Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Следовательно, измерительные операции, которые определяют р, таковы же, как и измерительные операции, необходимые для определения направления распространения волны и ее длины ). Поэтому приборол», измеряю»цил» импульс частиц, может служить дифракционная решетка. В самом деле, дифракционная решетка разлагаег в спектр — разделяет волны с различными К а следовательно, вместе с тем и производит «сортировку» частиц по различным импульсам р = йй. Дифракционный опыт, позволяющий определить й, мы будем рассматривать как «прямой» опыт, определяющий и импульс частицы р. Чтобы рассмотреть теперь вопрос об определении вероятности того или иного значения импульса частицы, обратимся к опыту по дифракции частиц (например, электронов) на поверхности кристалла.
Суперпозиция волн де Бройля, образующая волновое поле »р (х, у, г, г) при дифракцип на поверхности кристалла, схематически изображена на рис. 14, где показаны падающая (»), отраженная (г) и одна нз дифрагированных (с() волн. В соответствии с реальными условиями предположено, что первичная волна представляет собой ОснОВы кВлнтОВОН мехдники (гл н 56 ограниченный диафрагмой пучок. Такими же пучками являются и вторичные волны.
Каждый из пучков мы можем представить в виде волны де Бройля фр (х, у, г, () с амплитудой с (р), медленно л>еняющейся в направлении, перпендикулярном к пучку '). Все волновое поле ф представим как суперпозицшо полей, принадлежащих отдельныл! пучкалз: ,ян>'й )>= к'с(р)фг, (12 1) где сумма взята по всем пучкам. В целом состояние з(> является со- стоянием с неопределенным импульсом ф частиц, так как оно представляет собой супсрпозицню состояний ч(>а с различными импульсами.
Поэтому, если мы будем производить измерение импульса частицы, то мы можем получить в каждом отдельном измерении одно из значений р, содержащихся в суперпозиции (12. 1) . Какова вероятность того, что мы по- 11>ыгдй> Фу~а%я лучим значение импульса, равное рз Дифракционная решетка разложит нам Рис. !4. При ограни!сино>! волновое поле на монохроматические (в первичном пучке ! отраженная г н лифраг рованная Л действительности — почти монохромативолны пространственно раз- ческие) пучки, так же как она разлагает делаются. белый свет на отдельные спектральные чистые компоненты. Чтобы подсчитать число частиц, имеющих импульс р, поставим цнлнндр Фарадея и будем определять число частиц, попадающих в него прн различных его положениях.
Вблизи поверхности кристалла мы имеем сложное волновое поло, прсдставля>ощсе собой результат интерференции всех пучков. Вдали >ке от кристалла пучки разделяются. Вероятность того, что в цилиндре обнаружится частица, согласно статистической интерпретации волновой функции, будет пропорциональна (т(> (х, у, г, () )з, где х, у, г — координаты цилнндра. Если мы поставим цилиндр Фарадея достаточно далеко от крнсталла, то отдельные пучкн будут разделяться друг от друга и ~ ф (х, у, г, () !а сведется к !тр(х, У, г, () з=',с(р) м!фр(х, д, г, (),', (!2,2) !) Вне пучка с (р) = О.
Таким образок!, в отличие от (1!.3), рассматривае. мые сейчас амилнтуды являются функциями координат. Но ввиду медленности изменения они близки к истинным амплнтудам Фурье, встречающимся в (!1.3). З ся сгадние значения чхнкции от кооэдинхт и импхльсов Бу где р — такое значение импульса, при котором отраженная волна попадает в цилиндр. Используя значение ф, (11.2), получаем рф(х, у, г, () ~'=. — (а „. (12.3) Следовательно, 1 с (р) !э пропорционально вероятности обнаружить электрон в цилиндре Фарадея, при условии, что он расположен так, чтобы в него могла быть направлена волна фр.
Такой волне принадлежат электроны, имеющие импульс р. Поэтому величина ~ с (р) ~э пропорциональна вероятности обнаружить в состоянии ф электрон с импульсом р. Имея в виду (10.2) и то, что вероятность обнаружить импульс частицы в интервале Рк Рк + г)Рл Рк Рк + г)Ра Рк Рг + г(Р- должна быть пропорциональна г(Р,г(р„3Р„., мы приходим к выражению для вероятности г(%'(ЄЄ, Р„~)=,'с(Р,, Р„, р„., 1),'г(Р,.йр,г(Р, (12.4) и для плотности вероятности ю (ЄЄ, Р„() =',о(ЄЄ, Р„(),". (12.5) Написанные формулы содержат определенный выбор нормировки вероятностей для импульса.
Пользуясь тем, что Ч~ (Р„, Р„, Р,, 1) есть, согласно (11.6), компонента разложения в ряд Фурье волновой функции ф (х, у, г, 1), нетрудно доказать, что — ! д + О ~ ~ ~ 'с (Рк Рэ~ Рг г), г(Рхг(ра г)Рг= Ц ~ ~'ф (х, Д, г, (), г)хг(й' Ж, (12.6) Левая часть есть вероятность найти любое значение импульса частицы (достоверное событие), правая часть есть вероятность найти частицу в любом месте пространства (также достоверное событие).
Поэтому сделанный выбор нормировки вероятностей целесообразен: вероятности достоверных событий одинаковы. В частности, если вероятность найти частицу в любом месте полагается равной единице, то и вероятность найти любой импульс будет также равна единице. й 13. Средние значения функций от координат и функций от импульсов В предыдущих параграфах мы определили вероятность местоположения частицы (10.3) в состоянии гр и вероятность импульса частицы (12.5) в этом же состоянии. Это позволяет нам тотчас же написать средние значения любой функции от координат частицы ОснОВы кВАнтОВОН мехАники 1ГЛ.
Н Р(х, у, г) =)Р(х, у, г)',гР(х, у, г) ~ас(ха(ус(г= =)фг (х, у, г) Р (х, у, г) ф (х, у, г) с(хс(ус(г (!3.1) при условии, что ~' ,ф (х, у, г) (а с(х с(у и'г = 1 (13.2) и Р (Рх Рв Рг) ~ Р (Рх Рх Рг) 1с (Рх Рг Рг) ~ Урх г(рэ сарг =')с*(р„, р„, р,)Р(рх, р„, р,)с(р„рв, р,) с(р„с(рас(р„(13,3) если (!с(р„ра, рг)!' (Рх (ра (р,=1 (13.4) (здесь интегралы взяты по всей области изменения переменных х, у, г или рх, р„, р, соответственно). Формулы*(!3.1) и (13,3) допускают весьма важное преобразование, основанное на свойствах интегралов Фурье. Пусть Р (х, у, г) есть целая рациональная функция от х, у, г и Р (рх, р„, р,) — целая рациональная функция от рх, р,, р,.
Тогда формулы (13.1) и (13.3) могут быть переписаны в следующем виде '): Р(х, У, г)= ~ с*(Р Ра Рг)Р(~йд —, 1лд —, сну-~Х др дрх дог г' хс(рх, р„, р,) с(рхс(р, с(р„(!3,5) Р(Р, Ра Р,) = ~ ф* (х У г) Р( — сй д- — (л-~-. — (и — )'к д . д, д1 хф(х, у, г)с(хс(ус(г. (13.6) Эти формулы означают, что аргументы функции Р следует заме- нить символами дифференцирования по указанным аргументам, умноженным на -+. Ю, и выполнить операцию дифференцирования над стояшей позади функцией ар. Так, например, для вычисления среднего значения компоненты импульса рх поступаем так: Р (рх, р, р,) = р .
Следовательно, рх = Г)с* (рх, рко р,) р с (рх, р„, р,) г(р„с(р, с(р„(13.7) ') Показательство эквивалентности (13,1), (13.3) и (13.3), (13.6) соответственно приведено в дополнении 1. Р (х, у, г) и любой функции от импульса частицы Р (р, ра, р,) для состояния, изображаемого волновой функцией ф Именно, из (10.3) и (12.5), согласно определению среднего значения случайной величины, имеем СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОБОН МЕХАНИКИ 59 э 1ч нли по формуле (13.6), заменяя рх на — (й —, получим д ,бх= — ~ ф" (х, у, г) 18 ".' "' ' Т(хаус(г. (13.8) Подобным же образом среднее значение р„-" можно вычислить или по формуле (13.3) р„'-' = ~ с' (р„р„, рх) )т."с (р„рк, р,) йрх др„с(р„(13.9) или по формуле (13.6), заменяя г" (рх) = р„".
на д1 Г . д'Л э д' Тогда получается р„'== — Й'~тР*(х, у, г) — ', ' дхс(уНг. дик Рс д, г) (13.10) (13.11) $ 14. Статистические ансамбли квантовой механики В практической деятельности физика или инженера встречаются два важных типа задач, на которые должна ответить квантовая механика. Первая задача такова: по волновой функции предсказать возможные результаты измерений над микрочастицей («прямая> задача).
Второй тип задачи: по результатам опыта определить волновую функцию частицы (кобратная задача»). Предсказания, вытекающие из знания волновой функции, в общем случае, носят статистический характер. Поэтому если производится какое-то единичное измерение, то результат этого измерения показывает нам лишь, в какой мере оправдались наши ожилзння: произошло лн вероятное или маловероятное событие. Вполне объективный характер носят лишь распределения резулыатов измерения, возникающие при повторении большого числа тожлественных опытов.
Стщественно, что в квантовой области мы не можем повторять опыт на одной и той же частице, так как измерение, вообще говоря, может изменить состояние микрочастиц (9 16). Поэтому для воспроизведения большого числа (ЛГ ~> 1) тождественных опытов необходимо представить себе большое число частиц Шли систем), которые независимо друг от друга находятся в одипаковых лакроскопиквских условиях. Такой набор микрочастиц (или систем) мы будем называть ~вантовым ансамблем частиц (или просто ансамблем).
Если этн макроскопические условия таковы, что они полностью опрелеляют состояние мнкрочастиц (см. 9 28, где дано понятие Основы квлнтовой л!ехлники [Гл. н полного набора величин, необходимых для определения этого состояния), то состоянне таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функ<[ив<['. Сам ансамбль в этом случае называют ч и с т ы м а н с а мб л е м. Все вероятности и все средние значения, вычисляемые нз волновой функции, относятся к измерениям в такол! ансамбле. Так, например, утверждение, что вероятность найти координату частицы х, лежащей около х', равна 1 ф (х) [е дх'; означает, что, и роизводя большое число пзыерени!1 координаты в серии одинаковых опытов (одно и то же <!<!), мы найдем к около х' в й<' случаях, причем — = ' !1! (х') <(х .
(14.1) Подобным же образом, измеряя в этом ансамбле импульс частиц р, и производя всего М измерений (М )) 1), мы найдем р,' в М' случаях, причел! — — =- ~с (р„') '<(р,', (14.2) где с (р,') есть ал!плитуда в разложении <р (г) по волнам де Бройля (ср. % 12). Зная распределение результатоз измерений для л (14.1) и д.я р,. (14.2), л!и можем вычислить средние значения любых функций г (х), Ф(р), например, среднее значение х, среднее значение р„, средние квадратичные отклонения (дх)л =- (х — л)' (1 4.3) И (лр.)'=(р — р )' (14.4) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
