Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. изменение массы в некоторой бесконечно ллалой области обусловлено втеканиел~ или вытеканием эпюйл~ассы через поверхность, ограничиваюцую эту оаласгпь. Подобным же образом, умножая ьэ и 1 на заряд частицы е, получим среди,ою птотносгь электрического заряда и среднюю плотность электрического тока: ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ 1гл.
тч 124 быть видоизменена'). Именно, при наличии магнитного поля вместо (29.5) получается выражение для плотности тока: 1=. — '" [фтрфв - фв17ф] - -'- Афвф. 2И рс Чтобы получить это выражение, следует подставить в уравнение Шредингера (28.3) гамильтониан (27.9) для движения в произвольном электромагнитном поле.
Производя эту подстановку, находим уравнение Шредингера для этого случая: (29.15) и для сопряженной функции (й ф = Я Ч тф 1саМтйе „"~' г()уАт1> гзт 2р рс "рс +,—,, Атфе+ е)ггР*+(утр*. (29,18) Умножим опять первое уравнение на тр", а второе на тр и вычтем второй результат из первого. Тогда получается гй — -- г) гу (тра тутй — айтттре) + + — (с))ч А (1 "т) ) + А (фв7тй*+ тР7фе)), Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано следующим образом: д(у Аф"тр + А (тр''ртр + тр7тре) = г))у Атр*гр+А(т(феф) = г()у (Афеф) Подставляя этот результат в предыдущее выражение и деля на тй, получаем — ьч ' + Йт 12 — (тр7тр* — тр*7ф) ' с Атр тр~ = О.
(29.17) Это и есть уравнение непрерывности при наличии магнитного поля, описываемого векторои-потенциалом Л. Выражение в фигурных скобках должно быть плотностью тока 1; оно совпадает с (29.5"). Справедливость уравнения непрерывности тгснсйшиы образом связана с самосопряжеиностью гамильтониана Н, Это свойство гамильтоннана было неявно использовано нами при выводе (29.5) ') Видоизменение обусловлено тем, что при наля ~ни магнитного поля операторы Рго Рв, Р, с>ть операторы обобщенного импульса, а не обычного (про. изведепие ыаснсы на скорость). Так же обстоит дело и в классической механике. (Ср. дополнение т'1, формула (1О').) Э ао( СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 125 н (29.17). В дополнении Ч111 более подробно рассмотрена эта сторона дела и показано, каким образом из требования самосопряженности оператора Н вытекают требования к поведению волновой функции в особых точках (2 20), обеспечивающие справедливость уравнения непрерывности во всем пространстве.
й 30. Стационарные состояния В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан Й не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии Н (х). В этом случае уравнение Шредингера (й Ф( ' 0= й (х) ф(х, () (30.1) (30.2) Подставляя (30.2) в (30.1) и обозначая постоянную разделения переменных через Е, мы получаем (й — = Е(, 130.3) Н (х) ф (х) = Еф (х).
(30.4) Первое уравнение решается сразу: . е! 7 (() =сонэ( е (30.5) Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии ') Н, Если обозначить эти функции через ар„(х), а собственные значения через Е„ (для опредеченности мы берем случаи дискретного спектра энергии), то окончательное решение (30.2) запишется в виде (Р„(х, () =фа (х) е (30.6) Отсюда следует, что состояния с ояредгяенносн значением энергии Е., ((ЛЕ)е = О) гармоничгснн зависят от времени с чистотой, равной (30.7) ') Урааиение (30.4) получается иа оаоеего уравнения (20.2), если тая поп»кита Е=Й, д =-Е.
имеет важные решения, получающиеся путем разделения перемен- ныххий ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ ггл. гч 126 ь ф (х, 1) = 2'„ с„г)гь (х) е (30.8) Амплитуды с„определяются через начальную функцию ф(х, О). В самом деле, в силу ортогональности функций гр„имеем с„= ~ гр (х, О) гр„'' (х) г(х.
(30.9) Вычислим теперь вероятность мес~оположения частицы иг. (х, 1) и плотность тока вероятности 1„(х, () в и-м стационарном состоянии. Согласно (29.4) и (29.5) имеем гв„(х, 1) = ~гР„(х, 1) /'=гР*„(х, 1)г(г, (х, 1), 1„(х, г) =-ь — гф„(х, г)Чг(г„"'(х, г) — гр„(х, () Чгр„(х, ()). Подставляя сюда гР„(х, 1) из (30.6), находим, что иг„(х, 1) =иг„(х, О), 1„(х, 1) =1„(х, О), (30.10) (30.
11) т, е. в сгпацианарных состояниях вероятность местапо гожения частицы и плотность тока вероятности не зависят апг времени. Отсюда же (имея в виду (29.11)) следует, что в этггх состоянггях средняя плотность электрических зарядов р, и средняя плотность электрических токов 1, не зависят от времени. Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определенной энергией Е„((ЛЕ)З=О), представляет собой систему статически распределеггггых зарядов и постоянных токов. Характеристика стапиоггарггых состояний будет более полной, если мы обратим внимание читателя на то, что в стацггонарггых состояниях вероятность иг (Ц нахождения какого-нибудь значения Л любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение Е является постоянным. Для доказательства этого положения Этот результат распространяет соотношение де Бройля Е=-йы, применявшееся первоначально к свободному движению, на любые системы.
Состояние (30.6) с определенным значением энергии по причинам, которые сейчас выяснятся, называют от а ц и о н а р н ы м. Уравнение же (30.4) называют у р а в н е н и е м Ш р е д и и г е р а для стационарных состояний. В силу линейности уравнения (30.1) его общее решение ф(х, г) может быть представлено как суперпозиция спгационарных саспгаяний с праизвольньглш, но паспгоянными амплитуда.гггг, именно, 12? СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ % ап воспользуемся формулой (22.14) ю (1 ) = ) с (Е),", где с(Е) есть амплитуда в разложении ф(х, () по собственным функциям фг (х) оператора Е, представляющего величину 1.. Со- гласно (21.16) имеем для стационарного состояния ф„(х, () (30.6) в„~ с(с) =)ф (х)ф„(х, 1) г(х=е А )4ч" (х)ф„(х)с(х и, следовательно, ю((-)=~с(У),"=/$фс(х)~р„(х) г(х! =сопз1.
(30,12) Глава Ч ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН $31. Производные операторов по времени Уравнение Шредингера позволяет установить простые правила, следуя которым можно вычислить изменение среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, иными словами, вычислить производную по времени „-,ь от среднего значения Е некоторой величины (.. Физический смысл этой производной таков. Допустим, что в момент времени г имеется микросистема, описываемая волновой функцией ф(х, 1). Произведем измерения величины Л в этом состоянии. Мы получим результаты отдельных измерений Ь', 1.", 1.'", ...
Среднее из большого числа измерений будет Х (Г) и вычисляется по форлуле Е(()=1ф" (х, 1)(.ф(х, () дх (31.1) Другую серию наблюдений мы проведем в момент времени Г'=1+АГ, близкий к С Мы получим новую серию результатов. Выполнение двух серий измерений в момент 1 и момент Г+б( следует представлять себе следующим образом. Имеется ансамбль из большого числа У независимых экземпляров микросистем, находящихся в состоянии ф (х, Г). Мы разбиваем Аг на две большие группы У' и Я". В момент г мы производим измерения в первой группе частиц У' и получаем Е (Г), при этом состояние этих микро- систем, вообще говоря, изменится, и оно уже больше не описывается функцией ф(х, Г). Затем в момент (+ЛГ мы произведем измерения в группе микросистем Аг', нетронутых первым измерением. Из этих измерений и получается новое среднее Ь((+ЛГ), которое, вообще говоря, будет другим, так как за время Й состояние, описываемое ф(х, 1), изменится и те же результаты (.', С", Л'", ...
будут получаться с иной степенью вероятности. Кроме того, может случиться, что сама величина Ь явно зависит от вре- пРОизВОдные ОпеРлтОРОВ пО Времени 4 зи 129 мени, так что и возможные значения т'.', 7.", 7."', ... будут изменяться с течением времени. Обозначим средний результат измерений в момент (+б! через Х(!+б!), тогда д „!! !. (!+Л!) — 1. Р) дУ =„', Л! Вычислим эту производную. ДИФФеренцируя (31.1) по времени, получаем д! = 1 фе д'; Ф + 1 — 'д!'7-Ф + 1 Ф* 7 д . (3!.3) дв Очевидно, что первый член есть среднее значение -- и равен нулю, если ! явно не зависит от времени.
Два последних члена мы упростим, пользуясь уравнением Шредингера (28.3). Именно, из (28.3) имеем дф 1 - дф' 1 — = — ЙФ вЂ”,' = —,—. Йефе. д! !а ' дт ча Подставляя эти выражения в (31.3), найдем Н. д!. ! г "е .„" 1 — — —,-„- ~ (Йечр') (6р) с(х+ —, ~ тре (1,Йтр) т(х. Первый интеграл преобразуем, пользуясь самосопряженностью оператора Й. Обозначая тре =- и";, 1лр = и,, на основании свойства самосопряженности (18.7) получаем ~(Й"ф*) (1Ф) !(х= ~ ней*и',т(х = г и,*Йи,с(х=-~ф*(ЙЬр) !(х. Подставляя это в выражение для — „, находим й = '; +,—.', ~ Ф* ().Й вЂ” И) ~ и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
