Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 16
Текст из файла (страница 16)
По предположению ящик непрозрачен для частицы. Следователлно, волновая функция частицы отлична от нуля только внутри ящика. Отсюда следует, что (Лх)з = В. По мере уменыиения объема ящика будет возрастать разброс импульсов 41» В этом случае р =- 0 и, стало быть, средняя энергия частицы (ЛДР 2И впр Поэтому сжатие ящика требует затраты работы, которая будет неограниченно возрастать по мере увеличения степени локализации частицы (Лх == ( -ь О). Отсюда следует, что чем в меньшей области пространства локализованы частицы, тем большей энергией должны они обладать. Опыт подтверждает этот своеобразный вывод квантовой теории. Так, например, электроны в атомах (раз- ') В литературо часто обсуждают этот опыт как опыт иад одной частицей.
Между тем от одной частицы мо,кис получить лишь одно расссяииз (после чего оиа будет принадлежать др) точу а: сачблю), а по одчому рассеянному кванту нельзя сулить о положении шс5ш1ы (в фокальпой плоскости пс будст изобра»ьс. ния). Правильная ма!очаги 5сская !сопля »~ого опыта, ис»очяпгпя пч стячпс~нчсского точкопяпия ффупкппи, была дала Маидсл! пп,!ком.
(Л. 11. М а и л с л ьш г в м, Лскпии по оптике, таврии огвоситслш5осчи и кван!опоя мскапикс, »Наука», 19?2.) иллюстидц!и! к соотпошспп!о нсош сдслкнностеи 75 меры атомных оболочек 10 ' — 1О ' см) имеют энергию 10 — 100 эв, а нуклоны в ядрах (размеры ядер - 10 "см) имеют энергию порядка 1 Мэв.
Обратимся теперь к измерению импульса. Рассмотрим прежде всего дифракционный опыт, положенный нами в основу определения импульса. На рис. 14 изображена решетка, первичный пучок 1 и дифрагпрованные пучки г, е(, .... Пусть ширина первичного пучка есть 1, а постоянная решетки е(. Эффективное для опыта число штрихов решетки будет Л! = Ы. Из теории дифракции известно, что такая решетка позволяет различить две волны Л и Л+ ЛЛ, где ЛЛ = -- = Л вЂ”.
Л Ж !' (1 6.6) Это есть разрешающая сила дифракционной решетки. Следовательно, наша решетка разделит исходный ансамбль на два ансамбля, например, г и !(, характеризующихся двумя различными импульсами, если эти импульсы различаются более чем на 2ля оЛ кла (16. 7) Л ! ' йго — йоа' = — — (Рк — Рк) > ! =2,. к (16.9) и из закона сохранения импульса Аа> йе>' — + — = Рк — Рк. с с (16.10) ') Пра Л )) >! вообще не аабла>даетеа дафракцаа. Для того чтобы пучки разделились (условие возможности измерения), мы должны отойти с цилиндром Фарадея на расстояние Лх (отсчитываемое вдоль пучка г или 4, которое больше, нежели 17а, ! где а — угол между пучками г пе(.
Поэтому ЛР.Лх)2лй— еа Так как е( и Л одного порядка '), а угол а считается малым, то Лр Лх) 2лй, (16.8) т. е. произведение размера пучка Лх (область локализации частицы) на неопределенность в импульсе Лр, обусловленную конечной разрешающей силой решетки, должно быть больше 2лй. Приведем еще пример определения импульса частиц почастоте рассеянного света. Простоты ради ограничимся одним измерением. Пусть р„есть импульс частиц до столкновения с квантом света, а р,' — импульс после столкновения. Частота падающего света пусть будет го, а рассеянного го'.
Тогда из закона сохранения энергии имеем ОСНОВЫ ЛВА!ПОВОП МЕХАНИКИ (гл. и 76 Отсюда находим от — о1' Д (о1+ о1') Рк = Р~ 1о+ о1, — 2с (16.11) ет — о1 Д (1о+1о ) Рк Рсо1+ы + 2с (16.11') 1) Это кидеальная» точность, которая на практике никогда не достигается; см. сноску на стр.
72. Таким образом, зная со и о1', можно определить импульс частицы р„. Однако из этого опыта мы не получаем никаких сведений о местоположении частицы: место рассеяния совершенно неопределенно. Мы могли бы определить это место с точностью Лх, если бы вместо монохроматической волны послали бы ограниченный сигнал шириною Лх. Но в таком сигнале, как мы знаем, существует цеЬО1 Н лый набор частот Лй„= —,— —. В силу этого импульс частиц с Лх' л Во1 был бы определен с точностью до Лр„=йЛй„= —, так что ЛР,. Лх) пй. В заключение рассмотрим еще один опыт, часто применяемый на практике.
Допустим, что мы намерены определить импульс нейтрона р путем столкновения его с протоном; импульс протона в исходном состоянии будем считать равным нулю. После столкновения (предполагая центральный удар) получим импульс нейтрона равным нулю, а импульс протона будет равен исходному импульсу нейтрона р (мы считаем массы протона и нейтрона равными). Этот импульс можно измерить, например, с помощью определения искривления следа протона в камере Вильсона, возникающего под действием магнитного поля. Тем самым будет измерен первоначальньш импульс нейтрона. Однако в этом опыте ннчего неизвестно о месте столкновения. Пользуясь камерой Вильсона, мы, конечно, можем указать это место — это будет начало трека протона, получившего удар.
Но, как было выяснено ранее, метод камеры Вильсона позволяет определить положение частицы, а следовательно, и начало трека с максимальной точностью Лх = а (а — размеры атома) '). Прн этом импульс частицы определяется с точностью ЛР = йга, т. е. мы будем знать импульс протона лишь с этой степенью точности. Тем самым будет внесена такая же неточность в определении импульса нейтрона. Для произведения неопределенностей опять получим Лр Лх ) й. Эти примеры служат иллюстрацией отсутствия противоречий между утверждением о существовании соотношения неопределенностей как следствия общих принципов квантовой механики и возможностями измерительных приборов. РОЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА 77 э гг! $ 17.
Роль измерительного прибора При изучении любых явлений статистическими методами измерительные приборы, служащие как для фиксации статистических ансамблей, так и для анализа распределения в этих ансамблях, должны сами стоять за пределами этих ансамблей. Иными словами, онн должны быль лишены элементов случайного, свойственного исследуемым с их помощью статистическим совокупностям. Между тем всякий прибор, как и любое тело, состоит из атомов, молекул и тому подобных микрообразований, совершающих какието движения, т. е.
с точки зрения квантовой механики заведомо принадлежат к некоторому квантовому ансамблю. Поэтому на первый взгляд создается затруднение. Из этого затруднения квантовая механика находит блестящий по остроумию и эффективности выход: измерительный прибор должен быть устроен так, что для осуигеспгвления его действия в конечном счете использ)7ются только его классические свойства, т. е.
такие свойства, в которых ггоспгоянная Планка )г не играет роли. Такой прибор мы называем «классическим» или «макроскопическим». Суть его в том, что он максимально освобожден от квантовой статистичности. Любой из рассмотренных в ~ !6 примеров определения р„и х может служить иллюстрацией «классичности» приборов. В качестве таковых служили неподвижные экраны со щелями, тяжелый атом идеальной фотопластинки, ящик с непрозрачными и неподвижнымн стенками, дифракционная решетка с жестко фиксированными штрихами илн любой спектроскоп для определения длины волны рассеянного света.
Все эти приборы мы рассматривали как объекты классической физики, т. е. рассматривая их действие, мы игнорировали постоянную Планка )г. Таким образом приборы измеряют классические корпускулярные величины. Набор таких величин, достаточный для определения волновой функции, мы будем называть п о л н ы м н а б о р о м, а само измерение п о л н ы м и з м е р е н и ем. В классической механике полное измерение состоит в измерении координат частиц х и канонически сопряженных им импульсов р. Так как в классической механике все величины, по крайней мере в принципе, одновременно измеримы, то можно сказать, что здесь существует лишь одно полное измерение.
Измерив, например, декартовы импульсы и координаты частиц (р, х), мы можем вычислить все остальные величины, в том числе и обобщенные импульсы и координаты (Р, Я), которые также образуют полный набор величин и так же хорошо определяют движения, как и (р, х). Более того, ничто не мешает нам, усложнив измерение, измерить и (р, х) и (Р, Я) одновременно. В силу непротиворечивости классическои механики вычисленные значения (Р, 9) совпадут ос1ьопы кнхньоььоь~ зьсххпьь~ ьь ьгл, ьь с измеренными. Поэьому переход от одной системы полного набора величин к другой спсьемс, в пределах классической механики, я вл и ется несущественным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
