Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из (!5А) следует, что Лх = пл'Л(с. Иными словами, Лх Лй=п (15.5) ~го чисто волновое соотношение, справедливое для любых волн, показывает, что произведение линейных размеров группы волн Лх чи интервал волновых чисел Лк тех волн, из которых построена ~ руина, есть велпч1ша постоянная и равная и. В частности, соли мы желаем послать очень короткий радиосиг"'т (малое Лх), то неизбежно в нем будут представлены с заметной 'штепсивностью весьма отличаюлциеся по длине отдельные моно- быть функцией координата частицы х, В области микромира выражение: «импульс частицы в точке х равен р» не имеет смысла, Соответственно этому в квантовой области нет таких ансамбчей, в которых и импульс и координаты частиц одновременно имели бы вполне определенное значение. Докажем это важнейшее утверждение сначала для ансамбля, образованного группой волн, рассмотренной в З 7.
Как было там показано, группа волн основы кьлнтовоп мсхлнпки !Гл, г! хроматические волны. Поэтому такой сигнал будет принят прием- пиками, настроенными на различные волны. Напротив, если мы желаем, чтобы нас принимали приемники, настроенные лишь определенным образом, то мы должны посылать монохроматические сигналы, а стало быть, согласно (15.5), — достаточно длинные. Возвратимся теперь к квантовой механике. По уравнению де Бройля р, =: йй, и поэтому, если й меняется в пределах Лй, то импульс р меняется в пределах (1 5.6) Лрт=й Лй.
Понимая под группой волн (15.3) группу волн де Бройля, умио>киы иа постоянную Планка й уравнение (15.5), тогда на основании (!5.6) мы получим Лр, Лх=-пй. (15. 7) Смысл Лр» и Лх в формуле (!5.7) вытекает из следующего: если мы будем производить измерение координат частиц, находящихся в состоянии, описываемом группой волн де Бройля (!5.3), то в момент времени ! среднее значение результатов измерения координат йо будет х=- Л Значения же результатов отдельных измерений буг!Л дут разбросаны около х преимущественно в интервале >-Лх Величшш Лх есть неопределенность в координате х. Если же мы будем в том же состоянии измерять импульс частиц ргм то среднее значение будет равно р, == р, =- йй„и отдельные значения будут сосредотачиваться около р, в интервале Лря = -ый Лйм Величина Лр„ есть неопределенность в импульсе р,.
Поэтому соотношение (15.7) называется с о о т н о ш е н и е м неопределснностей для импульса ряи сопряженной ему координаты х. Это соотношение впервые было установлено Гайзенбергом. Опо является одним из самых фундаментальных следствий современной квантовой механики и показывает, что чем уже группа, т. е. чем определеннее значение координат частиц (малое Лх), тем менее определенно значение импульса частиц (большое Лр„), и наоборот. Перейдем теперь к доказательству соотношения неопределенностей для любого состояния частицы, описываемого какой-либо произвольной волновой функцией >)>. Простоты ради ограничимся одним пространственным измерением; обобщение на большое число измерений совершенно триш!ально.
Итак, пусть нам дано какое- либо состояние частицы, изображаемое волновой функцией т)> (х) '). Волновую функцию мы будем считать нормированной к единице в области от — оо до +со. ') Время ! мы можем ие выписывать явно, так как все дальнейшее справедливо для любого момента времени. сооши>шнш>г нсопи.дслстп>остги а >з! бт Поэтому за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего берут не Лх, а (Лх)' — среднее от квадрата индивидуальных отклонений.
Основываясь на этом пояснении, мы можем написать (Лх)' = (х — х)' = «а — х', (15.8) (Л,,)'=- (р. — ра)'= р. — р' (15.9) Не снижая общности доказательства, мы можем выбрать для дальнейшего подсчета подходящую систему координат. Именно, выберем начало координат в точке х. Тогда х = О. Далее, пусть эта система координат движется вместе с центром распределения х.
Тоста и р'„= О. В этой системе координат получим вместо (15.8) и (15,9) (Лх)' = х' (15. 10) (Лра)' = )>" (15.10') Согласно (13,1) и (13.11) имеем ->- »» (Лх)' =ха= ~ >Ра(х) ха>(>(х) Нх, +»с (Лр„)'=р„»= — Аа т»йа(х) —., Нх. нг>р ~х) (15.11') Па~па задача заключается в установлении связи между (Лр„)' и (Лх)'. Для этой цели рассмотрим вспомогательный интеграл -~- »» т'(з) = ~ ~$х»р+ — — ~ с(х, (15.12) О Ослннины 1> Л > (ЛЛ») )' (Лх)а называют астанлартаин» или «диспсрсисй».
а* Для того чтобы установить соотношение неопределенное~ей и строгой форме, нам следует прежде всего выбрать меру для отклопгш>я отдельных результатов измерений импульса р и координаты х от ик средних значений р, и тч иными словами, точнее определить, что мы будем понимать под «неопределенностями» Лр» и Лх. В качестве такой меры мы выберем употребляемые в статистике градине капдратичные отклонения (Лр,)а и (Лх)' ').
Эти величины определяютсяя следующим образом. Пусть х есть среднее значение величины х. Если в каком-либо индивидуальном измерении мы получим значение х, то Лх =- х — .т будет отклонением результата измерения от среднего значения х. Среднее значение этого отклонения, очевидно, всегда равно нулю: Лх= х — х=х — х=О. !гл. н ОСНОВЫ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ 68 где  — вещественная вспомогательная переменная. Раскрывая квадрат модуля, получаем +со +со +со 1е=д ~ "1р~ йх+5 ~ х( — '„"" -р+ р* ер)йх+ ~ "~'"~ й,.
(15.13) Обозначая +со А= ~ хз!!Р)зз(х=(Лх)з, (15.14) +со В = — ~ х л (зР~Щ йхоо ~ $~зуйх= 1, (15.14 ) — со + со С= ~ — — йхоо — ') зр — зйхоо аз (15 14 ) сьр еср г с! ф (ап >з Ек вк = ~ екз (здесь произведено интегрирование по частям) '), мы находим 1 Я)=А$з — В$+С- О. (15.15) Так как 1 ($) всюду неотрицательно (при вещественном $), то это означает, что корни уравнения 1$)=0 (15.16) комплексны. На основании известной теоремы о корнях квадратного уравнения, это может быть лишь при условии, что 4АС ) В'. (15,1Л Подставляя в это неравенство значение А, В, С из (15.14), (15.14') (!5.'14"), мы приходим к искомому соотношению для (Ор„)з и (Лх)'.
(Лр )з(ссх)з~ В' (15 15) Это и есть соотношение неопределенностей в наиболее общем и строгом виде. Вместе с тем доказано, что нет таких квантовых ансамблей, которые обладали бы тем свойством, что среднее квадратичное отклонение для импульса (Лр„)з и для соответствующей ему координаты (Лх)' одновременно равнялись бы нулю. Напротив, мы видим, что чем меньше среднее квадратичное отклонение для одной из этих величин, тем больше оно для другой. Отсюда следует, что нельзя придумать такой опыт, который позво- ') Мы воспользовались также тем, что в силу ивтегрируемости сроср про. изводиые от ср и сама ср исчезают при к = -с- со.
ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕИ бэ й!а1 лил бы дать физическое определение паре х, р, ибо возможность реализации такого опьгга предполагает существование таких состояний, в которых одновременно (Лр„)в = О и (с1х)в = О, что противоречит соотношению неопределенности, основанному, в конечном счете, на уравнении де Бройля р = 2лйу)ь. Вместе с тем манипуляции, применяемые в области значимости соотношения де Бройля (область микромира) для измерения координаты частицы х и ее импульса р„, должны быть взаимно исключающими друг друга: можно рассортировать частицы либо по их импульсам, либо по их координатам ').
Это выражается в том, что всякая локализация частицы ведет к изменению ее импульса, которое предсказывается квантовой механикой статистическим образом. Нарушение импульса локализацией делает невозможным применение понятия траектории к движению микрочастиц.
Стало быть, квантовая механика имеет дело с принципиально новыми объектами, не подчиняющимися классическим законам движения материальных точек. Само название «соотношение неопределенностей» подчеркивает эту неприменимость: представление «неопределенности» возникает лишь при неправомерном применении классических величин к новым по своей природе объектам. В следующем параграфе мы приведем иллюстрации этого положения. й 16. Иллюстрации к соотношению неопределенностей Рассмотрим сначала измерение координаты частицы с помощью щели. Исходное состояние будем описывать плоской волной де Бройля тРР. Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ.
Это состояние обладает той особенностью, что импульс частицы имеет вполне определенное значение, именно, р„=р, р„=р,=о. (16.1) Таким образом мы имеем дело с ансамблем частиц с заданным импульсом. Положение частиц (их координаты) в этом ансамбле напротив совсем иеопределено ( трр )я= соне( и, стало быть, все положения частиц равновероятны.
Попытаемся фиксировать хотя бы одну из координат частиц, например у. Для этого поставим экран со щелью, расположив его плоскость перпендикулярно к направлению распространения волн так, как у у .уз.пу уау щ у.в 'у н у уу сузу и ПВггуу ствует каной-либо функции распределения, зависящей от (р, х), которая могла бы изобразить квантовый ансамбль. См. также $4б этой книги. ОснОВы квАнтОВОИ мехАники 70 [Гл.
и частица пройдет через эту щель, то в момент прохождения ее координата фиксируется положением щели с точностью до полуширины щели [1. Так как импульс вдоль оси ОУ известен (р„= 0), то на первый взгляд кажетсц, что мы определили и импульс р„, и координату у. Однако это совсем не так. В приведенном рассуждении про- пущено то Обстоятельство, что око- У~ ло щели будет иметь место дифранция: волны будут отклоняться от первоначального направления распространения. Вместе с тем нма пульс частиц при внесении экрана со щелью изменится и не будет — у таким, каким он был до внесения экрана, Среднее значение импульса рр по оси Оу останется неизменным: р„ = О, так как днфракция около щели происходит симметричным образом. Оценим по порядку величины возможное отклонение Рис.
16. Иллюстрация к изиере- импульса Ьр„ от среднего значе- иивт у и р„. ния, Если мы будем отклонять луч двфрвкцкя ет втевк в вкрвке. ОТ ОСИ ОХ, то СКоро ОН ЗайМЕт ПО- ложение, соответствующее первому дифракционному минимуму (дальше пойдет дифракционный максимум и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
