Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Состояние с 1=1 От=О, .+ 1) называется р-состоянием, а соответствующий терм — р-термом. Вероятность в этом случае определяется функциями Р, '(соз О) и Р, (соз О). Подставляя 214 микрочвстнцы в полн потвнцндльных снл !гл.юп значения этих функций из (25.16), имеем а тат +, (8) = 8 з!и' 6, тат, о(6) = — созтв. 4л (51.22) (51.22') На рис. 34 изображены вероятности шт „, тат „а также соответствующие орбиты по теории Бора. Из рисунков видно, что если по боровской теории в случае, например, т =- -+.
1 вероятность найти электрон отлична от нуля лишь (й в плоскости орбит (в=л12), то по квантовой механике она не равна нулю и для других значений угла 0 (на конусах 0 = — сопз1). Соответствие замечается в том, что максимум вероятности лежит прн 6=л12. Подобное же соответствие имеется и для т = 0 (максимум при 0 = 0). Состояние с 1=-2 (т =О, + 1, :~22) называется с(-состояние'м, тг а терм — дтермом. На рис.
34 приведена и вероятность штт для 1=-2, т=1. Из формул для сферических функций (25.16) получим сна, т (0) = МЬ [Р) (сов 8)]' = Рис. 38. Узловые поверхности = — з!пт 0 созе 6. (51.23) ьл действительной части функции р„, !о в, р). При 1= 2 и т =1 мы имеем по Бору и = и — ! — 1 сфер, З вЂ” ~ еп ( «о- СОВОКУПНОСТЬ Орбит, НО!тмаЛИ К КОТО- г «усов, ~ т ~ плас«петен.
рым образуют конус с осью ОЛ и углом раствора, равным 60,". На конусе с раствором 60' лежит и максимум вероятности по теории Бора. По квантовой механике этот максимум приходится на угол 45'. Вид вероятностей ш, (0) (рис. 34) позволяет пам создать некоторое представление о форме атома в различных состояниях. Эта форма определяется значением орбитального числа 1, а магнитное число т, как видно, определяет ориентацшо атома в пространстве.
Из приведенных выражении для вероятностей нзм,(0) видно, что функция Р",' с 1 = О не имеет узлов, с 1 = 1 и т =- 0 имеет одну узловую поверхность (плоскость 6 = л12), с 1 = 2 и пт = !— опять одну узловую поверхность (плоскость 0 = л12). Вообще уравнение Р,'"(сов 8) =О дает 1 — !т ! действительных корней 0„ Оа, ..., 6т — !„ь Эти углы и суть углы раствора конусов (8=сонэ!), % вэ1 движение электрона е Одновдлентных АтОмАх 215 которые образуют узловые поверхности. Часть волновой функции ф„,, зависящая от угла ~р, именно е' е, не имеет узлов, но ее действительная часть созттр или мнимая ((з(пиир) имеют лт узлов: ~рн р„..., тр, которые в пространстве дают узловые плоскости, проходящие через полярную ось. На рис. 35 изображено семейство узловых поверхностей функции трез, состоящее пз сфер (узлы функции Йш), конусов (узлы функции РЯ и плоскостей (узлы функции сов пзтр или и)п лир).
Число сфер равно п„конусов ( — ~т ~ и плоскостей ~т1 Всего имеется п,+( — (т~+ ~ лч)=п,+(=п — 1 узловых поверхностей. Таким образом, мы опять имеем иллюстрацию к общей теореме, упомянутой выше. Приведенные на рис. 35 узловые поверхности характеризуются той же геометрией, что и узловые поверхности колеблющегося шара. Поэтому функции зрш (г, 0, у) имеют сходство с функциями, изображаюшими колебание шара, подобно тому как собственные функции осциллятора тр„(х) имеют сходство с функциями, изображающими колебание струны.
й 52. Движение электрона в одновалентных атомах Существуст ряд атомов, имеющих один валентный электрон: это атомы щелочных металлов т.1, )ч(а, К, ... Мы будем называть их водородоподобными. В этих атомах имеется группа внутренних электронов, а внешний, валентный электрон движется в поле ядра и этих внутренних электронов. Строго говоря, мы имеем дело в этом случае с многоэлектронной проблемой. Однако в перечисленных атомах имеется одна особенность, позволяюшая приближенно свести задачу к задаче о движении одного электрона в поле цснтральных сил. Дело в том, что если удалить из такого атома валентный электрон, то оставшиеся электроны образуют электронную оболочку, характерную для инертных газов.
Например, ион т.(э имеет электронную оболочку, аналогичную электронной оболочке атома Не. И опыт, и теория показывают, что электронная оболочка инертного газа образует весьма прочную систему, имеющую сферическую симметрию н мало деформируюшуюся внешними воздействиями. Поэтому приближенно можно поступить так: считать, что внешний валентный электрон вообще не влияет на внутренние электроны, и таким образом рассматривать движение внешнего электрона в поле ядра и внутренних электронов. В силу сферической симметрии распределения последних поле, создаваемое имн, будет центральным '). Найдем потенциальную ') Подчеркнем с~не раз, что это верно лишь рриблиасенно, так как внешний электрон на самом деле будет полиризовать внутреннюю электронную оболочку. энергию внешнего, валентного электрона (7 (г) в поле ядра атома и внутренних электронов.
Обозначим через У(г) потенциал этого поля, тогда (7 (г) = — еУ (г). (52.1) Пусть, далее, р (г) есть средняя плотность электрического заряда, создаваемая внутренними электронами '). Тогда полный электронный заряд 1 — ей[(г)], заключенный внутри сферы радиуса г, будет равен т — е)Ч (г) 4л ~ р (1) г' 1[г. е (52.2) Учитывая еще заряд ядра +е2, мы можем представить полный заряд в рассматриваемой сфере в виде ег.* (г) = е [2 — А[ (г)], (52.3) где через 2в обозначен эффективный номер ядра на расстоянии г. Отсюда по теореме Гаусса получаем, что поле Ж, равно ел* (г) г а потенциал У(г) равен т У (г) = — е ~ — [(г.
Г л*(г) га (52. 5) Из (52.3) следует, что действие электронной оболочки сводится ех к экранированию поля ядра —,, причем это экранирование различно для различных расстояний от ядра. Вблизи ядра его поле не экраннруется. В самом деле, при г-ьО т 1ип ' = — 4лр(0) Ит —, ~ г [(г = О. ей[ (г) т е тт Г Поэтому в этой области е2 а потенциал У (г) — + сопз1. ег г (52.6) т) Вероятность р(г) может быть вычислена методами квантовой механики. Так, для [л[т речь будет идти о движении двух электронов в поле ядра. Задача здесь такова же, как и в случае атома Не, Последняя рассмотрена в $121.
Кроме того, р(г) может быть измерена н экспериментально (см. $79). 216 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. ЧП1 з 221 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ Р)7 Напротив, в областях г~а, где а — радиус электронной оболочки, )ч' (г),ме — — гтг, где )1) — полное число электронов в оболочке, имеем е (Š— А') г' и потенциал будет равен е (а — М) (г) = (52.7) что соответствует потенциалу ядра, заряд которого уменьшен на заряд электронов оболочки. Часто, делая еще более грубое приближение, пренебрегают зависимостью эффективного номера 2*(г) от г и берут какое-нибудь наиболее подходящее постоянное значение для Я* = 2 — )Ч (ге) (52.8) Однако такое приближение очень грубо и не ведет к хорошим результатам').
Полученная нами потенциальная энергия (7(г) = = — е)г(г) для валентного электрона водородоподобного атома принадлежит к классу рассмотренных в 9 50 (полюс порядка 1)г). Так как У(2, то мы имеем дело со случаем притяжения. Отсюда следует, что энергетический спектр водородоподобного атома будет состоять из непрерывного спектра (Е = О), отвечающего ионизованиому атому, и дискретного (Е(0), образующего совокупность квантовых уровней атома, Мы не будем заниматься решением радиального уравнения (49.5) для этого вида потенциальной энергии.
Оио может быть решено лишь численным интегрированием. Ограничимся лишь изложением результатов. Самым существенным обстоятельством является то, что энергия Е зависит в этом случае не только от главного квантового числа п, но и от, радиального и,. Это нетрудно понять. В уравнение (49.5) для функций гг, из которого определяются и квантовые уровни Е„, входит орбитальное квантовое число 1.
Поэтому Е будет, вообще говоря, зависеть от числа 1. Кроме того, значение Е зависит от номера собственной функции уравнения (49.5), т. е. от радиального числа и,. Таким образом, в общем случае собственные значения Е зависят от двух квантовых чисел, и, и 1, или так как п=п,+1+1, то можно сказать, что они зависят от п и Е Следовательно, полная нумерация уровней и собственных ') Конечно, применимость или неприменимость того или иного приближении зависит еще и от того, какую степень точности желают получить.
218 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ !ГЛ. УП2 функций будет такая: »Ря2ы(г~ аз %)=йл2(г) У2ы, 1=0, 1, 2, ..., и — 1, т = О, - ~- 1,, ~ 1, (52 9) п=1, 2, 3, а не Ел, как в случае Рис. 36. Снятие «кывырож денна в одновааентиых ато мах.
Прнведены трн первых уровня атоыа калия. Уровян 2р, 2з, сЛивающиеся в водороде, в ка. лнн разделены. $53. Токи в атомах. Магнетон Вычислим плотность электрического тока, текущего в атоме, если электрон находится в стационарном состоянии, с определенным значением проекции момента импульса (И,=ЬП. Волновая функция такого состояния равна Ф 2 (г 6 тр)=й„з(г)Р~Г~(соз6)е' ~. (53,1) т) См. В. А. Ф он, ДАН, № 2, 169 (1936). Ф)2 (й()х)уайа иаир 2г(л 2, 1-д! Х 2р(п-2, 1=1! Ю (г(л-1 1=Ю в пространстве, и поэтом полей) не может зависеть кулоновского поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
