Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 23
Текст из файла (страница 23)
$21). Сущность этого вырождения легко уяснить себе, если обратить внимание на то, что собственные функции оператора квадрата момента импульса М' являются также собственными функциями оператора проекции момента импульсанаосьОЕМ,. В самом деле, уравнение для собственных функций оператора М, есть (25.23) М,ф =М,ф, подставляя сюда М, нз (25.8"), получим (25.23') Если сюда подставить ф,„, то, имея в виду, что 4ь пропорционально е'"Р, мы наидем — И гтф~ =М,ф„„ т. е. уравнение (25.23) удовлетворяется функцией ф, причем собственные значения оператора М, равны М,=йлг, лг=О, + 1, ..., +'!.
(25.24) % Ж] опвэлтоэ момента импхльсл микеочхстицы 109 Отсюда следует, что состояния ф при заданном полном моменте М1 (дано 1), различающиеся индексом т, суть состояния с различными проекциями момента на ось ОЛ. Полученный нами результат показывает, что возможные значения абсолютной величины момента импульса (25.21) и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось ОЯ (25.24) имеют квантовые значения. Никакие другие значения, кроме. приведенных, не могут реализоваться в природе. В состояниях, в которых М' и М, имеют определенные значения, проекции М и М„не имеют определенных значений (кроме случая 1= О, когда М = М, = М„= М, = О).
Действительно функции (25.22) ие являются собственными функциями операторов М и Мх (25.8), в чем можно убедиться непосредственно. Это же вытекает из некоммутативности М„, М„, М,. Разумеется, что возможные значения М„и М„таковы же, как и М, (25.24), ибо направление ОЕ ничем ие выделено, и чтобы убедиться в справедливости нашего утверждения, достаточно представить себе, что ось ОХ или ОУ принята за полярную ось. Поэтому, если мы будем измерять М или М„, то мы получим всегда одно из значений йт (т = О, +- 1, ~-2, ...,.+- 1), но при этом возникает новое состояние с определенным значением, скажем, М„.
Это состояние будет состоянием с неопределенными М„и М„т. е. одновременные измерения компонент момента импульса взаимно исключаются: измерение одной компоненты делает неопределенным значение другой. Обратим внимание читателя на некоторые свойства симметрии собственных функций операторов момента количества движения. Произведем операцию замены координат х, у, г на — к, — у, — г, соответственно (отражение от начала координат), которая называется операцией и н в е р с и и.
В сферических координатах это означает замену координат г, 6, ~р на г, и — З, Ч~ + и соответственно. При таком преобразовании координате'"ч переходит ве' ~ч" ю= = ( — 1) е' ч, а РГ' (созз) в Р~ '( — созз) = ( — !)'+~ к РГ~ (созз) (см. (25.18), (25,19)). Таким образом, У,„(З, ср) -переходит в ( — 1)' У,„(З, ср), т. е. умножается на ( — 1)', независимо от значения т. Йначе говоря, операция инверсии приводит к умножению волновой функции на +1 при четном ! и на — 1 при нечетном. Состояния с ( — 1)' = + 1 (! — четное) называются ч е т н ы м и, или обладающими положительной четностью, состояния с ( — 1)' = = — 1 (! — нечетные) н е ч ет н ы м и', или обладающими отрицательной четностью.
Отметим, что понятие ч е т н о с т и состояний является более общим, нежели четность состояния с заданным моментом количества движения (см. З 107). 1Я ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ !ГЛ.!Н й 26. Оператор энергии и функции Гамильтона а) Оператор кинетической энергии Т. Опыт показывает, что )синетическая энергия микрочастиц связана с импульсом таким же образом, как и для макроскопических тел '), т. е.
кинетическая энергия Т частицы, имеющей массу (ь и импульс р, равна Т= Р = — '(р.+р +р.*). 2)ь 2)ь Этот факт заставляет написать оператор кинетической энергии в виде Т = — = — (Р,'+ Р'+ Р). (26.2) 2)! 2р Подставляя сюда значение операторов Р, Р„, Р, из (24.1), находим Т= — — Ч', (26.2') 2р 7 оя бя дя! где Чя есть оператора Лапласа !Ч'= —,-1- —,+ —,!. В силу такого выбора оператора Т его собственные значения Т равны (26.1), если под ря, р„р„понимать собственные значения операторов импульса Р„, Р„, Р,. В самом деле, уравнение для собственных функций тр (х, у, г) оператора Т есть Тт)! = Тт(!.
(26.3) Ему удовлетворяет функция, представляющая плоскую волну де Бройля Цг(х, у, г)=, е ! ! Рлх+ Рая+ пса (2лй) и (26.4) Эта же функция является собственной функцией операторов ими ульса, так что кинетическая энергия Т измерима одновременно с импульсами р, р„, р, (разумеется, операторы Т, Р„, Р, Р, коммутируют между собой). Оператор Т может быть легко написан в любой криволинейной системе координат. Для этого достаточно написать оператор Лапласа Ч' в соответствующей системе координат. В частности, в сферической системе координат оператор Ч' имеет вид (26.5) где Чзо следует взять из (25.10). ') Это обстоятельство в сущности уя!е использовано в основных соотноше.
пнях Ле Бройля (сн. $ 7). $ та) ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ И ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 111 Подставляя туз из (26.5) в (26.2') и имея в виду (25.9), мы получим )йз (26.6) где М' есть оператор квадрата момента импульса, а Т, есть аз 1 д/ад) Т, = — — — — )'" — 1. 2)ь гз дг~ дг)' (26. 7) Оператор Т, может рассматриваться как оператор кинетической энергии, соответстйующей движению по радиусу-вектору, а оператор Д4 2ргз — — как оператор кинетической энергии трансверсальноео движения '). б) Оператор полной энергии Й. Заметим сначала, что оператор потенциальной энергии О, поскольку последняя есть функция только координат частицы х, у, г, есть просто У (х, у, г). В классической механике полная энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергии.
Подобным же образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е, Й=Т+ О(х, у, г), (26.8) Вид потенциальной энергии О(х, у, г) так же, как и в классической механике, заимствуется из опыта и характеризует силовое поле, действующее на частицу. Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий.
Кинетическая энергия есть функция импульсов, а потенциальная— функция координат. Как мы знаем, не существует таких состояний квантовых ансамблей, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты. Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь ее кинетическую и потенциальную энергии '). Полная энергйя должна измеряться непосредственно как одно целое. Возможные значения полной энергии частицы зависят ') Формула (26.6) вполне отвечает предстааленню кинетической энергии а классической механике а анде Мз Т= — '+— 2р 2ргз' где Р, — проекинп ИмпуЛЬСа на радиус-вектор г.
з) Операторы Т и О, разумеется, не коммутнруют, и чем легко убедиться, пользуясь правилом перестановки (24.4), Отсюда следует, что Т и у не могут быть определены одновременна для одного и того же состояния гр. изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАЕОРАми )гл. н! от вида (7 (х, у, г), т. е, от рода частицы и от силового поля, в котором она движется. Нахождение этих значений составляет одну из важнейших задач квантовой механики и будет рассмотрено позже. Полную энергию, выраженную через импульсы и коордияаты, в классической механике называют функцией Гамильтона. Оператор кинетической энергии Т у нас выражен через операторы импульса (через (26.2)), поэтому оператор г!' мы будем также называть о и е р а т о р о и ф у н к ц и н Г а м и л ь то н а или коротко — г а и и л ь т о н и а н о м.
й 27. Гамильтониан Понятие функции Гамильтона может быть распространено также и на неконсерватнвные системы. Г!оэтому оно является несколько более общим, чем понятие л>еханической энергии. В классической л>еханнке существуют простые правила для написания функции Гамильтона. Ее вид определяется природой механической системы, т. е.
природой частиц и их взаимодействием между собой и с внешним полем. Зная эту функцию Гамильтона, можно легко найти уравнения движения в произвольной системе координат. Подобные же правила для написания оператора функции Гамильтона — гамильтониана — имеются и в квантовой механике. Мы ограничимся пока рассмотрением движения одной частицы во внешнем поле и только позднее Я 102) рассмотрим гамильтониан для системы частиц. Следует различать два важных случая; когда силы не зависят от скорости частицы и когда они зависят от нее.
В первом случае сила Г является функцией только координат частицы и времени и может быть представлена как градиент некоторой функции (г(х,у, г), которую мы назовем силовой функцией'): (27. 1) Г = — 7(7(х, у, г, 1). Если силы не завнсят от времени, то У (х, у, г) есть не что иное, как потенциальная энергия частицы. В этом случае функция Галтильтона совпадает с полной энергией частицы и равна Т+ У(х,у, г). Соответствующий гамильтониан есть (28,8) и совпадает с оператороч полной энергии. В более общем случае функция Гамильтона есть сумма кинетической энергии Т и силовой с>! ункции У: Н = Т + (/ (х, у, г, 1). Так как У не является ') чаще в механике под силовой функцией понимают — ЕГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
