Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1О оо, так что Р, сравнимо с Лта, и применять классическ)ю механйку к этому случаю невозможно. $ 35. Переход от временного уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона — Якоби В предыдущем параграфе мы установили связь квантовых уравнений движения с уравнениями Ньютона и тем самым— связь квантовой механики с классической.
Эта связь может быть обнаружена еще другим способом: можно показать, что классическое уравнение Гамильтона — Якоби является предельным случаем временного уравнения Шредингера. Чтобы доказать это, напомним сначала уравнения Гамильтона — Якоби. Для простоты ограничимся рассмотрением движения одной частицы массы р в потенциальном поле (г'(х, у, г, !). Уравнение Гамильтона— Якоби пишется для функции действия Ео(х, у, г, !), которая обладает тем свойством, что д5о д5о д5о (35.!) ГДЕ Р„РРР Р, — пРоекиии импульса частиЦы на оси кооРдинат.
Само уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого с.!учая имеет вид д' = и,„-((-~— ") +1 д„о1 + ~ „") ~+(/(х, у, г, (). (35.2) Так как функция Гамильтона Н(р», р„, р„х, у, г, !) равна (Р» Рд Р» Х. у, г !) = 3 (р»+Ру+р»ч)+(Г (Х, у, г, !), (35.3) то пз (35.1) и (35.2) следует, что уравнение Гамильтона — Якоби моэкет быть написано в виде — =Н вЂ” —, — —, —, х, у, г, ().
(35.4) д5о ( д5о д5о д5о д! 1 дк' ду ' дз Гели функция Гамильтона явно от времени не зависит, то она равна энергии частицы Е. Тогда из (35.4) следует д ' — — Е, Ео = Е! — зо (х, у, г). (35.5) !42 связь с клАссичсскои мехАникОЙ и Оптикои !Гл. ч1 Равенства (35.1) показывают, что траектории являются линиями, ортогональными к поверхностям 8»=сонэ!. Если 1! Не зависит от времени явно, то форма этих поверхностей не меняется с течением времени. На рис.
22 показаны эти поверхности и возможные траектории частицы. Частица, находящаяся в момент времени ! = О в точке а, будет двигаться в дальнейшем по траектории ~~=гоп»! аЬ. Представим себе рой частиц, имеющих различные начальные кооррис, 22. Траектории и поверх- динаты хв, ув, го. Пусть в элементе насти постоянной фуикиии лей- объема Л р' имеется Лй! = р с» ч частиц, где р плотность частиц.
К люменту времени ! все эти частицы переместятся в некоторую другую область пространства, но число их, конечно, не изменится. Поэтому, если следить за движением элемента объема Л'и', связанного с этими частицами, то число частиц в нем остается неизменным. Обозначая локальную про- 0 изводную через —, получим и ' ЛУ '+ О О! И Р И Но, как известно, локальные производные от р и Л$' равны — = — + Чрч, 0р др И д! — =б!ч чбтр, 0 о'к' И где ч — скорость движения частиц.
Комбинируя эти выражения с предыдущим равенством, мы получаем уравнение непрерывности -";+6!ч (рч) =О. На основании (35.1) ч=Р = — — Ч8». р (35. 7) Поэтому (35.6) можно переписать в виде — б(ч (рЧ5») = О, или — Р = -- (ЧРЧ5»+ рЧ»3»). (35.8) Таким образом, рой частиц движется, как жидкость.
Занимаемый им объем не «расплывается», а только деформируется. Уравнения (35.8) можно истолковывать и иначе. Если мы разделим число частиц ЬЧ в объеме Л1/ на общее число частиц Ч, % аи уРАВнения шРедингеРА и уРАВнение ГАмильтонА-якови 143 то ЛЖ/1~1 можно рассматривать как вероятность найти частицу в объеме Л)х, а плотность р — как плотность вероятности. Обратимся теперь к квантовой механике. Покажем, что временное уравнение Шредингера 1й-~ =-й1Р, й =- — -~„-Ч+и(х, р, г, Г) всдст приближенно к тем же результатам, что и рассмотренное уравнение Гамильтона — Якоби.
Для этого представим волновую функцию лр в виде 15 1Р (35.10) где Я вЂ” некоторая искомая функция. Замечая, что дф 1 д5 д11Р 1 (д51о 1 д15 дх А ох ' дхо ао 1 дх 1 Л дхо мы получим, подставляя (35.10) в (35.9), уравнение для функ- ции 3: д1 2 !'1д~) 1д ) 'лдх)~ ('у' ' )+2 (35.11) Разложим теперь 5 по степеням 1Л: 5 = 5 + (1й) 5 + (1й)о Зх+... (35. Г2) Подставляя (35.12) в (35.11) п сравнивая коэффнциенть< при одинаковых степенях Й, мы получаем уравнения = -2 — (2ЧЗо75л+ 7'Зо) (35 13') 2и т. Л. Первое из этих уравнений совпадает с уравнением Гамиль1она — Якоби (35.2), а второе.
как легко видеть, совпадает с уравнением непрерывности (35.8). В самом деле, вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, г есть р )1Р11 е25,+... (35.14) Отсюда 'рр = 21~5 е-5 + ", —; = . —,е-5 + " др , д5, дГ д~ Поэтому, умножая уравнение (35.13') на 2е'5, мы получаем уравнение непрерывности (35.8). !44 связь с кллссическогг мехюгикоп и оптиков [гл.чг Остается выяснить вопрос об области применимости полученного приближенного решения уравнения Шредингера.
При переходе от (35.11) к уравнению (35.13) мы отбросили член — Чг5; 2гг это возможно сделать, если (35.15) Пользуясь (35.1), это неравенство можно записать в виде р2 и 2гг 2я ' - — )~ —, д(т р ~. (35.16) Это неравенство означает, что кинетическая энергия должна быть велика, а изменения импульса (г)1чр~ малы.
Для одного измерения получим р' >) й -6 ). (35.16') 2пв Вводя длину волны де Бройля Х== —, находим Р ~л (сч2п, (35.17) й 36. Квантовая механика и оптика Исторически одним из истоков квантовой механики послужили параллели, установленные Гамильтоном между геометрической оптикон и механикой. Эти забытые аналогии были привлечены де Бройлем в современную физику, и с их помощью были сделаны первые шаги квантовой (волновой) механики. Часто говорилось, что Шредингер построил механику, аналогичную волновой оптике.
Лпалогии часто поморгают решению той нли иной физической проблемы, по все же остаются только аналогиями. Окончательно написанное Шредингером уравнение не совпадает ни с одним из ранее известных уравнений для распространения волн. Эти последние — всегда уравнения второго порядка по времени, в то время как уравнение Шредингера — первого порядка по времени; имеются и другие отличия. Тем не менее все же представляет интерес сравнить уравнение Шредингера с уравнениями волновой оптики. Допустим, что мы имеем некоторую однородную среду, в которой распространяются волны со скоростью о. Тогда уравнение для смещения ) т. е.
длина еолньг должнгг медленно лгенлшься е фцнкг)гггг координагггы. э зс) квлнтовля мехлн2%л н Оптикл 245 прп распространении таких волн будет (36.1) Для волны, имеющей частоту колебаний го, можно положить ~=-иЕ-2 ', тогда из (36.1) получаем 2)ви+)гви =О, )ге=--— от (36.2) (36.3) (22=--2л/Л вЂ” волновое число, Л вЂ” длина волны). Уравнение (36.3) строго применимо для однородной среды').
Однако оно описывает печения дифракции и интерференции и в том случае, если считать скорость о функцией координат. Поэтому его можно рассматривать как волновое уравнение и для неоднородной среды. В этом случае йа будет функцией координат. Условно будем и н этом случае назьгвать )г волновым числом, а Л=-2п))г — длиной во,тны. Введем показатель преломления тг(л, 2), а): (36.4) 2де ).,— длина волны в пустоте. Тогда уравнение (36.3) можно написать в виде тгви+ йеггвгс = О. (36.6) ц англ Е (36.
6) гле а — амплитуда, йоΠ— фаза волны. Если длина волны мала, то /г„вел!!ко. Разложим а и О по обратным степеням /го: ! ! а=по+- — аг+- —,, ае+., Ло Л1 (36. 7) (36.8) ') Уравнение для распространенна волн в неоднородной среде (например, т 'ск~ромагнитнмх волн в среде с переменной диэлектрической постоянной) вмт.ид2п на самом деле сложнее, чем (36.3). Если неоднородности среды таковы, что показатель преломления л мало меняется на протяжении длины волны, то нз волнового урагнепия (36.5) можно получить основное уравнение геометрической оптики (в противном случае мы будем иметь дело с дифракцпей волн на этих неоднородностях). Положим 146 связь с клкссичгског1 мсхкнпкоп и оптиков !гл.гл Подставляя (36.7) и (36.8) в (36.6), а (36.6) в (36.5) и собирая одинаковые степени /го, получим уравнение (36.5) в виде — У:,ао (70о) + )г~"воао+ 0 (йо) = О, (36.9) где 0(/го) означает члены порядка )го и ииже.
Пренебрегая иизшими степенями /г„находим отсюда (ЧОо)о == по, (36.10) Это и есть основное уравнение геометрической оптики, определяющее поверхности постоянной фазы Оо (х, Гб г) = соп51 (36. 11) (л д, — — — -' — ч-'ф+и(х, у, г) ф подстановкой Е ае к сводится к уравиеншо Ъоп+ -о (Š— (7) и =-О.