Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 43
Текст из файла (страница 43)
То, что в кулоновском поле энергия зависит лишь от и, есть специальная особенность этого поля, которая имеет свои основания'). В случае кулоновского поля числа и, и 1 входят в выражение энергии в виде суммы п=п,+1+1. Таким образом, в кулоновском поле, как уже и отмечалось, имеет место вырожденис («!»-вырождение), заключающееся в том, что энергия при заданном главном числе и пе зависит от величины момента импульса (1). В общем случае центрального поля (((г) это «1»-вырожденне снято, и термы с одним и тем же главным квантовым числом и, но разными орбитальными числами 1 имеют разные величины.
На рис. 36 приведены уровни для одновалентного атома калия. Как видно, например, главному числу и = 2 принадлежат два уровня 1=-0 (з-терм) и 1=1 (р-терм). В случае водорода эти уровни сливаются вместе. Что касается магнитного квантового числа п2, то оно, как уже объяснялось, определяет ориентацию атома у энергия атома (в отсутствие внешних от этого числа. ТОКИ В АТОМАХ.МАГНЕТОН 2!9 (53.3) Согласно (29.11) плотность электрического тока в состоянии будет выражаться формулой (ея '1 2 (флетЧфйет фпетЧфпет) (53.2) (мы берем перед е знак —, считая заряд электрона равным — е, е 4,778 1О-" ед.
СГСЭ. Удобно найти вектор Л в сферических координатах», В, ф.,г(ля этого заметим, что в сферической системе проекции оператора градиента Ч суть —, — —, д 1 д 1 д д»' » дб' »япа дф' Следовательно, проекции вектора Л на радиус, меридиан и широту равны соответственно гае (и дфлет, дфпет'! 2!е !," "ет д» "л»т д» / !Ле ( дфйЕт и дфпет ! 2п» 11 и'т да (53.4) Вае !' дфпет и дф„е ! еат . ("') Первые два результата получаются сразу, если вспомнить, что Р!"' и 1»„, суть действительные функции переменных 9 и г, а последний следует из того, что фп, пропорциональна е' т.
Таким обра- l зом, в стационарных состояниях проекции тока на радиус и мериди- '~ ! ! » е» ан равны нулю (что очевидно и из геометрических соображений; если, например, е,:г- О, то заряды будут „ ! г д либо растекаться, либо накапливать- -- ! ~. ~ ! . !то ся) и ток течет вдоль широтных кругов (рис. 37). Это течение вполне соответствует среднему току по клас- I 1 ! ! / сической механике для совокупности орбит, имеющих один и тот же пол- / ный момент импульса Ме и одну и»» / ту же проекцию этого момента »И, »» на ось 02. / l Теперь, основываясь на формуле (53.5) для плотности тока, нетрудно Рис 27 Теки в атоме лР» зе йти магнитнь!й ~~~~~~ Т)1 Сила тока Ы, протекающего через площадку ОО, направленную в мериднональной плоскости (рис. 37), равна еУ =,(„е(О.
(53.6) 220 микгочлстицы в поля потвнцилльных сил [гл.чш Магнитный момент, создаваемый этим током, равен г('.91, = — = Н5 7 Ябо (53.7) где Я вЂ” площадь, обтекаемая током б7. Эта площадь равна пг'з)п'8 (см. рис. 37). Поэтому Чтобы получить полный момент ".'91„следует просуммировать магнитные моменты по всем трубкам тока. Тогда получим %, = — — '"' ~ 2пг з 1п 8 сЬ ) фм„('. (53.9) Но 2пгз(надо есть объем трубки.
Так как внутри трубки величина )фы," постоянна, то интеграл в (53.9) есть просто интеграл от ~ф„, 1' по всему объему. Этот интеграл в силу нормировки равен 1, следовательно, проекция магнитного момента на ось имеет значение И, = — 'а"' = — явт, 2ис= В (53.10) где 9)1в=2-=9,27 1О " '-' — ' (53.11) аа г )И, 2нс (53.12) и в точности совпадает с отношением этих величин о классической теории для заряда — е с массой р, движущегося по замкнутой орбите. Заметим, что, поскольку ось ОЛ ничем не выделена, такое же отношение получится и для проекций ЗЛ и М на любое направление. Поэтому (53.12) следует толковать в том смысле, что отношение вектора магнитного момента йИ к веке тору М механического момента равно 2рс' т. е.
она имеет квантовое значение, равное целому числу магнетонов Бора Ио (см. % 3). Знак минус обусловлен отрицательным зарядом электрона. Произведенный расчет показывает, таким образом, что в состояниях с М, ~' 0 в атоме течет электрический ток. Этот ток создает магнитный момент (53.10), так что атом представляет собой в целом магнитный диполь. Отношение проекции магнитного момента И, к проекции механического момента М, равно КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ 221 й 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы Рис.
38. Потенциальная энергия для атомов двукатомиой молекулы и энергетический спектр. длн Е > О спектр непрерывен, днн Е < О «мест место система уровней Ее < Ет<... й=т,+,~.+и(г), (54.2) где г есть расстояние между атомами, а углы 8 и <р (входя<цие в Ме) определяют направление линии, соединяющей А и В. Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет таково же, как и (49.2). Волновую функцию можно опять искать в виде т(т (г, 0, <р) =3~ (г') г'тот (8, <р), В= — ", / (54.5) причем для и будем иметь уравнение Член, можно рассматривать как дополнительную потен«и (1+ 1) 2рг' циальную энергию, так что всю потенциальную энергию для Обратимся к молекуле, образованной нз двух атомов А и В с массами тл и гпл.
Потенциальная энергия в функции расстояния между атомами г пусть будет )г(г). Эта энергия имеет вид, приведенный на рис. 38. Мы ограничимся рассмотрением толы<о Г относительного движения атомов А и В. Из классической механики известно, что относительное движение двух частиц с энергией взаимодействия (((г) происходит, как движение материальной точки с приведенной массой рл = — + — — (54.1) ыая В поле центральной силы (у'(г), а общее поступательное движение— как свободное движение материальной точки с массой гпл + + тн.
Такое же положение вещей имеет место, как будет доказано в 8 104, и в квантовой механике. Опираясь на это обстоятельство, мы можем написать оператор полной энергии для относительного движения атомов А и В в виде 222 микРОЧАстицы в пОле потенциАльиых сил [Гл, оп[ движения по радиусу можно определить в виде [[г, (.) =и (.)+ —,„, Яе[ ([+ 1) и переписать уравнение (54.4) в виде «я ояи — — — + [[7, (г) и Еи. 2[а йге (54.5) (54.4') График функции [[г",(г) для разных 1 изображен на рис. 39. В отсутствие вращения (1=0) ))уе(г) =У(г), и мы имеем случай, рассмотренный в 2 49 (рис.
29). Если вращение не сильно (1 невелико), то )[г",(г) все еше не сильно отличается от У (г). Последняя кривая лишь несколько искажается. Если, наконец, 1 очень велико, то кривая яг, (г) принимает вид, приведенный на рис. 39 (случай 1)) 1). Мы знаем, что для 1=0 молекула имеет дискретный спектр при Е(0 и непрерывный при Е~О. Прн сильном врашении [[г",(г) всю- йг[М) ду положительно. Тогда из доказанной в 2 49 теоремы следует, что Е ) 0 и, следовательно, спектр будет непрерывным. Молекула будет т диссоциировать на атомы А н В. Эта )у (1 диссоциация является результатом действия центробежной силы, которая % развивается при врашении молекулы.
ф Рассмотрим случай, когда врашение невелико, так что Ф', мало рнс. ЗВ, Связь колебания н вра отличается от сг (г) — по крайней мещения в двухатомной молекуле. ре в области минимума 11(г) (г=г,), Разложим В',(г) по степеням отклонения от положения равновесия г — гь Положение равновесия г, зависит от 1 и определится из минимума Ф',(г): ~ау' = ~~ — Я [ ([+ [) = О.
(54.6) Ыг Лр нгз Отсюда находим г=гь Далее имеем ~[(г) = ~[(~!)+ 2 Л„я (г — г)' 1 лязг,(г) (54. 7) причем )[о! (г!) =(7 (г!)+ «ч [[+!) 2ог! (54.8) 3 м1 квлнтовыв эеовни даэхятомнои молакэлы 223 Введем обозначения: (" )= — ' Лс)г с ! ~,, /,, =Месс )сгс=7с х=г — гс ° "г' с'='с (54.9) Подстановка )ссс(г) из (54.7) в (54.4') в обозначениях (54.9) дает я' лси l ЯИ(с+1) 1 — -- —,, + ~() (гс)+ + — рассх') и=Еи. (54.5') 2)с Лхс 2)с (54.5") и„(х) = е- ссэмН„($), (54.12) Находим полную внутреннюю энергию молекулы (пользуясь (54.10)) Еы —— У(гс)+йсвс(и+ 2~+ 2/, (54.13) (54.13') и = О, 1, 2, ..., ! О, 1, 2, Собственные функции молекулы будут ф„с„(г, а, ср) = —, и„(г) ус„(а, ср). 1 (54.14) Эти волновые функции описывают вращение молекулы и ее коле- бания. Энергия молекулы Еси оказывается равной сумме энергии колебаний с частотой «сс н энергии вращения молекулы яс! (с+!) Ес = (54.15) Имея в виду, что йЧ (1+1) есть квадрат момента импульса Мс, мы видим, что выражение для энергии враи(ения лсолекулы в квантовой механике таково же, как и в классической, так как, согласно Обозначая через Е' величину Хл! (!+! ) Е'=Š— У(гс) — — 7 —, 2 с мы перепишем уравнение (54.5') в виде яс Лси 1 — — + — Рыссх'и = Е'и.
2)с Лхв 2 Это — уравнение для стационарных состояний осциллятора (47.3), обладающего собственной частотой асс. Согласно (47.10) его соб- ственные значения Е' суть Е„'=де!с(н+- ), н=О, 1, 2, ., (54.11) а собственные функции, согласно (47.11), 224 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ !ГЛ. ЧИ! (если пренебрегать слабой зависимостью момента инерции от 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
