Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Иное положение вещей имеет место при Е -'О. В этом случае необходимо положить С,=О, иначе )г- со при г-+.Оо. Поэтому нужное решение будет Л=С,'— . (49. 16") Для этих состояний га(г) йг- 4л~ С, ('е-™с(г и при больших г величина гв(г)- О, т. е. частицу можно найти лишь вблизи центра сил. Такие состояния соответствуют периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется около силового центра, Исследуем теперь поведение решений вблизи центра (г-ьО). Будем искать и(г) в виде степенного ряда и (г) = г" (1+а,с+а,г'+...). (49.17) Подставим это выражение для и в уравнение (49.10).
Тогда низшей степенью г будет гт-' нли гт-". Мы видим, что если и«-'2, то низшей степенью будет гт-'. Член с гч-' будет наибольшим (при г- 0); поэтому, игнорируя величины высшего порядка, мы найдем, что результатом подстановки (49.!7) в (49.10) будет [у (у — 1) — 1 (1+ 1)! гт-'+ члены высшего порядка = О.
(49.18) Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех (бесконечно малых) значениях г, необходимо, чтобы г (у — 1) =1(1+ 1). (49.19) Отсюда у=1+1 или у=- — 1. (49.20) Следовательно, прн г-ч-О решение )ч, равное и1г, имеет вид Й =С;г' (!+а,г+о,г'+...) + С;г' ' (1+ а',г+ а',г'+...), (49.21) где С,' и С; — произвольные постоянные. 198 МИКРОЧДСтИЦЫ В ПОЛК ПОтаНЦИДЛЬНМХ СИЛ (ГЛ.
тгги Для того чтобы функция оставалась конечной, необходимо положить С:=О. Таким образом, собственная функция )с при малых г имеет вид Р = С,'г' (1+ а,г+ пега+...). (49.22) При г-ьсо это частное решение перейдет либо в (49.15) (если Е)0), либо в (49.16) (если Е(0). Полагая С,'=О, мы выбираем частное решение уравнения (49.10). Поэтому коэффициенты С, н С, в (49.15) нли в (49.16) будут находиться уже во вполне определенном отношении друг к другу (абсолютная же величина этих коэффициентов не имеет значения, так как уравнение (49.10) есть однородное уравнение). Это отношение зависит теперь только от параметров уравнения (49.10), в частности, от Е. Следовательно, при С;=0 имеем с-=~(Е), (49.23) где 1 — некоторая функция Е, зависящая от вида уравнения (49.15), т.
е. от У(г). Если энергия частицы Е) О, то оба частных решения (49.13) конечны, и поэтому при любом отношении Са)Сз решение (49.15) есть допустимое решение, в частности, и при том Сз/С„которое получается из требования Се=О. Поэтому мы не должны накладывать какого-либо нового ограничения на отношение з) Сз/Ст. Вместе с тем параметр Е может иметь любое значение. Отсюда следует, что если энергия Е) О, то энергия не кванту- ется, а принимает все значения от 0 до +ос. т) Из требования С„'=О как раз и вытекает асимптотическое выражение для )7 (49.!5). Полагая С,'=О, мы тем самым выбираем ф без сингуляриостей в нуле.
Благодаря атому булет справедливо уравнение сохранения для ф"ф (29.7) (си. также дополнение ЧШ). Для стационарных состояний нз (29.7) находим ) У„ля=о для любой замкнутой поверхности. Выберем в качестве такой поверхности сферу с центром в нуле. Тогда l,=з',. Из (29.5) и (49.4) имеем Подставляя в предыдущую формулу и замечая, что дБ=гздй, ~ УьвУ," д9=1, получим д)7~ „д)( Р— = )7* —.
дг дг' Легко убедиться, что зто равенство невозможно, если (С, ~ чь (Са 1. э 491 движение в поле центрйльнои силы 199 Это будет некоторое трансцендентное уравнение для Е. Корни этого уравнения Е=Ет, Е„..., Еи, ... (49.25) и будут собственными значениями оператора энергии, так как только при этих значениях Е решение )с конечно и при с=О, и при г=со. Следовательно, при Е(О получается дискретный спектр возможных значений энергии.
Мы получаем в этом случае сисглему кванлювых уровней (49.25). УЕ Рассмотрим теперь подробней несколько наиболее типичных Рис. 27, Потенциальная энергия для случая отталкивания от г. Эиергетическкй спектр Е ) О непрерыяен. Рис. 28. Потенциальная энергия для случая притяжения к центру. Энергетический спектр для Е > й непрерыеен, для Е ( й состоит нэ отдельнык ураейей Е, Е, ..., Е . т есть и' энергия ионнэнкии. видов потенциальной энергии У(г). Во всех случаях мы будем считать, что потенциальная энергия имеет (если имеет вообще) при г = 0 полюс ниже, чем 1!гй.
Потенциальную энергию в бесконечности условимся считать равной нулю. На рис. 27 изображена потенциальная энергия У как функция расстояния от центра г для случая отталкивания частицы. В этом случае Таким образом, при Е ) 0 мы имеем непрерывный слектпр энергии. Другое положение дел имеет место при Е(0. Из требования конечности функции )с в нуле (Сй =0) не следует Се=О, так что в общем случае при )с конечном в нуле решение будет возрастать в бесконечности неограниченно.
Чтобы получить решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно потребовать С,=О. А это налагает ограничение на возможные значения энергии Е, так как тогда из (49.23) следует —;*=ДЕ) =О. (49.24) т 200 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ ~ГЛ. Ч!П полная энергия частицы положительна '). При Е ) 0 спектр энергии непрерывен. Следовательно, в случае отталкивающих сил возможны все значения энергии от 0 до +ОО.
Это обозначено на рисунке штриховкой. На рис. 28 изображена потенциальная энергия для случая притяжения. В этом случае мы должны различать две возможности: Е)0 и Е(0. В первом случае спектр будет непрерывным (штрихованная часть рисунка). Во втором случае мы получаем дискретный спектр значений Е„ Е„..., Е„. Эти квантовые уровни изображены на рис. 28 горизонтальными линиями. Приведенный спектр, состоящий из прерывного и сплошного, является ,Г йалдддэгйлагй как раз тем эиергетичеглаллр ским спектром, который свойствен электрону, взаий Я модействующему с ядром, Аз Диюгвимг или положительным ионом Д~Р (притяжение по закону Кулона).
Дискретные уровни отрис. 20. Потенциальная энергия двух ато- вечают, как было покамовг обРазующих молекулу, кан функпиа Вано ВЫШЕ, дВИЖЕнию их расстояния зт. электрона в атоме (вероятность найти электрон вдали от атома исчезающе мала). Напротив, сплошной спектр отвечает ионизованному атому, так как электрон в этом случае может оказаться как угодно далеко от атома, Энергия, необходимая для ионизации, так называемая работа ионизации 1, легко может быть получена из приведенной на рисунке диаграммы. Действительно, энергия, которую имеет электрон в нормальном, невозбуждениом состоянии атома, есть Е,. Для того чтобы атом был ионизован, нужно, чтобы энергия его электрона была больше О, поэтому наименьшая работа, которая будет затрачена на ионизацию атома в нормальном его состоянии, есть 1=0 — Е,= — Е,. (49.26) з) В классической механике это следует из того, что кинегическая энергия Т ) О, и если сГ ) О, то и Е ) О.
В квантовой механике положение совершенно такое же: Е = — з ф*РефгТи+ ~ф*Уф гГР. 2ц з Первый член есть кинетическая энергия и обязательно положителен, так как положительны собственные значения оператора Рз. Если ст)О, то и Е)О. ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 201 Приведем еще другой образец потенциальной кривой, свойственный двухатомным молекулам АВ. При больших расстояниях атомы А и В не взаимодействуют, поэтому можно положить (?=0 для г=ОО. При меньших расстояниях атомы притягиваются и, наконец, на малых расстояниях они отталкиваются из-за отталкивания ядер и электронных оболочек при проникновении одного атома в другой.
Поэтому потенциальная энергия имеет вид, приведенный на рис. 29. Для Е) 0 мы имеем опять непрерывный спектр. Вероятность ш (г) остается конечной и при г — ОО: атомы А и В могут находиться как угодно далеко друг от друга (диссоциированная молекула). При Е(0 получается ряд дискретных уровней Е„Е„..., Е„. В этом случае ш(г)-~0 при г-~со.
Атомы находятся близко друг к другу и образуют молекулу АВ. Для диссоциации молекулы, находящейся в нормальном (нижнем) состоянии, нужно затратить работу диссоциации Вс )9 = — Е,. (49. 2?) Заметим, что по классической теории эта работа равнялась бы 0' = — (? ы, где (? ы означает наименьшую потенциальную энер«ма гию, 0 меньше 1?' на величину нулевой энергии— Из приведенных примеров видно, что, зная потенциальную энергию (? (г), не производя решения уравнения Шредингера, можно сделать вывод о характере энергетического спектра. ф 50. Движение в кулоновскем поле Самой простой задачей атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра.
С такой задачей мы встречаемся в атоме водорода Н, в ионе гелия Не', в двукратно ионизованном атоме лития ).1-+ и тому подобных ионах, называемых в о д о р од о п од о б и ы м и. Обозначая заряд ядра через +ел, где е — элементарный заряд, а Š— номер ядра в системе Менделеева, мы получим, что потенциальная энергия электрона в поле такого ядра по закону Кулона будет равна (?(г) = — — —. (50.1) Чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения электрона, нужно решить уравнение Шредингера для радиальной Функции )х. Полагая ~.> и (50.2) мы получим для и, как было показано в 9 49, уравнение (49. 10) . е 202 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ (ГЛ.
ЧП! Подставляя туда У из (50.1) и понимая под р массу электрона, получаем следующее уравнение ае Ши ае 1(1+1) Еее — - — -- + —:и — — и=Еи 2И Лре 2)е ее г (50.3) где а = †, = 0,5О9 10-' см, Е, = 2 †,',, = — = 13,55 эв. (50.5) Подстановка (50,4) в (50.3) приводит к тому, что в уравнении ие будет содержаться атомных постоянных р, е, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
