,МЯ вЂ” МвМ, = О. (25.6") Доказательство предоставляем читателю. Из этих правил перестановки следует, что проекции момента импульса М„, М„, М, не могут быть одновременно измерены.
В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное зна- чение.((ЛМ„)а = 0), другие две проекции не имеют определенного значения ((ЛМ,)' ) О, (ЬМ,)' ) 0) '). Напротив, любая из проек- ций и квадрат полного момента могут быть измерены одновременно. Определим теперь возможные значения проекции момента им- пульса иа какое-либо произвольное направление и возможные зна- чения абсолютной величины момента (точнее — значения М'). Для решения этой задачи удобно перейти к сферической системе координат, взяв некоторое избранное направление за ось Ос.
В этой системе координат х = г я'и 0 соз [р, х = г я'и 0 яп 1р, г = г соз О, (25.7) где 0 есть угол между осью 02 и радиусом-вектором г, а [р — угол, отсчитываемый в плоскости ху от оси ОХ. Несколько громоздкое преобразование формул (25.3) из декар- товой системы координат в сферическую приводит к следующему результату: Мл — — + И(51п гр — +с(Я0 с05 гр — ), д д [ дь дч) (25.8) д д [ М = — [И(соз гр — — с(даяп [р — ), др (25.8') М,= — (й —, (25.8") др М'= — йвть,р, (25.9) 1) Исключеииел1 является случай Ма=о, иа которого следует М„' =М-' = = М-'=О. е ж! ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ !о! где ~4 ч есть так называемый опер атор Л апл аса для сферы 1 д . д ! дг Ч$, ч= — — з(п 8 — + —., (25.10) (25.
13) Л =- ! (1+ 1), (25.15) где ! — целое положительное число. При каждом таком значении ! имеется 2! + 1 решений, которые представляют собой сферические функции. Мы обозначим их так: где гп — целое число, ограниченное следующими значениями: и = О, .+ 1, -+ 2, ..., -+ 1; ! = О, 1, 2, 3, ... (25.17) (всего 2! + 1 значений). Знаком ~ и ! обозначено абсолютное значение числа гп.
Функция Р! 1(соз 8) определяется так: ) ~и ( Р, '~(5)=(1 — ~') ' — Р,(5), ф=соз6, (25.18) г1ПЕ дв ( дв) иа Вар Так как операторы (25.8) и (25.9) действуют только на углы 8, гр, то волновую функцию достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, т. е.
ф=ф(6, р). (25.1 1) Уравнение для определения собственных значений оператора М', согласно (20.2) (полагаем там !.=Мг, !.=М'), будет Мгф = Мгф (25.12) Вставляя сюда М' из (25.9) и обозначая Авг Л= —, аг мы получим уравнение (25.12) в виде — е де ~з(педе )+ ' ге д г+Л$=0. (25.14) Это уравнение мы должны решить для всей области переменных 6, ср (О ( 8 ( и, 0 < гр < 2п), причем интересующие нас решения должны быть конечными, непрерывными и однозначными. Уравнение (25.14) хорошо известно. Это — уравнение для сферических функций. Подробные сведения об этих функциях и о решении уравнения (25.14) приведены в дополнении Ч. Здесь мы ограничимся лишь кратким резюме. Оказывается, что решения этого уравнения, удовлетворяющие поставленным условиям, существуют не при всех значениях Л, а лишь при 199 изОБРАжение мехАнических Величии опеРАтоРАми !гл.!и причем Р, ($) есть так называемый поли нем Лежандр а д! 2Ф ~$' ((ь (25.19) Множитель, стоящий перед Р~ ~, выбран так, чтобы ортогональные функции У~„были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности сферы, т.
е. лэл ~ ~ 17„' У'Ьл З(П 9Г(9йр=бРГ6,, (25.20) о о (Координаты 9 и гр отмечают точки на поверхности сферы. Элемент поверхности сферы единичного радиуса равен ейп 9 д9 г(ф.) Используем теперь эти результаты для нашей задачи. Как уже было сказано, уравнение (25.14) имеет однозначные и конечные решения лишь при значениях Х = ! (1+ 1). Поэтому собственные значения оператора квадрата момента импульса будут М)=й'1(1+1), 1=0, 1, 2„..., (25.21) а соответствующие собственные функции суть ф,„(9, р)=);„(9, р), гп=О, -+-1, ..., -4-1, (25.22) Собственному значению Мг (25.2!) принадлежат всего 2! + 1 собственных функций, отличающихся значением числа т. Таким образом, мы имеем дело со случаем вырождения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
