Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(42.12)) Са х „(1) =х„„е (48.10) где Ев — Еа гами а г 0 (пг и). (48. 11) х (1) = '~~ ~ с" (1) х„„с„(1) = У', ~ , 'с' (О) х, (1) с„(0). (48.12) На основании сказанного о матричных элементах х„„(1) среднее значение х будет гармонической функцией времени с частотой ге,. Иначе говоря, 2'зависит от времени так же, как зависит от Так как х „~0 лишь для т=п-+.1, то все матричные элементы координаты осциллятора колеблются с одной и той же частотой, равной собственной частоте осциллятора ге,.
Вычислим теперь среднее значение координаты осциллятора х для произвольного состояния. По общей формуле (4!.2) имеем движение в полк цпнтральнои силы 3 491 193 времени координата классического осциллятора'): х (1) = а соз (ото) + ф) (48. 13) где а — амплитуда, ф — фаза. Матрица оператора импульса в «Е»-представлении может быть найдена либо путем вычисления интегралов Рта= ~ »Ф'л'Рлнх= — 1д ~ »Рт х с(х, (48.14) либо, более просто, на основании квантовых уравнений движения. Согласно этим уравнениям (48.15) т. е.
(48. 16) Пользуясь формулой (42.11), находим Ртл = 1«отлРХтл (48.17) или Р „=Циоо(т — и) х „. (48.18) Разумеется, вычисление интегралов (48.!4) ведет к тому же результату. 9 49. Движение в поле центральной силы Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстояния г от некоторого центра (силового центра).
Законы движения в поле центральной силы образуют фундамент атомной механики: решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается в той или иной мере на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральной силы. Обозначая через (7(г) потенциальную энергию частицы, мы можем написать оператор полной энергии Й (33.12) в виде Й= Т,+ —,+()(г), (49.1) ') Этот же результат мы можем получить непосредственно из теоремы Эренфеста. Уравнение (34.1) для осциллятора принимает внд «1»х )» — = — реях л в очяуда путем интегрирования находим х=а сов(мл)+ф), 194 микгочлстицы в поли потенциальных сил ~гл.юп где М' есть оператор квадрата момента импульса, а Т,— оператор кинетической энергии для радиального движения.
Из общей теории интегралов движения (6 33) следует, что интегралами движения в поле центральной силы будут: полная энергия Е и момент импульса (т. е. М', М, М„, М,). Мы поставим себе задачу найти стационарные состояния частицы, движущейся в поле (1(г). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в нашем случае имеет вид т,ф+ ~~, ф+ (1 ( ) ф = Еф.
(49.2) Волновую функцию ф естественно искать как функцию сферических координат г, 6, ~р. Мы должны найти однозначные, непрерывные и конечные решения ф уравнения (49.2) во всей области изменения переменных г, 6, Ч, т. е. в области 0== г(сю, 0( .=.6== и, О~~р=а2п. Так как операторы Н и М' коммутируют, то они должны иметь общие собственныа функции, поэтому мы можем написать второе уравнение для ф Мзф = М'ф. (49.3) Собственные значения М', согласно 6 25, равны й'1(1+ 1), так что вместо Мзф мы можем подставить в (49.2) величину йз1 (1+ + 1) ф. Тогда мы получаем уравнение (49.3') Это уравнение содержит явно лишь одну переменную г.
Полагая теперь ф(г, 6, <р)=Р(г) У~ (6, (р), (49,4) где У, (8, ~р) есть собственная функция оператора М', мы одновременно удовлетворяем и уравнению (49.3), и уравнению (49.3'), если функция 1с (г) удовлетворяет уравнению т,в+— " ",'„'+ —,"с+и() К=т. (49.5) Это уравнение получается путем деления (49.3') на У, . Мы будем называть его уравнением Шредингера для радиальной функции Р(г). Напомним (см.
$ 25), что функции ); являются также собственными функциями одной из проекций момента импульса, именно в при нашем выборе координат .проекции М,. Поэтому в поле центральной силы полная энергия, квадрат момента импульса и проекция момента импульса на некоторое произвольное движения в поля цвнтглльнон силы 1эз направление 02 являются величинами, одновременно измеримыми. Возможные значения энергии Е определяются из уравнения (49.5) и зависят от вида У(г). Онн, кроме того, могут зависеть от величины момента импульса М' (через число (), но они не могут зависеть от проекции момента импульса М, (и, следовательно, от числа т): М, не входит в уравнение (49.5). Это объясняется тем, что мы имеем дело с полем, обладающим центральной симметрией, так что все направления в пространстве физически равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.
Лля дальнейших выводов мы должны более подробно определить вид У (г). Во всех реальных физических системах взаимодействие на бесконечно больших расстояниях бесконечйо мало. Это означает, что асимптотически (при г — ~ со) потенциальная энергия принимает постоянное значение и(г), „= з(=С, (49.6) где С вЂ” произвольная постоянная, определяющая уровень потенциальной энергии в бесконечности. Мы увидим, что характер решения уравнения (49.5) существенно зависит от того, больше или меньше полная энергия Е значения потенциальной энергии в бесконечности (С).
Так как С есть произвольная постоянная, то в тех случаях, когда специально не оговорено, мы будем полагать ее равной нулю и различать два случая: Е ) 0 н Е ~ О. Определим еще вид (l (г) вблизи центра сил (при г-~О). Мы будем считать, что (/(г) имеет в нуле полюс, порядок которого меньше 2: (?(г).-о= —,;, а(2. А (49.?) Сделанные нами предположения о виде У(г) охватывают весьма широкий круг задач атомной механики. Так, например, в проблеме движения валентного электрона в атоме речь идет о движении электрона в поле ядра атома, окруженного оболочкой более близких к ядру электронов.
При малых расстояниях действие этих электронов несущественно, основное поле будет кулоновским полем ядра. ПотенциальА ная энергия электрона в кулоновском поле имеет вид -- и поэтому 1 входит в класс (49.7). В случае взаимодействия двух атомов при малых расстояниях наибольшее взаимодействие есть отталкивание ядер по закону Кулона, т. е. потенциальная энергия имеет опять-таки вид А?г.
В обоих примерах У имеет при г=О полюс первого порядка. 196 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.ЧЦ[ Для исследования решения уравнения (49.5) представим это решение в виде )с (г) = — '. (49.8) Подставляя это выражение для тс в (49.5) и замечая, что, согласно (26.7), йз 1 д/ д/т) аз !дзи тн= — — -- — ~" — ) = — — —— (49.9) г 2ргздг~ дг/ 29 г пгз\ мы получаем следующее уравнение для и: (49.10) Рассмотрим сначала асимптотические решения этого уравнения 1 при г — ьсо. Пренебрегая для больших г членом с —, и У(г) (мы г считаем С в (49.6) равной нулю), получаем простое уравнение (49.11) Обозначая = — для Е)0 и )Р= — —,, для Е(0, (49.12) 2ИЕ 2РЕ мы получаем общее решение (49.11) в виде и=С,е"*а+С,е-'"', Е)0, (49.! 3) и=С,е-' +С,ехг Е(0, (49.14) где С, и С, — произвольные постоянные.
Согласно (49.8) асим птотическое решение -уравнения (49лй) имеет вид (49.15) /С=Ст' — +С, —, Е(0. е — Хг (49.16) В первом случае Е)0 решение )с конечно и непрерывно при любом значении постоянных. Как видно, оно представляет собой суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже для больших г. Именно, вероятность найти частицу между г и г+г(г пропорциональна [/с[в и объему шарового слоя 4пгзс(ге): [е (г) с(г [гт (з 4лгз г(г = 4п ~[С,е/ьг+Сзе /аг [з с(г. ') Пренебрежение в уравнении (49.10) потенциальной энергией [/(г), сделанное нами, законно лишь в том случае, если (/(г) при г -+ оз стремится быстрее к нулю, нежели 1/г.
В случае кулоновского поля [/ [г), =В/г, и асимптотические решения (49.15) и (49.16) несколько видоизменяется, но не столь существенно, чтобы это видоизменение отразилось на справедливости наших дальнейших рассуждений. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОИ СИЛЫ 197 Такие состояния соответствуют апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется, из бесконечности к центру сил и уходит опять в бесконечность.
Так как рассматриваемое нами состояние стационарно, то поток приходящих частиц должен равняться потоку уходящих. Это означает, что амплитуды приходящих и уходяших волн С, и С, должны быть 1,. 1 равны по модулю. Если положить С,=-,-Ае', С,= — —,;Ае-"", где А и а действительны, то асимптотическое решение (49.15) можно представить в виде 1 Ип (А +и) (49.16') т. е. в виде стоячей, сферической волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
