Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При умно>кении линейных самосопряженных операторов след)ет иметь в виду, что произведение их не будет, вообще говоря, также самосопряженным оператором. Именно, АВ = -'-(А В+ ВА)+; (А — ВА ). Пользуясь самосопряжеиностью каждого из операторов А и В, с помощью (18.7) можно доказать, что оператор Р= (ЛВ+ВЛ) (!8.15) будет самосопряжсипым, а оператор О =,'г (А' — В А) (!8.!б) ие будет обладать этим свойством, кроме случая комл>утирующих операторов, когда 6 -= О. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то из сказанного следует, что любая (целая и положительная) степень линейного самосопряженного оператора А: А'=А А.... Л, (18.! 7) будет оператором такого же рода.
Пользуясь изложенными правилами, мы можем, исходя из известных нам операторов проекций импульса Р„, Р,, Р, (!8.3) и операторов координат частицы х, », г построить более сложные сишейные и самосопряженные операторы е',. 9 !9. Общая формула для среднего значения величины и для среднего квадратичного отклонения Основная идея применения операторов в квантовой механике заклю шется в том, что нплсдой .иехпничесной воли сине У. и квпн>новой >нсханине соноса>пвллел>ся изобрап>саюа!ий ес линейньш сплюсапралсснный оасрап>ор У..
Символически это запишем так: Вопрос о том, какую именно физическую величину изобра>кает тот илн иной оператор, решается свойствами этой величины и способами ее набл:аления. В тех случаях, когда изображаемая оператором (. квантовая величина обладает свойствами, аналогичными э ип средняя величина и квлдплтичиос отклоншше 89 свойствам некоторой классической величины Е, для обеих величин употребляют одно и то же название. Например, если имеется классическая величина Л вЂ” функция импульсов и координат А = — Цр„, р„, р„х, у, г), то линейный и самосопряженный оператор Л, построеннь>й по правилам преды- дущего параграфа из операторов проекций импульса Рх, Ра, Р, и операторов координат х, у, г, будет равен У.=У(Р.
Р Р х у г) Самосопряженный оператор Е будет изображать квантовую вели- чину со свойствами, аналогичными классической величине т'. (р„, ргм р„х, у, г) '). Разумеется, не все линейные и самосопряженные операторы, образованные из Р„Р,, Р, и х, у, г, будут изображать величинь>, имеющие простой физический смысл и подчиняющиеся простым законам. Так же обстоит дело и в классической теории. Так, велира чина — имеет смысл кинетической энергии и подчиняется закону 2т сохранения (в отсутствие внешних сил), величина же рхв не имеет какого-либо общего правила поведения и поэтому не играет никакой роли в механике. Связь между операторамн и измеряемыми величинами устанав- ливается в помощью формулы для среднего значения величины Е в ансамбле, описываемом волновой функцией >р.
Именно, в кванто- вой механике принимают, что среднее значение 1. величины Е, пзо- бражаел>ой лпнейнатм и самосопряженным оперппюрол> Х в чистом ансамбле, описываел>ом функ>(>>ей >Р, определяется форл>1)лот! Е =- ~ ф* г«.>(> йх„ (19.!) г,>с под йх подразумевается элемент объема в пространстве незави- симых переменных и интеграл взят по всей области изменения этих переменных. Ясно, что наши прежние определения (18.1) и (18.2) >шляются частным случаем (!9.1).
Чтобы получить (18.1) из (!9.1), следует положить 1. = Р(х, у, г), а под йх считать дх, ау, дг, '!тобы получить (!8.2), следует положить >' . д . д . дт 1,=-Е ( — !й-, — !й- —, — тй — — ). дх' дд' дг)' !1а основании свойсгва самосопряженностн оператора Е, мы ыожел> >,н>псать (19.1) в эквивалентной форме Е =- $ т!>Х,*фа дх (19.1') ') Поскаль>су волновая функция рассматривается как функция коорднн>п ч.>со>ям ль у, г, постольку действие «оператороа> х, и, г сво:ппся просто к ум- ' "л,снию функции на х, у, г, действие оператора Е (х, д, г) — к )множа>йпо !' (х, во изоыл кениг мк:лпнчсских величин опсялто»лмн !гл. п~ (для этого полагаем в (18.7) и'; =- ф'", не == ф).
Из сравнения (19.1) н (19.!') следует, что Е =-Е'"', (19.2) т. е. среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно. Мы получим более детальные сведения о величине г'., если помимо ее среднего значения Е найдем еще и среднее квадратичное отклонение (Л/)', указывающее, насколько в среднем отклоняются результаты отдельных измерений в ансамбле от их среднего значения. Вычислим (Л~)'. Для этого следует построить оператор, изображающий величину (Лй)'.
Отклонение от среднего определяется как Л). =- Š— Е. Стало быть, оператор, изображающий Л(., имеет вид Л й = 1. — 7.. (19.3) Так как квадрат отклонения (ЛЕ)' = (~ — Е)', то оператор для (Лй)э будет следующий (Л! )2 (1 7)2 (19.4) Пользуясь общим определением среднего значения (19.1), мы найдем (Лй)' = 1 ф'(Л~.)з ф дх. (19.5) Таким образом, зная оператор 1„мы можем вычислить и (ЛЦ'. Величина (ЛТ.)э должна быть неотр:щательной.
Это легко доказать, пользуясь самосопряженностью оператора 7.. Так как 7. есть число, то оператор Ль также самосопряженнь:й. Поэтому, пользуясь (18.7) н полагая в (19.5) фл =и,', (ЛЙ~) е-иэ, находим (Л),!'= ~ (Л6р) (ЛС*ф*) д = ~ ~ Л(ф," дх, (!9.5) так как ',Льф~'. О, то из (19.6) следует, что (Лй)' == О, (19.7) т. е.
(как и дол кно быть) среднее нвадраглнчное отклонение всегда лолоэешлсльно или ровно нулю. 9 20. Собственные значения и собственные функции операторов и их физический смысл. «Квантование» Формулы предыдущего параграфа дают выражение для среднего значения Е и среднего квадратичного .отклонения (ЛЦ'.
Эти формулы ничего не говорят о том, каковы будут значения величины Ь и отдельных измерениях. 2 201 сОБстненные знАчениЯ и сОБственные Функции 91 Чтобы найти возможные значения величины Ь, обратимся к таким состояниям чрц, в которых интересующая нас величина имеет только одно значение Ь. В таких состояниях среднее квадратичное отклонание (ет(.)2 = О. Стало быть, для этих состояний на основании (19.б) имеем ~ ( ЛАЭРТ )2 2(х = О. (20.1) Так как под интегралом стоит существенно положительная величина, то из (20.1) следует ! Л(АР,," = О.
') Речь идет об уравнениях, не содержащих производных по времени, тан что задание начальных данных отпадает. Модуль комплексного числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Поэтому мы получаем Л(фа=о или, имея в виду определение оператора Л(. (19.3) и то, что в рассматриваемом состоянии т'. = Е, находим окончательно 1лрх = ~Яры (20.2) Так как 1. есть оператор, то найденное нами равенство является линейным уравнением для нахождения волновой функции т(а того состояния, в котором величина, представляемая оператором е, имеет единственное значение Т.. В большинстве случаев оператор (, будет дифференциальным оператором и уравнение (20.2) — линейным однородным дифференциальным уравнением.
Известно, что решение дифференциального уравнения определено единствеины2л образом только в том случае, когда заданы краевые условия '). С другой стороны, при заданных краевых условиях линейное дифференциальное уравнение (лР = Л2Р имеет нетривиальное (т. е. отличное от нуля) решение, вообще говоря, пе при всех значениях параметра (., а только прн некоторых определенных: Л =- т „ 1.„ й„..., т'.„,... Соответствующие решения тр„чр„чр„..., тр„,... называются собственными функциями, а значения параметра Л„~„1,„..., Ла, ., при которых существуют решения, называют с о б с т в е н н ы м и (иногда говорят характеристическими) з н а ч е н и я м и п а р а м е т р а уравнения (20.2).
Наиболее общеизвестный пример такой задачи представляет задача о колебаниях закрепленной на концах струны. Уравнение движения в этом случае имеет вид 1 Д2и О (20.3) 92 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ 1ГЛ. И1 — 1. тР а'ф сЬ = О, В1 Д (20.4) где интеграл распространен по всей области изменения аргументов зр-функции, так что он равен вероятности того, что частица обязательно где-то находится. Суть дела заключается в том, что условие (20.4) может быть выполнено только тогда, когда волновые функции имеют достаточно корректное поведение, а именно: 1) если они конечны во всей области изменения переменных, за исключением, быть может, некоторых (особых) точек, где они могут обращаться в бесконечность, не слишком сильно '), 2) если они имеют достаточное число непрерывных производных (также могущих в отдельных точках не слишком сильно стремиться к бесконечности), 3) если они однозначны. Более жестко, но достаточно для целей нерелятивистской квантовой механики эти требования могут быть сформулированы в виде трех требований: !) конечности, 2) непрерывности и 3) однозначности волновой функции ва всей области изменения ее аргументов.
Эти весьма скромные требования, предъявляемые к решениям уравнения (20.2), ведут к тому, что во многих случаях решения, обладающие указанными свойствами (1, 2, 3), существуют не при ') См, дополнение Н111. з) Если волновая функция не исчезает в бесконечности (например, плоская волна де Бройля), то вместо »Р ддя сходимости интеграла в (20.4) следует брать так называемые «собственные дифференциалы» (см.
дополнение 1!1 (12) и !12'), где изложено правило нормировки волновых функций, не исчезающих в бесконечности). так что 1, = — —,, а й =йз. Область, в которой ищется решение, дз есть О==х-=(, где ! — длина струны. Краевые условия будут и=О при к=О и х=!. Собственные функции для такой задачи плх »1«ЛЗ равны и„(х) = з(п —, а собственные значения Т.„= й„' = — Те— (П=1, 2, 3,....). В квантовой механике волновая функция всегда определяется во всей области изменения тех переменных, которые являются ее аргументами (например, тр(х, у, г) определено в области: — оо <х < < + оо, — оо < у < + оо, — оо < г < + ОО и т.
п.). Поэтому в квантовой механике мы не можем сформулировать краевые условия для волновой 'функции столь непосредственным образом, как они формулируются в классических задачах о колебании тел. Однако можно показать '), что из требования сохранения полного числа частиц вытекают некоторые естественные требования к волновым функциям, которые оказываются эквивалентными краевым условиям. Требования сохранения числа частиц сводятся к тому, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве не должна зависеть от времени, т. е. » ЕН СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЪ|Е ФУНКЦИИ эз всех значениях Е„а лишь при некоторых, избранных Е = Б„ 1,„1,»,..., 4'„,..., т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
