Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из (59.12) имеем а~ = Б„'+Бе+э' = 4 — й~~ о 1 ~ = 4 йеб. (59.13) Вводя квантовые числа и, и 1„определяюгцие значение проекции спина на любое направление Ос и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии с формулами (51.9, 10) для орбитального момента '('+ )' е 2' ! Е,=йпе„ 1 (59.15) (59.14) й 60. Спнновые функции Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением ~Б~ (или Бе) и проекцией спина на какое-либо направление Б,. ПерВаЯ ВЕЛИЧИНа (Бе) ПРЕДПОЛаГаЕтСЯ ДЛЯ ВСЕХ ЭЛЕКТРОНОВ ОДИНаКО- т. е. а — (1=и/2.
Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении а. Поэтому без всяких ограничений мы можем взять ее = О, 5 = — ' п)2. Подставляя эти значения в (59.11) и (59.1Г), получаем (59.9'). Согласно (59.2) из (59.9) и (59.9') получаем матрицы опера- ТОРОВ Бе, З„Б, В ПРЕДСтаВЛЕНИИ, В КОТОРОМ Бе ДИаГОНаЛЬНа (Б,-представлееи ие): спиновыа еэнкции Так как спиновая переменная имеет только два значения (-+ й/2), то можно сказать, что аиесто одной функции мы получаем дее: ф,=ф(х, у, г, + —, 1), фз=ф~х, у, г, — —, (). (60.2) (60.2') Этн функции мы будем иногда писать в виде мат р ицы с одним столбцом (60.8) а сопряженную функцию — в виде матрицы с одной строкой (60.3') Такой способ написания позволит воспользоваться правилами ~ 41 (41.2). Ясно, что волновые функции ф, и ф, будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести.
Такая связь существует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров (см. й 58). Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении ч1(х, у, г, г)=ча(х, у, г, ()=ф(х, у, г, 1). (60.4) Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей спином, пишут функцию (60.!) в виде, вой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной з,. Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона (х, у, г или р„, р„, р, и т.
и.), появляется еше одна переменная а„определяющая спий электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы. Соответственно этому волновую функцию ф определяющую состояние электрона, следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая— к спину (з,). Например, в координатном представлении для электрона следует писать 4 =ф(х, у, г, з„(). 2З4 совственный мехАнический и мАГнитный мОменты [Гл.
х +ч' (2) 5чч ( — —,')=0, (60.6) ! й так как по смыслу значка в состоянии ««=+ —, з,=+ —, и 2' й в этом же состоянии не может быть з,= — —, поэтому соответствующая функция равна нулю. Подобным же образом 5-ч.( —,")=0, 5 „,(--,й)=1. (60, б') Запись же в виде (60.1) и, как частный случай, в отсутствие взаимодействия спина и орбитального движения, в виде (60.5) позволяет рассматривать спин е«как динамическую переменную, подобную любой другой механической величине. Введенные <волновые» функции спина 5 (е«) обладают свойством ортогональности и нормировки.
Чтобы в этом убедиться, возьмем произведение 5" (з,) 5в (з,), где 5* означает, как всегда, функцию, сопряженную с 5, а «г, 1 (1 =-1-.2. Просуммируем это произведение по всем возможный значениям спиновой переменной е« (таких значений только два: й» .+- — ), Тогда непосредственно из (60.6) и (60.6') (имея в виду, что 5« =5) следует, что ~~.~ 5««(з«) 5в (е«) — бай. (60.7) соответствующем разделению переменных »Р(х, у, г, Е„Т)=ф(х, у, г, ()5«(е«), (60.5) где через 5 (е«) обозначена спи нова я фун кци я.
По существу это простой значок, указывающий состояние спина частицы. Смысл этого «значка» или, иначе, «спиновой функции» таков: индекс а принимает два значения, которые обычно полагают равными + '/» и — '/«(вместо 1 и 2). Первое значение + '!«(или 1) означает, что проекция спина не некоторое избранное направлей ние 02 равна + —.
Второе значение индекса с«означает состоя- 2' ние спина с другим возможным значением проекции спина на й это же направление, именно — —. «Аргумент» з, «функции» 5 рассматривают как независимую переменную, могущую принимать й два значения: .+- †. Тогда 2' спиновые етнкции Функция 5,(з,) может быть записана и в матричной форме (60.3).
Именно, ~+и*=~о о~ ~ — ч =(~ о! ~+и = 1 о о (' ~- ч* = ~ о о ~ (60.8) (60.8') Вычислим теперь результат действия любого спинового оператора типа (60.9) 1тм Ем на волновую функцию. Значки 1, 2, если оператор Е взят в «з,»- «~ представлении, означают номера собственных значений з,(+ 2 1. Согласно формуле (39.5), определяющей действие оператора, дайного в матричной форме, на волновую функцию, мы будем иметь, что оператор Е образует из функции Ч" (ф„ф,) новую функцию Ф (р„ р,) по правилу р, = Т.„ф, + ~.,~„ (60.10) Чч (-21% + ~гМ2 (60.10') Отличие (60.10) от (39.5) заключается лишь в том, что в '(60.10) мы имеем двухрядные матрицы и соответственно функцию из двух компонент, а в (39.5) мы подразумеваем матрицу с неограниченным числом элементов (.
„и функцию ф с бесконечным числом компонент с„(с„с„...). Представляя Ч' в виде матрицы (столбца) (60.3), мы можем записать два уравнения (60.10) и (60.10') в виде одного матричного: Ф=1Л" (60.11) (см. (40.14)). В самом деле, (60.11) в развернутом виде означает ф — ! Р~ ~=~ и 'х~! ~~ ~=~ п~'+ 1зФ' ~ (60!1') что совпадает с (60.10) и (60.10').
В дальнейшем под символом типа ЛЧ", если взят оператор, зависящий от спина, мы будем понимать именно такого рода произведения, которые в сущности представляют два уравнения (60.10), (60.10') в виде одного матричного. Среднее значение любой спиновой величины Ь в состоянии фм ф„согласно общей формуле (41.2), есть Е(х, у, г, 1) =КЬ,рК+К1.,Д.,+К1,1ф,+ф.",ЦД, (60.12) Так как функции ф, и ф, зависят еще и от координат центра тяжести электрона, то мы написали Х(х, у, г, (), имея в виду, ЯЯ СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ.
Х что получающееся по (60.12) среднее есть среднее от Ь при заданном положении центра тяжести электрона. Среднее в состоянии ~р„ф прн любом положении электрона получится по формуле Х(1) =~7. (х, у, г, 1) с(хйус(г. (60.13) Формулы (60.12) и (60.13) с помощью представления Ч' в виде матрицы с одним столбцом могут быть записаны в виде Е(х, у, г, 1) =Ч"(.Ч~, (60.12') К(() =(Ч ).Ч (х (р,(х. (60.13') В частности 1 о1 ! о оц1 оц о!= ~ = К'ФБ+$ЯА (бс) 14) =! ' ° ' '~= о1 Подобным же образом о„(х, у, г, Т)=Ч'+асЧ"= — йР",(Р,+ЙЯ$ы (60,14') й,(х, у, г, 1)=Чс+О,ЧГ='~фР,— фф,.
(60.14") ф 61. Уравнение Паули Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле, учитывая наличие спина. Согласно основной гипотезе Я 58) электрон обладает магнитным моментом е вйеа = — — з. рс Благодаря наличию этого момента электрон в магнитном поле сэ (Л „сЛ „, ай,) приобретает добавочную потенциальную энергию, равйую энергии магнитного диполя в поле Ю: Л(7 = — (Жась). (61.2) Оператор этой энергии, согласно (61.1), есть Л(7 = — (В~7~) = ~— (о~у~) = з — (оссл: А+ оссл: с+ «с/У с)~ (61.3) где и — вектор-оператор с компонентами о„, о„, о; (59.9) и (59.9').
Поэтому гамильтониан (27.7) для движения заряженной частицы в электромагнитном поле при учете спина должен быть пополнев добавочным членом (61.3), так что он будет равен Й= — (Р+ — 'А) — еУ+(7+ — '(аЖ) 2и~ с 2ис (61.4) (мы полагаем заряд электрона равным — е). УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ х67 (тл 7 = Й тр+ ~ (аМ) т'х', (61.6) где через Й, обозначены члены, не содержащие операторов а. Напишем уравнение для сопряженной функции Ч", которую мы представим в виде строки (60.3') — (й'— „' = ЙЧ" +,— '" ((о~) Ч") .
(61:6') Символ ( )+ означает, что в соответствующей матрице столбцы и строки переставлены и элементы взяты сопряженными. Умножая теперь (61.6) на Ч'" слева, а (61.6') на Ч' справа и вычитая одно уравнение из другого, мы получаем л)( ( ='р (й,т) — (й;р ) т+,— '" ('р'(о~4) 'р — ((о~4) т) Ч). (61,7) Согласно (40.15) имеем ((оЮ) Чл)е Чтл (о "Ю) (61.8) в силу самосопряженности оператора о'= лу. Поэтому член в фигурных скобках равен нулю.
Остальные члены, не содержащие операторов а, после вычислений, совершенно аналогичных приведенным в 9 29 при получении формулы для плотности тока, дают ') лй- (Рлфл+фефх) = — — б (флЧфл — флЧфл+фе17Ч,— фе17фл) — —; с(!у 1А (ф';трл+третрз)1. (61.9) ') Пользуясь матричной записью, мы все время оперируем с четырьмя функциями ф', ф.", фь ф, сразу. рекомендуем читателю, впервые знакомящемуся с л|атрнчнымн методами, написать уравнения (6(.6) и (б!.6') в развернутом виде (четыре уравнения) н путем умножения первых двух на фел и фла„ а двух вторых на ф, и л(ь получить тот же результат.
УРавнение ШРедингеРа длЯ волновой фУнкции Ч' (Члл, тРз) теперь будет иметь вид (й — „= — „(Р+ — А) 'р — е)тЧ" +(тЧт+ е„—, (оЮ) Чт. (61.5) Это уравнение носит название ур а в не ни я Паули. Заметим, что под Ч" мы понимаем столбец (60.3); поэтому в (61.5) записано в сущности два уравнения для двух функций трл и фа в виде одного матричного. Определим теперь плотность тока. Для этого запишем (61.5) в виде 253 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ Х Переписывая это уравнение в форме уравнения непрерывности для плотности вероятности и1 'и плотности потока частиц Л, мы находим (61.
10) н1(х, у, г, !) =ф1ф1+фефе, Ю =-',"- ((ф,Чф,"-ф*Чф.)+(ф,Чф.*-ф,*Чф.Ц2р — — А (ф1$1+ $1фе), (61.1!) [Е1(х, у, г, !)=-ф11ф1, н[1(х, у, г, !)=фефе (61.14) суть плотности вероятности найти электрон в точке х, у, г й й в момент ! с з,=+ — или з,= — — соответственно. Величины и[1= 1$"$1 с[хе[у [(г, ! [е2 = ~ феф, с!х с!у с[г ) (61.15) й суть вероятности найти электрон со спином з, = + — или со й спинам з, = — — соответственно. Средняя плотность электри- 2 ческих зарядов р, и средняя плотность электрического тока 3„ согласно (61.12), будут равны р, = — ЕЧ"'Ч", 3, = — (Ч"'ЧЧ' — Ч"ЧЧ'+~ + — ' А (Ч"'Ч'), ~ йе ее (61 16) е рс р, и 3, не описывают полностью всех источников электромагнитного поля в случае электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
