Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Замена такой проблеl Т, мы более простой задачей , к о движении Одного элект- ' М рона во внешнем поле ява 1, г . ляется приближением. Оно, наверно, справедливо для Рдс. 42 Кривая потенннальной энергии больших скоростей рас- электрона в кристалле. сматриваемого электрона Пунктиром язобряжеяа волновая функция (моду- (И дО тОй ПОРЫ, ПОКа НаС не интересуют неупругие столкновения электрона). Что же касается применения такого приближения к движению электронов самого кристалла, то до снх пор не дано обоснования такой возможности, хотя вытекающие из расчетов следствия позволяют истолковать множество явлений. На рис. 42 изображена потенциальная энергия электрона в кристалле в функции х при условии, что ось ОХ проходит через центры атомов, образующих кристалл.
В точках ... — 2а, — а, О, + а, + 2а,... расположены центры атомов. В этих точках (у е«2 1 имеет полюс первого порядка ( — — ). Г Для выяснения возможных уровней энергии электрона в периодическом поле и собственных функций энергии нужно решить уравнение Шредингера, которое, мы возьмем сначала в «хэ-представлении. Это уравнение имеет вид — — 7'тр + Уф = Еф, (55.2) 2р где р — масса электрона, а У вЂ” потенциальная энергия, подчиняющаяся условию периодичности (55.1).
Ставя себе целью лишь выяснение самых основных свойств движения в периодическом поле, мы ограничимся одним измерением. Тогда вместо (55.1) и (55.2) будем иметь е»и ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 229 Для исследования этого уравнения перейдем к «р»-представлению. Положим для этой цели + СО «мк р »р (х) =- 1 с (й) , «(й, й = й 1' 2л (55.3) где рк — импульс по оси ОХ. Соответственно разложим потен- циальную энергию и в ряд Фурье + СО »мок и(х)= ~ и„.
°, и„=и*.. (55.4) мск Умножая это уравнение на = и интегрируя по х от — со до )с 2л + со, мы получим 6-функции: + СО + о» +со ,' —" ~ йС(й)6(й — й) )й+ '~ и„~ с(й) 6(й — ~" — й~ )й= " СΠ— СΠ— СО =Е ~ с(л) 6(Й вЂ” й') «(л. (55.5') Выполняя, наконец,, интегрирование по й и меняя обозначение й' на й, получаем — й'с(й)+ ~ икс(й+ — ) =Ес(й). (55.6) Это уравнение есть не что иное, как уравнение (55.2') в «р»-представлении. Особенностью его является то, что в него входят лишь те с(а), аргументы которых отличаются друг от друга величиной 2лас'а (и =О, +.
1, -+. 2, .. ). Величины с(й), с(а+йлп)а) суть неизвестные, которые нам нужно вычислить. Все они связаны между собой уравнениями вида (55.6), которые легко получить, если менять в (55.6) й на й+2лт(а, где и — целое число. Перенося в (55.6) член с Е налево, мы без труда можем написать уравнения для всех связанных Коэффициенты этого ряда и„ суть представлении. Подставим (55.3) и -~- О» +» +о ," — ' ~ йс(й) "'" (й+ '~ и„~ с(й) не что иное, как и(х) в «р»- (55.4) в (55.2'): с (» — — ) к «й= Ч- со =Е ~ с(й) =Ыг.
(55.5) У2л 230 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. УШ между собою функций с(я+2лт/а): ~ — (й+ — ) — Е1 с (й+ — „) + + СО -)- ~ (7„с(й-(-' — -(-' — ") =О, ~ — лй — Е1 с(л) + ~ (у„с(И+ — ) = О, ~Г (й — ' — л)' — Е1. (й — — ") + + ~~1~~ ( с (й гп + 2лл) т=+1 (55.7) т=О, гл= — 1, и т. д. Это — система алгебраических линейных однородных уравнений 2лт ~ для бесконечного числа неизвестных с(й+ — ) ОП=О, .ч-1, а ) .+.2, ...). Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы ее определитель О равнялся нулю.
Этот определитель зависит от Е и й (и всех коэффициентов У„) и является вообще трансцендентной функцией от Е. Поэтому уравнение О(Е, й) =О (55.8) имеет бесконечное число корней Е=Е„Е„..., Е;, ..., каждый из которых является функцией волнового числа Й.
Отсюда следует, что энергетический спектр частицы, движущейся в периодическом поле, будет состоять из отдельных областей Е (й+ 2л) Е (й) (55.10) Е = Еу (й), 1= 1, 2, 3, ..., (55.9) в каждой из которых энергия есть функция волнового числа й: Эти области называются зонами дозволенной энергии или просто з о н а м и.
Покажем, что в пределах каждой зоны энергия есть периодическая функция волнового числа й с периодом 2л!а. Для доказательства заменим в системе уравнений (55.7) всюду й на й +-2л!а. Тогда, как непосредственно видно из (55.7), такая замена означает просто иной порядок написания уравнения (55.7), т. е. система уравнений переходит сама в себя. Поэтому и корни Е, останутся неизменными, так что % зз) ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 23! Таким образом, энергия есть в самом деле периодическая функция й и, следовательно, может быть выражена рядом Фурье Е)(й) = ~', Е) соз(таЦ, ж=с (55.! 1) где коэффициенты Е зависят лишь от вида потенциальной энергии (/(х), т. е. от (/„т).
На рис. 43 приведены типичные кривые зависимости Е)(й) для двух первых зон Е, и Е,. В первой зоне энергия меняется -6 Е» 7 -Ма -дуг/а -)г/а Ю +я/а +луб'а йг/а /г Рис. 43. Энергетический спектр и энергия в функции волнового числа й для электрона, движущегося в периодическом поле. ') Мы написали ряд по косинусу. Общий ряд Фурье содержит как косинусы, так и синусы. Однако легко видеть нз (55.7), что замена А на — А не может изменить коэффициентов уравнения (55.7). При такой замене они опять переходят сами в себя. Поэтому Е должно быть четной функцией А.
от минимального значения Е, 'до максимального Е"„во второй— от Е; до Е;. Интервал Е от Е, "до Е, 'не реализуется и образует запрещенную зону. Таким образом, спектр состоит из отрезков непрерывного спектра (полос) от Е; до Е,", от Е; до Е," и т. д. Как правило, запрещенные области суживаются по мере увеличения номера зоны, вплоть до слияния в непрерывный спектр в пределе )=со. Общий вид собственных функций может быть также легко получен.
Каждому собственному значению Е =Е/()т) принадлежит определенное решение системы (55.7). Данному значению Е/(/г) принадлежит с, (й) с вполне определенным значением /г, либо отличающимся от йего на целое число 2п/а. Если мы хотим записать с, ((г) в виде одной функции, то мы можем это сделать с помощью 232 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ !ГЛ. Шп б-функций следующим образом: с~» (й') =с, (и') ~ 6 (и+ —" — й').
(55.12) +со +со Х с;(Ф') б(й+ —,— Ф'), -- дй' — со л = — со Производя здесь интегрирование по й', получим + со с («+ — ) к »ру» (х) = ~ с;(й+ — ) л = — со (55.13) Вынося здесь е!»" за знак суммирования, получим «ру» (х) = е'"'и!» (х), (55.14) где и,» (х) есть некоторая периодическая функция х с периодом а: и!» (х+ а) = и,„(х). (55.15) «р,»(х) в уравнении (55.14) есть собственная функция оператора эйергии в «х»-представлении, относящаяся к собственному значению Е,(й), т. е. к )ьй зоне и волновому числу, равному й. Она представляет собой плоскую волну (е""), модулированную в такт периодичности потенциальной энергии. На рис. 42 изображена действительная часть такой функции (пунктирная кривая).
Точками на оси ОХ отмечаны положения ядер атомов (полюсы функции У(х)). Около этих точек функция ф!»(х) близка к тем, которые свойственны изолированным атомам. Из решения (55.13) непосредственно следует, что состояния с определенным значением энергии ((ЬЕ)'=0) суть (как и всегда при наличии поля) состояния с неопределенным значением импульса р.
Именно, в состоянии с энергией Е (й) возможны значения импульса р, равные г( +2лл) П=О, -+ 1, + 2,..., (55.16) с вероятностью Пс (Рл) = — Л ~ С (П+ — ) ~ (55.17) Это и есть решение, принадлежащее собственному значению Е!(Й) и взятое в «р»-представлении (так как Ф'=р'сй). Отсюда получим «р в «х»-представлении: + со ср,»(х) = т с,»(й') ан'= э зи ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 233 для р„=й(й+ — ~. Среднее значение импульса р в состоя2ла 1 а )' нин фаз, вообще говоря, не равно нулю.
Докажем теперь теорему о движении группы волн в периодическом поле, подобную теореме о движении группы волн в отсутствие поля (9 7). Зависимость от времени функций фь(х), как представляющих стационарные состояния, будет гармоническая Е~ (А) с частотой в = —: й Е И)1 фга(х, 1)=фуА(х)е (55.18) Образуем из этих состояний группу, ограничиваясь функциями, принадлежащими одной определенной зоне (1).
Соответственно этому предположению индекс 1 опустим совсем. По определению группы имеем 1Р(х, ()= ~ с(й)е™- п1ие(к)н, (55.19) где Лй — малый интервал. Полагая й=й,+8, (й)= (й,)+( — „",") 8+ и считая с (й) и и„(х) медленно меняющимися функциями й (в области й, + Оа), мы получим вместо (55.19) Ф(х, 1)=с(аа) иь,(х)е"А'" "а' $ е 1 ~'в~ 1 Я.
(55,19') (55.20) Отсюда следует, что средний импульс такой группы равен ="= ~( — ":.). (55.21) Пользуясь выражением для Е (55.11), мы можем написать выражение для среднего импульса в группе состояний в /-й зоне Вынесенные за знак интеграла множители являются быстропеременными функциями х и Г. Интеграл по 6, напротив, медленно меняется, если Ой мало. Поэтому этот интеграл можно рассматривать так же, как мы делали в $ 7, как амплитуду группы ф(х, 1).
Повторяя в точности все рассуждения 2 7, мы найдем, что максимум амплитуды («центр» группы) перемещается с групповой скоростью, равной 234 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [Гл. ЧП! около й,=/г в следующем виде: р = — — ~ Е1 т з [п (тай). [1а 'д (55.22) Отсюда видно, что на границах зоны (й= + — ) средний импульс ла'1 — а) р=О. Легко непосредственно убедиться из вида функций ф?А (х) (55.13), что в этих случаях мы имеем стоячие модули рова нные волны. Для значений йу'= па/а средний импульс вообще не равен нулю. Следовательно, состояния с определенной энергией в периодическом поле суть состояния со средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю. Если ограничиться в ряде (55.11) двумя первыми членами (т=О и т=1), то получим Е (й,) = Е?а+ Е,т сов (ла).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
