Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

(47.10) Эта формула показывает, что энергия осциллитора Е может иметь лишь дискретные значения. Число и, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом. Окончательно мы запишем собственную функцию, принадлежащую и-му собственному значению и данную в «х»-представлении, в виде (47.11) [Р„(х) = -т= тт'„($), где й = х/хо.

Эти функции 'нормированы так, что +СО ф„' (х) о[«= 1. Обратим внимание на четность волновых функций осциллятора. Как легко видеть из формул (47.1!) и (47.8), четность состояний осциллятора определяется четностью главного квантового числа и. Пользуясь формулами (47.7) и (47.8), выпишем несколько собственных функций вида (47.11) фа(х) = и "~~"1, и=О, (47.12) "[' «. Ун фз (х) = е '1'1 2 —, и=!, (47,12') Уь,|~л »Р«(х)= е "~'" (4 —,— 2), п=2.

(4?.12") Р 2». 2«Р' и «1 Первая функция не обращается в нуль нигде (кроме х= + со). Вторая обращается в нуль при х=О. Точку, где волновая функция обращается в нуль, будем называть узлом. Третья функция обращается в нуль при х=.+ —,' и имеет, стало быть, два узла.

'г' 2 Мы замечаем, что число узлов равно номеру функции и. Это свойство справедливо для любого и '). Таким образом, главное т) Всегда номер собственной функции равен числу узлов. Общее доказательство этой теоремы см. у Р. Ку ранта и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. 1, Гостекнздат, 1951, стр 382-388. ~ат ГАРМОНИЧВСКИИ ОСЦИЛЛЯТОР $4Л квамлгоеое число равно кислу узлов собственной функции. Эти волновые функции изображены на рис.

23, а. Вид функций тР„(х) аналогичен виду функции сг'„(х), изображающей колебание закрепленной на концах струны. Для сравнения 'на рис. 23, б приведена функция (7„(х) для основного тона (и = О), первого обертона (а=1) и второго обертона (а=2). а) Рис. 23. Волновые функции. е — волновые функции осциавятора для и = О. Ь 2, б) колебания вакрепленвой струны, У, — основной тоя, Уы У, — первые два обертона. Обнаруживающаяся аналогия между колебаниями струны и волновой функцией осциллятора не является случайной.

Она обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, в обоих случаях дело идет об одном измерении. Во-вторых, колебания струны — это собственные колебания. Согласно общей теореме об узлах соб- и ственных функций (см. примечание на стр. 186) число узлов л-г Ег= — сгиб функции ф„(х) и функции (7„(х) должно быть одинаково. Чтобы получить более пол- л*у ~ Е+итб пое представление о кванто! ! ! г г «тб вых состояниях осциллятора, мы приводим на рис.

24 потсн- Еб-гй циальную функцию осциллятора гцу л д д х и(х) =- — х. им а 2 Рис. 24. Диаграмма квантовых уровней Е„и потенциальной энергии У(х) Г1о оси ординат отложена потендля гармонического осциллято а. ц 12 циальная энергия, а по оси абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями изображены уровни энергии Е„(47.10) для разных л. Такие диаграммы, на которых изображается одновременно энергетический спектр и потенциальная энергия, употребляются довольно часто.

Они позволяют произвести простое сравнение с классической картиной движения. Рассмотрим, например, уровень Е,. Согласно классической механике, частица, имеющая энергию Ета 1вв МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. Н!и где о — скорость частицы. Выразим о как функцию х.

Имеем х = а з1п ооог, (47.15) где а — амплитуда колебаний Из (47.15) имеем о = Оооо соз оооо, (47.16) т. е. опять-таки по (47.15) о = Оооо 1гл 1 — —. ао' (47.17) Следовательно, ш„, (х) о(х=— 1 ах 1 — ".. ао — а(х -+а. (47.18) Эта вероятность изображена на рис. 25.

Наибольшая вероятность приходится, как и следует ожидать, на точки поворота А и В. Вероятность найти частицу в области х, х+о(х по квантовой механике равна (для и=1) ш„, (х) Нх = ор( (х) йх, причем ор, следует взять из (47.12'). Следовательно, Š— ко~хо Х' ЙХ оэ„, (х) х(х = е о —, —. п х'„хо График этой вероятности также изображен на рис.

25. Как видно, квантовая вероятность также имеет максимумы около классических з точек поворота (точно, для Е,=-- йооо. ОА = ОВ = ~х — „ ллкоо могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле, А и В суть точки, где потенциальная энергия равна полной. В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю, так как Е = Т+ У, Т = Š— (7. (47.13) Точки А и В называются точк а ми поворота. Очевидно, ОА =-ОВ есть амплитуда колебания частицы, имеющей энергию Е,. Вычислим вероятность и (х) к(х найти частицу в области х, х+ дх по классической механике. Эта вероятность пропорциональна времени Й, в течение которого частица проходит отрезок г(х.

Если период колебаний есть Т=2П7оо„то мы можем положить оэ „(х) г(х=--= — —, ал коо Их кл Т 2по' ГАРмоннческии осциллятоР 189 х- а Рис. 26. Классическая и квантовая вероятности для состояния осциллятора с наименьшей энергией Ео. Рис. 25 Сравнение квантовой вероятности местонахоитдения частицы (для и= 1) с классической. А,  †,точки поворота, А', В' точки иаиоииуиа мкв' Особенно сильно подчеркивается различие между квантовым и классическим случаем, если рассмотреть состояние с наименьшей энергией. По классической теории наименьшая энергия осциллятора есть Е= О и соответствует покоящейся в положении равновесия частице.

Вероятность тв„, (х) в этом случае имеет вид, приведенный на рис. 26. Она всюду равна нулю, кроме точки х=О. По квантовой теории наименьшая энергия осциллятора есть Гцоо. Е о ' 2 она называется нулевой энергией. Вероятность тв„,(х) в этом случае равна таа,=фо(х)==е "'"о. х,~'К Опа также приведена па рис. 26. Выясним подробнее свойства нулевой энергии.

Очевидно, что эта энергия не может быть отнята от осциллятора, ибо по своему существу она есть минимальная энергия, которую может иметь осциллятор. Ве можно отнять, лишь изменяя сам осциллятор, именно, уменьшая частоту ш„т. е. путем изменения коэффициента а ОА'=ОВ'=1/ — ), но, в отличие от классического случая, Г ршо1 вероятность найти частицу отлична от нуля и за точками поворота. Это обстоятельство не представляет в квантовой механике какого- либо противоречия, так как равенство (47.13) в квантовой механике не имеет силы: кинетическая энергия Т и потенциальная с7 не являются одновременно измеримыми величинами.

[во МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.УН! упругости. Существование нулевой энергии является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей (А) (бх) В самом деле, средние значения р и х в состоянии с определенным значением энергии равны нулю: Х = ~ 2р„хф„с(х = ~ 2р,'х [(х = 0 (47.21) (что следует из нечетности подынтегральной функции), р = ~ 2рпрппрп ![»пп !» ~ Фп дп [(х=~ — 2 2!!й(х)1 =О. (47.22) Поэтому для осциллятора соотношения неопределенностей (47.20) можно переписать в виде 2 2 Р' Х')4 ° (47.20') С другой стороны, средняя энергия осциллятора равна Е = — + ~ — "' х'. (47.23) Из сопоставления (47.20') и (47.23) непосредственно видно, что, уменьшая потенциальную энергию, мы увеличиваем кинетическую, и наоборот.

В частности, состояние с наименьшей потенциальной энергией Г = 0 есть состояние с бесконечно большой кинетической энергией Т=оо. Объединяя (47.20') и (47.23), получаем 2[2 арп (47.24) Отсюда легко найти минимальное значение Е. Именно, из 'Е =о д (рп) получаем гп[п Е) — 2 (47. 25) т. е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совмеспшмая е соотношением неопределенностей. Примером частиц, совершающих малые колебания, могут служить атомы в молекуле или в. твердом теле. Экспериментально удается доказать наличие нулевой энергии и нулевых колебаний атомов путем наблюдения рассеяния света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями атомов.

По,мере уменьшения температуры амплитуда колебаний, согласно классической теории, л «>1 осцнллятоР В энеРГетическОм пРедстАВлении 191 должна неограниченно уменьшаться, а вместе с тем должно исчезать и рассеяние света. Между тем опыт показывает, что интенсивность рассеяния света по мере уменьшения температуры стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атома не прекращаются. Этот факт подтверждает существование нулевых колебаний.

9 48. Осциллятор в энергетическом представлении Обратимся к представлению, в котором за независимую переменную взята энергия осциллятора Е. В этом представлении оператор полной энергии Й будет диагональной матрицей с эле- ментами Н ил = Елбтл, или на основании (47.!О) (48. 1) о о о о — ям, о о з 2 о о -ачо 5 2 (48.2) Любое состояние осциллятора ф (х, 1) можно представить как суперпозицию стационарных состояний (ср. 9 30) Ел~ $(х, 1) = >,'с„(0) ф„(х) е " =~с„(1) ф„(х), (48.3) л где ф, (х) дается формулой (47.11), а ń— формулой (47.10). Совокупность всех сл будет волновой функцией в «Е>-представлении.

Вероятность найти значение энергии Ел в состоянии ф(х, 1) равна «е (Ел) = ', сл (1) /« = ! сл (О) )>. (48;4) Эта вероятность не зависит от времени, что соответствует тому, что энергия есть интеграл движения. Найдем оператор координаты Х в «Е>-представлении. По общей теории он должен изобразиться матрицей с элементами х „= ~>рмлхф„дх, (48.5) Подставляя сюда ф„и фл из (47.7), получаем +СО х~=хл ~ е — 1'Не($)ЕН„($)Щ, хо=)/ — (486) микгочхстицы в пола потенциальных сил !гл.юц Этот интеграл может быть вычислен: — для гл=п — 1, 2 — для лг=п+1, а+! 2 +со ~ е-~'Н КН„йа= (48.7) 0 в остальных случаях.

Пользуясь этим результатом, мы мойем написать (48.6) с помощью символа б„„в следующем виде: хел — — хо(~/ 2 6и з и+ ~/ 2 6„.„,„,). (48.8) Приведем матрицу х. Из (48.8) видно, что отличны от нуля лишь соседние с главной диагональю элементы, именно, (48.9) х=х, В гайзенберговском представлении элементы матрицы оператора Х будут равны (см.

Характеристики

Список файлов книги