Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В квантовой области полный набор величин, определяющий ф, а вместе с тем и квантовый ансамбль, так же как и в классической механике, нс является единственным. Но принципиальное отличие кваььтовой механики от классической заключается в том, что в квантовой механике различные наборы являются, вообще говоря, взаимоисключающими. Соответственно этому в квантовой механике существует много различныв полных измерений, несоольестильых друг с друголь. Наиболее общей характеристикой этой ситуации является существование дополнительных полных наборов, т.
е. наборов, дополняющих друг друга до полного классического набора. Важнейшим примером таких дополнительных наборов динамических переменных может служить набор декартовых координат частицы х, у, г и набор канонически сопряженных им импульсов р„р„, р„которые вместе образуют полный набор динамических переменных частицы в классической механике (р, х). В квантовой механике первый набор относится к ансамблю, в котором фиксированы координаты частиц х =- х', у =- у', г = г'. Такой ансамбль характеризуется волновой функцией ф, „, (х, у, г). Второй, дополнительный набор относится к ансамблю с определенным импульсом р, === р,', р, =-- р„', р, = р,'.
Волновая функция такого ансамбля есть ф ° ° (х, у, г). С точки зрения квантовой механики этот анРк ер, лг самбль также как и первый, определен с исчерпывающей полнотой, но он кардинально от него отличается. Волновая функция, характеризующая первый ансамбль, сосредоточена около точки х =- х', у = у', г == г', во втором ансамбле она является плоской волной де Бройля (! Б2).
Друпьм примером полных дополнительных наборов могут служить набор сферических координат частицы г, в, чь и набор, состоящий из сопряженных им величин: энергии частицы Е„ее вращательного момента М и проекции этого момента М, на ось ОЛ. Канонически сопряженные переменные подчиняются п р и нципу дополнительности. Согласно этому принципу канонически сопряженные динамические переменные Р и Я образуют взаимодополнительные классы переменных, относящиеся к несовместимым, исключающим друт друга квантовым ансамблям. Этот принцип принадлежит Бору и формулируется им в несколько расширенной форме: динамические переменные, характеризующие микрочастицы (и системы таких частиц), распадаются на два взаимно дополнительных класса — класс пространственно-временных переменных Я и класс импульсно-энергетических переменных Р, относящихся к исключающим друг друга измерениям.
79 РОЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА э еп Принцип дополнительности в сущности вырах.ает в словесной форме содержание соотношения неопределенностей (15.18), которое, как мы увидим позднее, может быть распространено на любые канонически сопряженные импульсные и пространственнь<е переменные.
В силу этого соотношения характер квантового ансамбля совершенно различен в зависимости от тех признаков, которыми оп определен (т. е. в зависимости от типа полного набора величин), и будет существенно изменяться, если будут производиться измерения нового полного набора, несовместимого с исходным. Поэтому состояние квантового ансамбля нельзя понимать.безотносительно к тому полному набору величин, которым он определен. В этой связи измерительные приборы, определяющие различные полные наборь<, следует рассматривать как «системы Отсчета», с помощью которых фиксируется состояние квантового ансамбля ').
Суть столь глубокого различия между определениями состояния в классической и квантовой области заключается в том, что в классических концепциях не существовало никакого абсолютного масштаба малости. Изучение микромира открыло существование ряда атомных констант, дающих такой масштаб: элементарный заряд е, элементарная масса электрона и позитрона р, массы простейших тяжелых частиц протона т„и нейтрона т„, постоянная Планка й н другие. Мы не знаем сейчас в точности тех ограничений классических концепций и тех новых понятий и представлений, которые должны вытекать из существования элементарного заряда и массы, но нам известно, что влечет за собой существование кванта действия й. Существование кванта действия ведет к явлению дифракции частиц, которое делает невозможным одновременно применение к описанию движения микрочастиц таких, например, величин, как р и х.
Рассмотрим теперь подробнее, каким образом измерение влняет на квантовый ансамбль. Будем считать наш ансамбль заданным волновой функцией ф (х) (чистый ансамбль)'). Рассмотрим сначала измерения импульса. для этого разложим тр(х) в спектр по волнам де Бройля фр (х) =- = ехр '"„ / )<г2Ыг: ф (х) = ~ с (р) фр (х) г(р.
(! 7.1) Пусть всего сделано <<1 измерений и в )У' случаях получено значение р, лежащее около р', в Ж" случаях — около р", в й7"' слу- ') Это, конечно, не означает того, что если нет измерительного прибора, то нет н квантового ансамбля: в прироле сами по себе осуществляются снтуанип, фиксирующие ансамбль, т. с, соответствующие измерению. ь) Толы<о простоты ради мы рассматриваем чистый случай и ограннчнвземся одним пространственным измерением х, что не принципиально для выяснения сущности дела. О влиянии измерения на смешанный ансамбль см.
4 46. ООИОВы кГАнтОВОИ Атехап!!ки )гл. г! чаях — около р™ и т. д. (М вЂ” — йГ' + Лт" + М"' +...). Тогда имеем (ср. ~ 14) -=гс(р') ~зс(р', —,=~с(р") ~зг(р", —,=~с(р"') )«с(р"'. (17.2) В результате произведенных измерений Ж' частиц выявлен новый чистый ансамбль с р = )з', характеризуемый новой волновой функцией тр (х). Таким образом, измерение нз первоначального ансамбля с неопределенным импульсом выбирает подансамблп с определенными значениями импульса р', )з", р"',..., которые характеризуются новыми функциями чгп (х), тра-(х), тра- (х), ...,соответственно.
Первоначальное состояние тр(х) переходит в одно из состояний вида т)„(х). Это изменение волновой функции называют «р е д у ки и е й» (сведением) волнового пакета. Физически редукция означает, что после измерения частица оказывается принадлежащей к новому чистому ансамблю. Весь ансамбль, возншсшпй в результате измерений, характеризуется серией волновых функций трг,(х), тра-(х), т)а-(х), ... с соответствующими вероятностями ~ с(р') ~Чр', ~ с(р'),'Чр", ) с(р") )Чр'", т. е.
является ансамблем с м е ш а н н ы м. Подобная же ситуация осуществляется и в других случаях. Приведем еще два примера. Пусть речь идет об измерении координаты х. Рвало>кила ф(х) в спектр по волновым функциям, характеризующим состояние с определенным значением х. Такая функция инее~ вид 1р,'(х) = б(х' — х). Поэтому разложение дает т)з(х) =) с(х') б(х' — х) г(х'.
(1 7.3) В силу свойств б-функции отсюда сразу же следует г(х') =- т)1(х'). Если в У' случаях будет получено х около х', в Л'" случаях — х около х" и т. д., то г — — = ) с (х') ~з с(х' = ~ з)з (х')," г(х', —,А,- =- / с (х") /е г(х" = / ф (х") ~з г(.т", (17. 4) — =- ~ с (х"') ~з с(.х"' == ) т(з (х"')," г(х"', ... Прп каждом измерении первоначальная функция зр(х) сводится к одной из функций вида з(м (х) = 6(х †.х').
Эта редукция показана на рис. 19 '). Мы видим, что при измерении координаты опять-тгкн возникает смешанный ансамбль, в котором новые чистые подансамбли вида ') Напомним (сч. 4 )6), что измерение коорзшмты требует энергии, которая черпается либо из прибора, либо пз самой частицы, ГОль сгзлгеРительиОГО пРПБОРА 81 ф ст) грс(х), тр,- (х),... представлены с вероятностями ) тр(х') 1», ) т(г(х") )а, т. е. эта вероятность, как и в случае измерения импульса, определяется интенсивностью )с (х') ) ', с которой чистое состояние т(, (х) представлено в исходном чистом грх,сд/ состоянии т(г(х) (в этом специаль- сх) пом случае с(х') = чр(х')).
а Позднее мы покажем Я 22), а что если измеряется любая ме- ю=х' се Рис. 19. Редукпия волнового пакета хаппческая величина 1., могущая принимать значения 1.„(-а»р(х) (кривая и) к ф нкп,р,,(х) .. 1оы то, чтобы Найти ве- (кРиваи Ь) после измсРенпЯ кооРдирОятноеть ТОГО, Что 1, = (.ч, НатЫ Х, ОКаванщейея раВНОЙ Х'. нужно разложить з(г(х) в спектр по состояниям тр„(х). Каждое из этих состояши характеризуется тем, что в пем величина 1, имеет одно-единственное значение 1. = г) Такое спектральное разложение моп(ет быть представлено в виде (17.
5) чр (х) =- д,' с„)р„ (х). л Тогда число случаев )тг„, когда 1, = Т.к, будет пропорционально 1 сч )е, т. е. †" = ) с, )а, †' = )с„. 1«, †,", = ) с„- )з, ... (1 7.6) и лсы опять получаем редукцшо исходного пакета чр(х) к одному пз состояний т)г„(х), а вся совокупность измерений опять-таки образует смешанный ансамбль. Таким образом, рассмотренное поведение квантовых ансамблей прп измерениях является совершенно общим и может быть сформулировано так: измерение превращает чистый ансамбль в смешанссыи е).
Это превращение чистого ансамбля в смешанный есть не что нное, как практическое ос)уществленссе спектрального разложения сспп диого пнсплсбля в спектр сго сссссггьслс ансамблялс, которьм отбирш ис прссбор. Исходный ансамбль, «проходя» через прибор, разлагаетсп иа составные «подансамбли», определссшые по отношению к этому прибору. Поэтому в квантовой механике система отсчета — классический измерительный прибор есть не что иное, как спсктраль- ') Ради разнообразия примеров мы предполагаем здесь, что величина ь пчссг дискретные зпачепия С.с, ц.....
н отличие от ранее рассмотренных слу. часа и п хч ссгсссощих непрерывные зпачссия. г) Кроме случая, когда измерение попросту повторяет то, которым опрс- чс ннс псхогшый ансамбль, тогда ансамбль останется неизменным. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ !Гл. н ный анализатор кеантаеых ансамблей, с помощью которого и изу- чается их природа.
Стремление подчеркнуть эти Особенности квантового ансамбля заставило нас сосредоточиться на измерительном приборе, как на спектральном анализаторе ансамбля. Однако процесс измерения не заканчивается на спектральном разложении, которое является лишь первой стадией квантового измерения. Необходимо еще зафиксировать, в какол! именно пучке в том или ином измерении обнарумгилась частица. Для этой цели служат детекторы, реги- стрирующие факт обнаружения частицы в том или ином пучке, как теперь чаще говорят, в том или ином канале. Детектор также является макроскопическим устройством, однако особенным в том смысле, что это устройство должно быть Обязательно макроскопически неустойчивым, Если в кван~оной области явлений измерительной прибор ииогча неизбежно вмешивается в состояние измеряемой частицы, то микрочастица со своей стороны всегда вмешивается в состояние измерительного прибора и меняет его некоторым определенным образом, иначе прибор следовало бы считать нечувствительным.
Ясно, что микрочастица не обладает ни энергией, ни импульсом, достаточными, чтобы изменить состояние устойчивой макроскопи- чсской системы. Однако она может изменить состояние макроско- пической системы, если эта система находится в неустойчивом состояпшь Легко заметить, что все устройства, летектирующие микро- частицы, неустойчивы или электрически, или термолинамически, пли механически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
