Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. в матричной форне (43.10) (43. 11) Подобным же образом, разлагая функции фл (х) по функциям <рв(х), можно убедиться, что ,~~ 5та5ал = 6тл~ а (43. 12) т. е. (43.11') Матрица, удовлетворяющая условиям (43.11) и (43.11'), называется унитарной. Так как произведение 5» на 5 или 5 на 5' дает единичную матрицу, то 5' есть матрица, обратная 5, т. е. 5+ 5-1 (43.13) Заметим, что унитарная матрица не является эрмитовской, так как для эрмитовской матрицы вместо (43.13) мы имели бы 5»=5.
На основании изложенного мы можем сказать, что преобразование оператора от одного представления к другому совершается с помощью унитарной матрицы 5 с элементами (43.4). Само преобразование (43.8) называют унитарным. Формулу (43.1) можно также рассматривать как унитарное преобразование от координатного представления к «1»ипредстав- "1' . д лению. Для этого достаточно написать оператор 6( — (㻠—, х) в матричной форме.
Тогда вместо (43.1) получим 6 „= ~ ~ ф,"'ь (х') «»„„ф„(х) ах с(х'. (43.1') Полагая 5",.=»р' (х') и 5»„=-»р„(х), мы приведем преобразование (43.1') к виду (43.8). Таким образом, волновые функции ф"„'(х), фл(х) суть не что иное, как матричные элементы унитарных матриц 5» и 5, преобразующих от координатного представления к «Т.»-представлению. Выше Ц 41) уже было отмечено, что задачу о нахождении собственных значений любого оператора можно рассматривать шается преобразование оператора от одного представления («У.») н другому («М»).
Матрица 5 обладает важным свойством. Перемножая функции «р„'(х) и гсв(х) и интегрируя результат по х, на основании ортогональности собственных функций мы получаем Ъ 441 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 171 илн в раскрытом виде ,~и~ 5та6аа — г~'„4 6тп5па (43.15) Если матрица 6„а диагональна, то 5та6аа =,~~и ~6тп5па. Л (43.16) Так как собственные значения 600 нам неизвестны, то нам следует опустить индекс а, и мы получим 5 6= ~6 050, (43.17) и что совпадает с уравнением (41.4), если положить 6=1, 5„=ел. Отметим одно важное свойство унитарного преобразования: унитарное преобразование оставляет неизменным сумму диагональнь1х элементов матрицы. Эту сумму называют следом (или 44шпуром») матрицы и обозначают так: 5рб=ч:6„„, (43.
18) л Из (43.7) имеем ~~ 6аа,У~ ~и~ па (5 )ап46тп5»а ~ ~~ 6тп Сй(5*)ат5»а = а а »4 и т л а =~~6.пб.п =~600, (43. 19) т. е. след матрицы есть инвариант унитарного преобразования. Этим свойством часто пользуются в приложениях. 9 44. Унитарные преобразования от одного момента времени к другому. Матрица рассеяния Изменение волновых функций с течением времени может быть также рассмотрено с помощью унитарного преобразования. Пусть »г(х4 1,) есть волновая функция в момент времени 1„а ф(х, 1)— та же функция в момент времени 1. Положим $(х, 1) =5 (1, 10) Ф(х, 10), (44.1) как задачу о приведении матрицы, изображакяцей оператор, к диагональному виду. В терминах унитарных преобразований эта задача может быть формулирована так: найти унитарное преобразование 5, которое преобразовало бы матрицу оператора 6 к диагональному виду. Чтобы найти это преобразование, умножим уравнение (43.8) слева на 5.
Пользуясь (43.!1'), получим 56" = 6'5, (43. 14) 172 1гл. и~ Основы теОРии пгвдстдалсния где 8 (1, 1,) — есть унитарный оператор. В простейшем случае, когда гамильтониан системы Й не зависит от времени, оператор Л (1, 1,) имеет вид Ф В (1, г») е а (44.2) Действительно, вычисляя частную производную по времени от функции (44.2), найдем й ~= 1й (' ')ф(х, 1»)=Й5(1, (о)ф(х, (о)=Йф(л, 1). (44.3) Следовательно, ф (х, 1) удовлетворяет временному уравнению Шредингера.
Далее, из (44.1) и (44.2) следует, что соблюдено начальное условие ф(х, Г) =ф(х, 1,) при 1=1». Наконец, из эрмитовости оператора Гамильтона вьшекает унитарность оператора 3(1, 1,): о~(1 1»)=е» ' ' ' е» ' '" Я»(1 1») (44.4) Разобьем интервал времени 1, 1» на меньшие интервалы (» — го гя — гн, 1 — 1». Тогда формулу (44.1) можно заткать в виде ф (х Й = о (г 1») у (1ы 1»-ч) " Я (1м 1») 5 (1„1») ф (х, 1») (44 5) Следовательно, движение квантовомехавического ансамбля можно рассматривать как последовательность унитарных преобразований.
Важный специальный случай преобразования (44.1), имеющий особенное применение в теории рассеяная частиц, возникает, если начальное состояние задано не при 1,=0, а при 1,= — со, а конечное состояние ф(х, 1) рассматривается при 1=+ со. В этом случае (44.1) запишется в виде ф (х, + со) = Яф (х, — со), (44.
6) где явно отмечено, что 1, = — со и оператор 3 определен формулой 8=о(+о-' оо)= 1)ш 8(1»о) (44. 7) Этот оператор называют мат р ицей р ассе ян и я. Его особое значение в теории рассеяния частиц (см. ~ 80) вытекает нз того обстоятельства, что в теории рассеяния начальные состояния задаются обычно в виде волн, представляющих удаленные друг от друга частицы, которые потом встречаются (время от г» = = — — со до г'=О), взаимодействуют около момента г'=-0 и затем рассеиваются, уходя опять вдаль при 1-»-+ со. По определе- 0 «п у!п!ТАРныс пРсоаРАзовл1шя. млтРнцл Рлссвяния ггэ нию (44.7) матрица рассеяния как раз и преобразует состояние, заданное при 1= — со, в состояние, возникающее прн 1=..
+ оо, Заметим, что простота выражения (44.2) является в некоторой мере иллюзорной. Это выражение может быть просто применено к вычислениям только при условии знания собственных значений Еп оператора Й и его собственных функций фп (х), т. е. в том случае, когда найдены решения стационарного уравнения Шредингера, что далеко не всегда просто сделать. Чаще встречаются с такой ситуацией, когда оператор Й можно разбить на две частицы: основную Й, и малую, добавочную часть 1у', так что Й =-и,+ ь'. предполагается, что собственные значения Еп и собственные функции фп(х) «невозмущенногол гамильтониана Н, известны.
Тогда (44.2) можно разложить в ряд по степеням малого «возмущения» Ф и получить приближенное выражение для оператора Я. Такой путь применения 5-матрицы широко используется в современной теории рассеяния частиц. Матричные элементы оператора 5 (1, 10) определяют вероятности переходов из одного квантового состояния в другое. Допустим, что в начальный момент времени 1=10 некоторая динамическая величина Е имела определенное значение Е = Е,. Это ОЗНаЧаЕт, Чтп Прн 1=10 ф(Х, 1,) =1рп(Х), ГдЕ «р„(Х) ЕСТЬ СОбетВЕН- ная функция оператора Ь, так что Е1р„=-Е,,«р„.
В соответствии с (44.1) в этом случае волновая функция к моменту времени 1 будет равна ф (Х~ ~) ~ (1~ ~0) ч'п (Х) (44.8) С другой стороны, согласно общей теории (2 22), вероятность найти Ь=Е в момент времени ( будет равна квадрату модуля коэффициента ст(1) разложения функции ф(х, 1) по функциям «рл(х). Этот коэффициент равен с (1) =.~«р,"„(х) ф(х, 1) йх= =) 41т(х) 8 (1, 10) 410(х) 0(х=-~тл(1, 10), (44 9) т. е. амплитуда с (1) равна матричному элементу унитарного оператора Я, взятому между состояниями п и гп.
Отсюда следует, что вероятность найти Е=Е в момент 1, если в момент 1= 1, Епп Е„, будет выражаться формулой Ртп (1 10) =- ~ ст (1) (' =-18тп ((, 10) ~'. (44 10) Эта вероятность называется вероятностью к в а н т о в о г о перехода из состояния Е=Е„в состояние Е=Е . основы тсорни представлении шл. вп 174 В квантовой статистике широко используется так называемый п р н н ц и п де т а л ь н о г о б а л а н с а. Согласно этому принципу вероятность перехода из состояния и в состояние т равна вероятности перехода нз состояния т в состояние и за тот же промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма ограниченное значение.
Он верен лишь в пергом приближении теорш1 возмущений. Он верен также в некоторых специальных случаях, например, когда силы, действующие между частицамн,— центральные. Принцип детального баланса был бы верен точно в том случае, если бы матрица 5 была бы эрмитовой. На самом деле она есть матрица унитарная; поэтому величина ) 5„,„ ', вообще говоря, не равна величине ~ 5„ 1в, Отсюда не следует делать заключения о необратимости квантовой механики. Известно из классической механики, что если силы пе зависят от скоростей, то изменение скоростей всех част|щ на обратные ведет к тому, что все движение воспроизводится в обратном порядке. Можно' доказать, что при этих же условиях и в квантовой механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно, вероятность за время 1 перейти из состояния, характеризуемого импульсами частиц рм р„", ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
