Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2п Ьо (Зб. 13) (35. 14) Пусть теперь в некоторой области частица движется свободно, вие силового поля, так что вся ее энергия сводится к кинети- через показатель преломления а(л, у, г). Лучи будут линиями, ортогоиальными к этим поверхностям. Функцию 0,(х, у, г) называют эй к о и алом. Сопоставилл с уравнеииелл (36.9) уравнение Гамильтона — Якоби (35 2) для ф) пкции действия Во. Производя там подстановку оо= Е( — з„мы можем написать (35.2) в виде (Рз,) =-2р(Š— и(х, у, г)1. (36.12) Сравпеипе этого уравнения с (36.10) показывает, что задаче о распространении лучей малой длины волны (большое )оо) в неоднородной среде с показателем преломления а (х, у, г) может быть сопоставлена задача о движении материальной точки в поле спл с потенциальной энергией (/(х, у, г), причем роль показателя преломления играет величина )' 2р(Š— (/), а фазы— вели пша зо.
Траектории частиц суть линии, ортогоцальиыс к поверхностям во(х, д, г)=.сопэ1. Поэтому траектории совпадают с лучами саста с среде, показатель преломления которой и пропорционален 'к' 2р (Š— Ц. Таким обрззом, классическая механика материальной точки аналогична геометрической оптике. Если уравнение (36.3) рассматривать как уравнение волновой оптики, то можно сказать, что волновая (кваитовая) механика аналогична волповой оптике. В самом деле, уравнение Шредин- гера квлнтовля мсхлпикл-н оптпкл ческой. В этом случае следует положить (7=0.
Волновое число в этой области обозначим через и„: йо=-„о Е. 2Ло (36.15) Вводя теперь показатель преломления воли по отношеншо к этой области пространства А - ° /Š— »/ Ао Е (36.16) лоы можем переписать уравнение (36.14) в виде, полностью совпадающем с (36.5). Простейшие задачи по расчету преломления и отражения волн приведены в 2 96. При выводе (36.10) пз (36.9) лоы пренебрегли членами 0(/го). Вычислив их, нетрудно убедиться, что мы пренебрегли членами Й„'Р~Во в сравнении с й;;(~Оо)'. Взяв (для простоты) одно измерение, мы момсем написать условие справедливости нашего приближения в виде 'го( д» ) ~ ~)~о~ д»о ( (36.17) 2и дно Замечаа, что й=-„— =/го ', полУчаем дх (з — ( -;2п, (36.
18) что совпадает с ранее полученным условием (35.17) для перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби. Из (36.16) следует, что показатель преломления и, а вместе с ннм и длина волны Х=2п7й заметно меняются лишь в той области пространства, где заметно меняется потенциальная энергия У, т. е. внутри сферы действия сил а. Если сфера действия гил а~) Х, то на протяжении Х как У, так и п будут меняться мало (кроме некоторых исключительных случаев крайне резких изменений потенциальной энергии).
Поэтому для ориентировочных расчетов условие (36.18) можно заменить более простым условием Х ((а. (36. 19) Зто условие не следует понимать так, что для л1обых микро- частиц, имеющих достаточно большую энергию и, следовательно, обладающих малой длиной волны )о, всегда будет применима классическая механика.
Прн возрастании энергии частицы возникают явления неупругих ударов (ионизация и возбуждение атомов, тормозное излучение, возбуждение и расщепление атомного ядра и т. п.), !48 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХЛПИКО!Т И ОПТИКОЙ !ГЛ. Н! которые не могут быть рассчитаны без применения квантовой механики. В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда Е') ((I ~. Из (36.16) имеем 2Р (36.20) В этом случае лучи преломляются слабо и пх можно считать прямыми линиями. Если при этом потенциал настолько гладкий, что соблюдено условие (36.19), то рассматриваемое приближение называется э й к о н а л ь н ы м.
Вычислим в этом приближении изменение фазы волны т) вдоль луча, который для определенности будем считать направленным вдоль оси ОХ. Из (36.10) и (36.20) следует —" =- п = — 1 — — +..., (36.21) так что ~* и 41 — )1, (и — 1) 1(» =- — АВ 2 Т(». ,1 26 (36. 22) х, Этот результат будет использован в теории дифракционного рас- сеяния частиц.
$ 37. Квазиклассическое приближение (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) (37.2) Изложенная в Я 35, 36 связь между квантовой механикой и классической механикой и оптикой позволяет развить прибли- женный метод решения уравнения Шредингера, пригодный в тех случаях, когда соблюдено условие (36.19), т. е. прн слабом изме- нении длины волны. Говоря на оптическом языке, в тех случаях, когда показатель преломления среды и (х) медленно меняется в пространстве. Тогда, полагая в соответствии с (35.10) и (35.12) 1 ТР=Е (37.1) где з = зо+ !йз! + ..., получим 1 ТР Еьвв Д (37.
Г) Рассмотрим в дальнейшем тот случай, когда потенциал У зависит лишь от одной координаты У=У(х), тогда з, и з, также будут функциями только х. Теперь рз,=-~ ', О, О) и из (36.12) следует, что О "'Т Ых з, (х) = ~ р (х) 1(х, 149 МЕТОД ВЕИТЦЕЛЯ вЂ” КРЛМЕРСА — ЬРНЛЛЮЭНА % Зп где р(х) есть импульс частицы р (х) = -~ 3' 2р [Š— (? (х)] = — ( р (х)! . (3?.2') 1 откуда в! = + — )п р (х) — 1и с, так что ! )]) (х) =, е" !) (х) (37.4) В этом приближении вероятность найти частицу в области х, х+ с(х есть и) (х) а(х =- )р (х)," ах =- (37.5) т. е. она обратно пропорциональна скорости о(х) =-р(х)?р, стало быть прямо пропорциональна времени прохождения отрезка с(х, как это и должно быть по классической теории.
Учитывая два ьозможных знака р (х) в (37.2'), полное решение следует написать в виде суперпозиции двух решений — ~ ! у (к) , 'Ек — - - ~ ' у (к) ! Ек (р(х)=- ' е ' +, ' е ' . (376) 1' у (х) 1' у (к) Константы с„со и а должны быть выбраны из граничных )с:овий для волновой функции )р(х)'). Ясно, что из трех констант независимы только две. Особого рассмотрения требует случай точек поворота, т.е. !Екпх точек, где полная энергия Е равна потенциальной (?(х). 1! такой точке кинетическая энергия и импульс частицы становятся равными нулю: Т==О, р=О.
Оогласио классической механике частица в такой точке меняет ппак скорости и начинает двигаться в обратном направлении. г )!пода и название — точка 7!сворота. С волновой точки зрения допустимо движение и в области, где Е((7'(х) (об этом подробно будет рассказано в 99 96, 97), При этом величина р(х) (37.2') будет чисто мнимой и, конечно, ') Сн. Дополнение У!11. Пользуясь (35.13'), вычислим в), причем там следует положить — — =- О. Получим дп о! 2 — — — —,, =О, ((оо о(5! 7( оо (37.3) 7(к и'к цко !50 сВязь с клхссич!'скОг! мгхАипкой и ОптикО11 )гл 1'! )Г, — .)!Р(х)!ск с, )()(х) = —, ' е 'г )р(с)~ (37.6') Для дальнейшего рассмотрения точек поворота удобно выбрать константу а равной значеншо х в точке поворота Е =-(l (а), р (а) =-О. Как видно из (37.6), (37.6'), найденные приближенные решения обращаются в бесконечность как раз в точках поворота.
Поэтому сшивание решений по обе стороны от точки поворота требует рассмотрения более точного решения уравнения Шредингера в окрестности этой точки. это достигается тем, что в Окрестности х=а потенциал (>'(х) гни) представляют в виде (/(х)=У(а)+! — ) (х — а)+ ... н решают (, с'х ) для этого линейного потенциала уравнения Шредингера. Мы приведем только результаты такого расчета. Будем считать, что для х а Е (У(х), а при х(а Е)У(х), тогда оказывается, что правильный выбор констант таков, что с )р (х) = ' 5!и ~ — '1 р (х) а)х + — 1, х ( а, (37.7) )гр(х) ) а с 4)' к 1 ( А > — р !к) 1хк ь(! (х) =- —, е ", х ) а. (37.7') 2 !' ! ',я(хП И для случая, когда Е) (>' (х) в области х) а: к с , г! л 1 ф= 5!п — ~ р (х) а)х+ — ~.
рр(! Ь 1 4 с (37.7-) Предположим теперь, что область движения частицы ограничена и оно происходит между двумя точками поворота Ь(х(а. Тогда в (37.7") следует вместо предела и подставить Ь. Очевидно, что оба решения (37.7) и х )Р (Х) = = 51П вЂ” ~ Р (Х) С(Х +— с . ! ! л! р р(к) я 4 ~ ь (37.8) уже пе имеет смысла импульса: р (х) =- !з ! ) ~ 2р (Е/ (х) — Е1 = + ! ~ р (х) ~. (37 2 ) При этом одно из решений в (37.6) будет неограниченно нарастать с ростом х.
Физически имеют смысл только ограниченные волновые функции, поэтому в области, где Е(У(х), константу с, следует положить равной нулю, так что метОд Вентцеля — квлмеясл — вгиллюанл 151 5 Зн в области 6(х(а должны совпадать. Это вовможио лишь при условии (З7З) где п — целое число. Распространяя интеграл по всему пути частицы от а до Ь и обратно, получим суд(л) дл=(и+ ~) 2пй, (37.10) Это есть условие квантования по старой, полуклассической теории Бора. Появление 1!2 в атой формуле несущественно, так как, строго говоря, классическое приближение справедливо лишь тогда, когда а)~1 (условие малости длины волны). Глава ЧП ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ $ 38. Различные представления состояния квантовых систем Как мы виделп, для квантовой механики характерно, что одновременное употребление ряда классических корпускулярпых величия (р, и х, Т и У, М, и Мч и т.
п.) теряет всякий смысл, так как в природе ие реализуются такие ансамбли, в которых приведенные пары величин существовали бы одновременно. Поэтому в отношении каждой квантовой системы все измерительные приборы могут быть разбиты иа группы. Приборы одной из таких групп сортируют частицы (или системы) ансамбля по признакам, исключающим сортировку по признакам, характерным для какой-либо другой группы измерительных устройств. Так, например, если мы имеем дело с частицами, координазы центра тяжести которых суть х, у, г, то мы легко можем выделить две группы приборов; к первой группе можно отнести приборы, анализирующие ансамбль таких частиц по координатам х, у, з и по любым функциям от нпх Г(х, д, г) (иапример, по потенциальной энергии У (х, у, г)), а к второй группе — устройства, анализирующие ансамбль по импульсам р,, пх, р, или по любым функциям Ф(р? рк, р,.) от нпх (например, по кинетической энергии Т(р,, р„, р,)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
