Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 15
Текст из файла (страница 15)
д.). Обозначим угол, образованный осью ОХ и указанным лучом, через а. Тогда наибольшая интенсивность волн будет приходиться на область от — а до +а. Угол а определяется из условия, чтобы лучи, исходящие от двух половин щели [[од этим углом, гасили друг друга (разность фаз л).
Если длину волны обозначим через )в, то для интересующего нас угла получим известное соотношение [т япа= —. 2ц' ' (16.2) Полуширина щели [1 есть не что иное, как неточность Лу, допускаемая при измерении координаты у. Палее, р яп а есть проекция импульса на ось 01'.
Так как основная интенсивность волн де Бройля падает в область углов от — а до +а, то при измерении импульса большинство результатов измерения будет лежать в интервале от — р з!па до +р яп а, т. е. разброс измеряемых значений около среднего значения р, = О равен Лр„= р я'па. Так как по соотношению де Бройля р = 2ллт)[, то, подставляя в (16.2) Лря вместо 2лй яп а1)т и Лу, мы получим Лр„бу = лй. й!«1 иллюстРАции к сООтнОшению неопРеделениОстея 71 Это соотношение показывает, что чем точнее определяется положение частиц (чем меньше Ау, т. е. чем уже щель), тем в большей степени становится неопределенным их импульс (тем больше Гэру), и наоборот '). Благодаря дифракции у щели измерение координаты делает неопределенным импульс рю т.
е. после прохождения щели частица оказывается принадлежащей к новому ансамблю, в котором гара уже не равно нулю. Другим примером может слу)нить фотопластинка. Мы рассмотрим идеализированную фотопластинку. Суть идеализации заключается в том, что мы будем отождествлять фотопластинку с системой закрепленных атомов, а ионизацию такого атома — с образованием изображения на фотопластинке. На самом деле, ионизация Одного из активных атомов порождает цепную химическую реакцшо, приводящую в конце концов к образованию на фотопластинке активного зерна. После проявления это зерно обнаруживается в виде черного «пятнышка», которое и наблюдают на опыте. Атом можно считать закрепленным или медленно движущицся около некоторой позиции только в том случае, если ои достаточно тяжел '). Хорошая «идеальная» пластинка должна состоять из бесконечно тяжелых атомов, имеющих к тому же достаточно малые размеры а, так как размеры атома а определяют область, в которой произошла ионизация.
Позднее (э 51) будет показано, что волновая функция электрона, находящегося в атоме, отлична от нуля в области порядка а = — йl)'2)гl, где 7 — энергия ионизации атома, а (« — масса алек~рона. Величина а равна, по порядку величины, неопределенности н положении электрона в атоме. Следовательно, этот электрон будет иметь неопределенность в импульсе Ар = йlа. В этом опыте мы не ') Замети«к что в нашем выводе этого соотношения мы воспользовалнсь тем, что длина волны А, а вместе с тем и полный импульс частицы р не меняются прн дифракции. следовательно, при таком рассмотрении наибольшее значение ЛР«сеть р, что соответствует частице, движущейся вдоль экрана. поэтому моээет показаться, что мы можем, ограничившись точностью Лр = р, добиться а с«ель угодно большой точности в определении координаты у, уменьшая ширину щели. Зто, конечно, противоречит соотношению (15.7). На самом деле это не так.
11«ше Рассмотрение приближенно. Оно пригодно при условии, что длина волны )э порядка ширины щели. С уменьшением ширины щели характер волнового поля эа экРаном усложняется. 9тому полю уже нельзя приписать определенную длину волны А так, как это мы делаем. Разбор этого случая нокаэывает, что соотношение (15.7) остается нерным. ) Действительно, полагая в соотношении неопределенностей Лр„= = А(бо, г де дт — масса атома, ох — его скороСть, мы получим Ьпх й Стою а х ' х М.дх' когда эи сюда следует, что и Лх и Лп могут быть малы одновременно только тогда, к вполне оп да эи велико.
Бесконечно тяжелая частица может, стало быть, и занимать не определенное положение, и иметь определенную скорость (в частности, быть неподвижной). основы квлнтовои лгахлпики 72 )гл. и можем установить, в какой точке произошла ионизация атома, а знаем только то, что область, в которой произошло столкновение, имеет размеры, равные примерно а. Поэтому координата падающего на фотопластинку электрона х определяется в лучшем случае с точностью Лх = а. С другой стороны, так как столкновение происходит с электроном атома, который имеет неопределенность в импульсе порядка Лр = йlа, то после столкновения такую же неопределенность в импульсе Лр„будет иметь и тот электрон, координату которого мы определяем.
Умножая Лх = а на Лр, = й!а, получим сэр .Лх й. (16.4) р,"з аз в — ">/=— 2р 2рп- 2)с(бх)е (!6.5) В противоположном случае фотографирование невозможно. Наблюдение следа частицы в камере Вильсона полностью подходит под эту схему фотографирования, так как такой след возникает в резулгаате последовательных ионизаций атомов газа, наполняющего камеру, т. е.
представляет собой ряд последовательных «фотографий» в изложенном выше понимании ') (рис. 17), На основании (16.5) мы можем заключить, что для получения следа в камере Вильсона необходимо, чтобы импульс фотографпруемой частицы р, удовлетворял неравенству р,) )''287. Обратимся теперь к косвенному определению координат микро- частиц. Покажем, что н в этом случае будут возникать ансамбли, удовлетворяющие соотношению неопределенностей.
В качестве примера косвенного опыта можно привести определение положения частиц с помощью микроскопа (рис. 18). Осветим частицу, находящуюся около х = О, светом длины волны ). Пучок света параллелен оси ОХ. В объектив микроскопа будет попадать рассеянный свет. Из теории микроскопа известно, что положение частицы т) В камере Вильсона мы наблюдаем след частицы не по ионам, а по капелькам конденсировавшегося на ионах пара. Пока происходит фотографирование следа, ионы успевают заметно сместиться из своих первоначальных положений.
Поэтому практическая точность определения положения частицы методом камеры Вильсона несравнимо грубее, нежели теоретическая точность, определяемая размерами атома; на самон деле она определяется размером капелек и их смешением за нремя фотографирования. Измерение координат частиц всегда связано с сугцественньгм воздействием на частицы измерительного аппарата. В рассматриваемом случае фотографирования положения частицы условием возможности наблюдения координаты является ионизация атома.
Для этой ионизации необходима энергия 7, которая здесь черпается из энергии самой частицы. Если первоначальный импульс частиц есть ра, то должно быть $161 иллюстрации к сООтношепн!О неОпределенностеп 73 определяется с точностью до Лх- —., где 2е — угол, под кото- яп а рым виден объектив из точки поло>кения объекта '). Таким об- — л разом может быть отобран ансамбль частиц с Лх = —..
При доста- яп е' точно малом Л величина Лх в принципе может быть как угодно кзала. Однако при каждом акте рассеяния импульс фотона меняется и, как Рис. 17. Следы л-потопов с зиергиеа 150 Маа а камере Иидьео1кь В исгпрг рисуикэ упругое столкиовеиие и-мсэавэ с пра. тоиоэг. Жириыи сгсд непрево — след прогале отдели. Висту крутообрээиые следы медлеииыт электроиав, силь. иа атклаиисг.ыэ иагви(тисэг полем. Фотогрэфив выпал. исиэ в лэборатории вдсриык проблем в г. Дубне. видно из рисунка, проекция изменения импульса на ось ОХ будет ле- 2л11 .
г 2ла аы жать в пределах — ', з1н е ~здесь — '.= — - есть импульсфотона). Л г Этот импульс будет передаваться частицам так, что они получат 1гн 2ла НУльсы, РазбРосанные в пРеделах ЛРк=; — '. Его е. Отсюда видно, во-первых, что, создавая ансамбль локализованных в малой области (Лх) частиц, мы должны применять очень сильное энергетическое воздействие (малые Л вЂ” большие кванты!), во-вторых, что ансамбль Л Г) ЫсташаетЬ Ох го —. аОЗИИКает ИЗ-За дпфраКцИИ у ОбЬЕКтИаа ЫИКра.
яп в скопа, ОСНОВЫ КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ ?4 (гл н с малым Лх будет иметь большое Лр,. Перемножая Лрк и Лх, получим') Лр Лх = 2пг!. В случае несвободных частиц косвенное измерение является единственно возможным. Например, координата электрона, находящегося внутри атома, определяется по рассеянию пучка свободных частиц (электронов, рентгеновских лучей).
В этих случаях, однако, всегда получаются сведения не о положении отдельного электроиа в отдельном атоме, а о распределении этих положений в больь!ой совокупности атомов, иалодящихся В Одном и том жс сост05!иии, т. е. непосредственно находится , 'ф (х)," (см. теорию столкновений, 2 79). лалгл В заключение приведем еще один прп— мер определения координат часнщ. До- Х пустим, что частица заклю и иа виу!ри ящика с непрозрачнылчи для часчигы стенками. Размер ящика пусть будет й Будем теперь сдвигать стенки ящика (! О). Тогда положение центра ящика х и определит положение частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
