Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Возможны и другие группы приборов. До сих пор мы изображали состояние частиц волновой функцией ф(х), беря в качестве переменной координату частицы х (простоты ради, в дальнейшем мы употребляем лишь одну координату х). Сортировка частиц по координатам х производится устройствами, исключающими сортировку по р„(далее будем писать просто р вместо р,). Представим себе, однако, что мы интересуемся сортировкой частиц пе по их координатам х, а по их импульсам. Тогда нужно взять прибор, анализирующий ансамбль по р, а не по х.
Между тем волновая функция ф, описывающая аисамбль, взята как функция х. Нельзя ли описать состояние ансамбля так, чтобы волновая функция была функцией импульса Р? » 381 РЛЗЛИг!НЪ|С ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ КВЛНТОВЫХ СИСТЕМ (53 В первом случае мы будем говорить, что состояние отнесено к прибору, анализирующему ансамбль по координатам частиц х (первая «система отсчета»), во втором случае — к прибору, анализирующему ансамбль по импульсам р (вторая «система отсчета»). Коротко говорят: состояние дано в «х»-представлении илн состояние дано в «р»-представлении ').
Найти «р»-представление очень легко. Пусть иам дана волновая функция тр (х, г) («х»-представление). Разложим эту функцию по собственным функциям оператора импульса 1Рр (х) (т. е. в интеграл Фурье), тогда тр(х, г) =)с(р, () 1рр(х) г)р, (38.1) с (р, 1) = ~ тр (х, г) 1й»в (х) г(х. (38.2) если мы знаем амплитуды с(р, г), то мы знаем и 1р(х, (), задание с(р, г) вполне определяет 1Р(х, г). Поэтому с(р, 1) можно рассматривать как волновую функцшо, аргументом которой является импульс р.
Эта функция изображает физически то же состояние частицы, что и функция тр (х, 1). Формулу (38.1) следует рассматривать как преобразование волновой функции от «р»-представле>гия к «х»1-представлению, а (38.2) — как преобразование от «х»-представления к «р»-представлению. Рассмотрим теперь представление состояния, когда за независимую переменную взята энергия частицы Е. Пусть, для определенности, Е имеет дискретный спектр значений: Е,, Е„,..., Е„, .... Соответствующие собственные функции обозначим через 1Р1 (х), 1р«(х), ..., 1Р„(х), .... Волновую функцию ф(х, 1) мы можем представить в виде ряда ф (Х, Г) = У', С, (Г) 1)а (Х), (38.3) с„(() = $ »Р (х, () тр«(х) г(х. (38.4) Опять-таки задание всех амплитуд с„(() вполне определяет тр(х, 1).
Обратно, задание »Р(х, г) определяет са((). Поэтому совокупность всех с„(г) можно рассматривать как волновую функцию, описывающую то же состояние, что и тр (х, 1), но в представлении, в котором за независимую переменную взята энергия') Е. С этой точки зрения формула (38.3) есть преобразование волновой функции от «Е»-ггредставления к «х»-представлению. Формула (38.4) есть формула обратного преобразования. Из формул (38.1), (38.2), (38.3) и (38.4) следует, что вероятность найти какое-либо ') Следует читать: «координатное представление», «импульсное представление> ») В полной аналогии с с(р, () вмесго г„(Г) (л=(, 2, 3, ...) мы могли бы писать: с(д, Г) (д=дг дь "° Ев ")' осггоаы теоюги пегдстлвлснгги 1гл, тгг 154 значение независимой переменной равна квадрату модуля волновой функции в соответствующем представлении.
В самом деле, пусть имеется некоторое состояние ф(х, 1), тогда вероятность иг(х, 1) найти значение координаты, лежащее между х и х+дх, будет иг (х, 1) дх=1ф(х, 1),,'дх. (38.5) Вероятность ю(р, 1) др найти импульс р между р и р+др будет иг(р, г) бр=-гс(р, 1) г»др. (38.6) Вероятность найти энергию иг(Е„, 1) равной Е„ будет ю (Е„, 1) =- ( с„(1),« = ~ с (Е„, 1) ~».
(38. 7) $ 39. Различные представления операторов, изображающих механические величины. Матрицы Для того чтобы изображение состояний ф в разных независимых переменных получило полную законченность, нужно еще найти способ представления операторов в тех же переменных. Между тем до снх пор мы рассматривали операторы Е как "! . д «функции» х, считая, что А имеет вид Е( — г)г —, х). В этом дх ' случае оператор А действует на функции вида гр(х) и производит новую функцию гр(х) по формуле (39.1) Поэтому можно сказать, что мы брали оператор Е в «х»-ггредставлении. Найдем теперь оператор Е в энергетическом представлении («Е»-представ.пение), считая, что энергия имеет дискретный спектр значений Е„.
Соответствующие собственные функции пусть будут ф„(х). Тогда функции «р и гр можно представить в виде ф(х) =~ч с»ф„(х), л (39.2) цг(х) =-Х„ Ь„«Р„ (х). » (39.3) Совокупность с„есть ф в «Е»-представлении, а совокупность Ь„ есть «р также в «Е»-представлении. Оператор А переводит в новую функцнго чг, а вместе с тем и с„в новые амплитуды Ь„. Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал Ь„ через с„, то тем самым мы найдем оператор А в «Е»-представлении.
Для этой цели подставим ф и цг из (39.2) и (39.3) в (39.1). Тогда РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ $ 391 155 мы получаем ~ч~ Ь,зр„(х) = ~ч~ с„Ьр„(х). (39.4) Умножая (39А) на зр,", (х) и интегрируя по всему пространству х, мы получим в силу ортогональностп функций зр,(х) Ь = ~х~ Е„,„с„, л (39 5) где Ема=1ф". (Х)ЕФ„(х) дх. (39.6) Ьп Ьы Ьм" Ьла" йм Езз 1<з ... 1.«„...
(39. 7) ).м!~-пп)чаз " Ьма "° имеющей бесконечное число строк н столбцов. Такая таблица называется м а т р и це й. Величины Е „называются м а т р и чнымн элемеп тамп. Каждый матричный элемент имеет два п1щекса'). Первый есть номер строки, второй — помер столбца. Безразлино, как мы располагаем в такой матрице строки и столбцы. Но в каждом расчете необходимо, конечно, соблюдать одно определенное расположение.
Мы условимся нумеровать строки и столбцы в порядке возрастания собственных значений: Ел == Ез .=-:-: Ез =- ° ==- Е =: Можно найти представление операторов А и в том случае, когда независимая переменная имеет непрерывный спектр значений. ') Часто применяются другис обозначения магри'шых элементов, введенные дира«о»и именно, пишут (ш ) Е ~ и) вл1есто (.мю или еще подробнее (Пм ~ В ~Е ) вместо ).,„ В этом последнем обозначении указывается не только оператор (Е), которому принадлежит матричный элемент, но и представление, в котором он березов (Д), и, наконец, номера собственных значений ш и и, которым пркпадлс~кнт матричный элемент.
Такое обозначение особенно удобно в слушс выроздспнп (З 2!), когда волновые фушсции характеризую<си нссколькимн индексами. Зная все величины Ем„, мы.можем по формуле (39.5) найти все амплитуды Ь„(функцию ср в <Е»-представлении) по заданным са (т. е. по функции ф в «Е»-представлении). Поэтому совокупность всех величин Е „следует рассматривать как оператор Е в «Е»-представлении. Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы ОС1ЮВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. Ч11 Обратимся в качестве примера к «р»-представлению.
В полной параллели с (39.2) и (39.-о) имеем т)> (х) = ) с (р) фр (х) тт р, (39.2') 1Р (х) = ~ Ь (Р) »Р« (х) с(Р, (39.3') с(Р) и Ь(р) суть функции »Р н тр в «р»-представлении. Найдем связь между с(р) и Ь(р). Подставляя (39.2') и (39,3') в (39Д), получаелт ~ Ь (р) фр (х) с(р = $ с (р) Х. »йр (х) с(р. у>»пожав это уравнение на тррь (х) н интегрируя по х, в силу ортогональпости функций т)>р(х) найдем 1 Ь (р) б (р' — р) с(р = 1 с (р) г(р ) ф ь А р« с(х, Ь (Р') = — $ Ер «с (р) п>р, или (39.5') где 9 40. Матрицы и действия над ними В матрицах мы отличаем среди всех элементов так называемые диагональные элементы.
Диагональными элементами называются матричные элементы, номер строки которых ') В самом деле, под Е или р можно понимать любую величину Е, имеюшую дискретный или, соответственно, непрерывный спектр значений. В обшем случае под Е или р можно понимать нел>ю совокупность независимых, одновременно измеримых величин Е, >И, А>, .... ер р = ~. (Р' Р) = ~ фр (х) ~4« (х) с(х (39.6') Величины Ер р хаРактеРизУют опеРатоР 1. в «Р»-пРеДставлении.
Опп зависят от двух переменных р' и р, пробегающих одни и те же значения. Ьр по-прежнему будем называть м а т р и ч н ы м элементом оператора Е в «р»-представлении, а всю совокупность значений с „— м а т р и ц е й. Ясно, что в этом случае мы пе можем изобразить 1„р в виде таблицы. Тем не менее и в этом случае р' будем называть н ол1 е ром строк и, а р — номером столбца.
Мы видим, что в произвольном представлении операторы изображаются матрицами '). В «х»-представлении мы имели операторы в виде дифференциальных операторов. Однако можно показать (см. 9 40), что и в этом представлении операторы можно записать в матричной форме. млтопг1ы н дсиствия илд нпмп равен номеру столбца, т. е.
элементы вида Е„„. В случае непрерывного спектра диагональными элементами называют элементы вида 1'.рр. Если матрица имеет только диагональные элементы, то ее называют диагональной матрицей. В случае дискретного спектра такая матрица имеет вид о о ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
