Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(63.1' Простоты ради, мы будем считать, что частица обладает спином я12. Тогда магнитный момент ЙФ изобразнтся двухрядной матрицей 3)1„= ро, Й)э = )гп„И, = )ит„ (63.2) где а„аг, о,— матрицы Паули (59.9) и (59.9'), а )т есть абсолютное значение проекции магнитного момента на какое-либо направление. Для ядерных частиц, даже для простейших нуклопов — протона и нейтрона, не существует столь же простого соотношения между механическим моментом а и магнитным моментом 6)а, какое известно для электрона (58.3).
Поэтому мы будем считать р некоторой константой, характерной для частицы. Магнитное поле в пространстве В предположим, в соответствии с постановкой опыта Раби, имеющим вида) охг х = Нт Соз юг, ~Ух а =- Нт згп гаг хг х = Но (63. 3) Подставляя (63.2) н (63.3) в уравнение (63.1), пользуясь видом матриц Паули (59.9, 9') и правилом действия этих матриц на спиновые функции, найдем уравнение для компонент спиновой функции Вт н 5, (первая принадлежит У1,=+)г, а вторая — И,= — р): Й вЂ” ' = — РНо5, — рте ™Яг ЛТ (63.4) тй — „* = + РНоЮг — РНтег 'Вт бг (63.4') Мы будем считать, что в момент вступления частицы в перемен ное поле (1=0) ее магнитный момент напРавлен по оси ОЛ, так что прн 1=0 Ят=1, Во=0.
') Зто можно сделать для тяжелых частиц (ядра, атомы), но нельзя сделать для электронов, Бор показал, что методом Штерна — Герлаха вообще невозможно измерить магнитный момент свободного электрона (см., например, М о т т и А1е с с и, Теория атомных столкновений, «Мир», 19б9, гл. 9). г) Зто уравнение не содержит оператора кннетичесной энергии, которая и данном случае должна бы быть кинетической энергией собственного вращения частицы. Однако поскольку зг остается постоявным, постольку и эту энергию следует считать постоянной.
Поэтому ее можно не вводить в уравнение. о) В действительных опытах Раби переменная состапляющая магнитного поля линейно поляризована. Однако для вычислений удобнее взять вращающееся в плоскости (ху) поле. Результаты ничем существенным не различаются. соьстввнпыи мвклннчаскии н млгнитныи моменты 1гл. к Положим нн„н, л ' 2но (63.6) Тогда уравнения (63.4), (63.4') можно переписать в виде -„-' = -2- 5, + !тЛе-™5„ (63.6) л) 2 -;"= = — '-'- 5э+ !эЛе'"'5,. (63.6') Дифференцируя (63.6') по времени, можно, пользуясь (63.6), исключить функцшо 5,. Заодно выпадет и переменный коэффициент е-'"'. После несложной выкладки получим уравнение для 5ес (63.7) Это уравнение решаем подстановкой: 5э ==ае'и'.
Характеристическое уравнение для определения частоты 11 будет ~ 2 (63.8) Если положить 5, (!) = Ае э э1п Й. (63.! Г) Амплитуда А определится нз условия 5, (О) = 1. Подставляя (63.1Г) в (63.6') при !=О, найдем А =!тЛ76. Поэтому 1'О» 5,(!) =--' е- 'э1пЙ. (63.12) Вероятность найти в момент ! магнитный момент 01„равный — р, будет )э (!) = ! 5э (!) ~ = -0 —, 51пе Й =- — э(п' 1'-1(1+ д'+ 20 соэ 0) пэ(1.
(63.13) Ч " 11 !" 72 где ! =-Л!2 есть проекция спина, и ввести 1н0.=-Н,гН„то нетрудно убедиться, что для 11 нз (63.8) получается 0)=+ — -+ — '-(1+0'+20соэ0)'!'=+--+ б. (63.10) Поэтому общее решение для 5, будет 1'М . йМ 5э (!) =- а,е ' + а,е э (63. 11) В соответствии с начальными условиямц нужно взять а, = — аэ = = А!21, так что 267 саойсбза полногО мОУ!ента 44м4пульсл б бн Время 1 в опыте Раби равно времени, в течение которого частица пролетает через пространство В. Бслп скорость частицы есть о, а длина пространства В равна 1, то 1=1)о.
В опыте берут 47=1, а 64'=п)2 (чтобы получить лбаксимуб4 вероятности опрокидывания Р (()). Отсюда легко оценить, что при о=104 слб,'бек, 1=1 см частота переменного поля бб будет равна 104 гн. Чтобы судить о точности этого замечательного метода, укажелб, что спосо5о 4 Раби были измерены магнитные моменты и для протона (р) и нейтрона (л) и получены значения: рр — — 2,7896-4- :+.0,0002, р,=-!,935 з4:0,02 (за един;щу принят ядерный магнетон Бора, равпь4й еГ472Мс, где М вЂ” масса протона. Этот магнетон в 1842 раза меньше магюгпюго момента электрона). ф 64.
Свойства полного момента импульса (64. 1) (64. 1') Уу= Му+а„Уу =МУ+ау, УУ=М.+з,. Покажем, что операторы компонент полного вращательного момента подчиняются тем же правилам коммутации (25.5), что и компоненты орбитального момента Л4,, Мбп М,. Для этого заметны, что Л4 и а коммутируют, так как оператор М действует на координаты, а оператор а на них не действует. Поэтому У„Уу — Ууууу = (Му+а,) (М, +з„) — (4Йу+зу) (Му+э„) = = М„Му — М„М + з,зу — зуз, = 4ИМ, + Из, (64.2) (последнее в силу (25,5) и (59.1)). Таким образом, У.УУ вЂ” У"У("У = ИУ„ l,/4 — У',1, = 4ИУ„ (64.3) (64.3') У,У'У вЂ”,)„.7", = 4ИУУ (64.3") (два последних равенства получаются из первого циклической перестановкой). Мы видели, что и орбитальный момент М, и спиновый з представляют сооой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения.
Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся суммой орбитального и спинового моментов. Оператор полного момента определим в виде суммы операторов орбитального момента 1Г41 п а: /=7г(+з, 2ВЯ согствгииы«! лизали«писюи! и млг«и«п«ьи! момгигы Ил, х (64.6) (б 1. б') Найдем теперь оператор квадрата полного враьцательиого мо- мента )л. Имеем д'= (М+в)л = М'+в« + 2ЛХз.= =- М«+ аз+ 2(Ч,в .
+М„зв+ М«з ). (64.4) Оператор Хе коммутирует с л«обой проекцией Г. Например, рассмотрим проекцию иа ОЯ,У =-М.+з,. Так «лак М, коллмути- рует с М'-, в' и з, с М', в-, то получим .И вЂ” У«,) =2(М, „+Мвзв+М ..)(М,+')— — 2 (М,+з,) (М,з,+ЛХ„в««+М«в«). Раскрывая здесь скобки, иаи,лс л ,)Ч.— Ые-:2',(М,М.— Л«ХЛХ«) „.+(Мвм — ММ,) „+ +М; (дв,— з,д) +М,, (в«я« — 3 3,)) и, подстазляя сюда выражение в кругльг< ско ках из (25,5) и (59.1), получас.,! окоичательио ,И вЂ” у«.)л =- = 2( — !««М, в,. -!- Х««Л Х,. в„+ АХ «( — «Л«з„) + М„(+ «««з,.) ) — — О.
Подобным же образом доказывается утверждсиие для осталы«ых двух коллпоиеит. Таким образом, ,АУ вЂ” У„.Р = О, (64 5) онУ,, —,«'„,гл = О, (64.5') .«',«', — 1,зй = О; (64. 5") эти равенства — такого ж вида, как и (25.6]. От«пода следует, что оператор Хл и опера«ор любой проекции (;ю одной), напри- мер «'„., одновременно могут быть приведеиы к диагональному виду, и, стало быть, вели игиы Ул и У, принадлежат к числу одновременно измерил!«ь«х. Легко видеть также, что оператор )л коммутирует с опера- торами М' и а'.
Действителы«о, о5рюцаясь к а"орл«уле (64.4), мы иепосредствеиио видим это свойство о««ср!«тора зе, так как М- коммутирует с М', М, ЛХ«„М, и в«, вв, в«и а'. Равпым з образом аь, являясь едииичиой матрпцей (умиожеииой иа -4-й', см. (59.13)), коммутирует с в,, вв и в,. Позтому .)лМ' — М',Р = О «лд2 вл) 2 О оп 266 с>ь>,и.тпт полного момгита импмл! съ Так как (Мз) образуется из величин одновременно измери>льгп то скалярное произведение (Мз) одновременно измеримо с lе, Ма и ь2". Зав!ечая, что (Мз) + 62 = ()з), (64.8) мы получаем из (61.7) еще скалярное произведение (З): (З) =- ! ()2 — Ма+32). (64.9) Ниже мы покзжем, что квадрат полного момента Р и его проекция lв иа люоое направление кваптуются аналопьчио орбитальному моменту, ио полуцелыдш числами.
Именно, 1,3 6 2' 2' 2' )2 = )22! (!'+1) (64.10) ! >и/ = -1- — 3 2 ' а'2 —.— Йт>, (64. 11) причем квинтовое число ), определяющее собствеш>ые значения полного момента, может быть вь>ражено через орбитальиос число ! и сш!новое (, (59.14) по формуле !'=!+!2 или )=! ! — 1,!. (64.12) Из формул для собственных значений Р (64.10), М' (25.21) и 3' (59.14) получаем ва>киые в спектроскопии выражения для собственных значений (Мз) и (Й): (МБ) =- - (!' (! + 1) — ! (!+ 1) — !, (1, + 1)), (64.13) (76)= ' (!'(!+1) — !(!+1)+(,((,+1)). (64.14) Эти формулы мы применим позднее к теории сложного эффекта Зееыана. Обратимся теперь н доказательству формул (64,!О) и (64.1!). Уравнение для собственных фу>индиа Уа имеет вид удач> уа>р (64.!6) где под Ч' следует понимать столбец (64.
! Г>) Следователю!о,,!2, Ма и .",'- предгтавля>от собой также одиосрал>сино иза>гр>>.по>с вглпчаиы. Из (64.4) имеем (>4!3) (72 М2 32) (64.7) 270 сОйствппЗып мйхлпп!ЧГскпп и лллГ!плтпып л!ОмГпты 1ГЛ х Пользуясь (64.4), (59.!3] и (59.12), находим уравнение (64,15) в раскрытой форл!с +М, 2 ~0 1~(~ф,!=, ~; ~. (,4.„) Производя здесь уллножеппе и сложение матриц, получаем 4 р'+ гр! ( " ' а)фз Мэфэ + 4 Ь фэ — ОМлфе+ Г! (Мх+ (М э) ль! 0 l"ф, 0 (64.13) и, наконец, сравнивая элементы, получасы два уравнения Млф+ — Мф,+ДМ,ф,+Ь(̄— 1Мэ) фа=узфй (64.19) Мэблл +,~" Глефэ ОМгл! э+ Г! (Мх+ лМэ) ф! ~ фэ' (64.19') Эти уравнения легко решаются, если положить (64.20) фл=ауг~(О, гр), т)э=Ь)'т,ты(О, лр), и, далее, (д(» (Ма) ) гм= — ГлУ(1+т)(1 — т+1) )'г,~ л, (64.22) (Мх+™э) 1 те= Г) (1 — т) (1+т+ !) 1'! т+!.
(6422') Эти последние два равенства получаются из свойств сферических функций !). Подставляя ф! и 4; нз (64.20) в уравнения (64.19) и пользуясь (64.2!) п (64.22), после сокращения первого уравнения па ИУгт, а второго на Ф)'г, т+, получим ,!!.>><.— л ~ ! ГЧ ттДТ:!~Ь ь. щбГЬП 3 !(1-)-!)-1- — — т-1~Ь вЂ” )''(1+и!-).!)(1 — т)а=лЬ.
(6423) 3 4 где (64.24) Чтобы эти уравнения имели отличные от нуля решения, необходимо, что- ') См. дополнение У, формулы (33), (34). где Ут (О, сР) сфеРическаЯ фУнкцпн, а а и Ь вЂ” неопРеделенные коэффициенты. Тогда имеем Мефл="л!(1+1)фь М фл=йтф! (64.21) Мэфл = О~1 (!+ !) лрх Мгфз = й (т+ 1) фз (64,21') 4 с>! сВОГ!ствл пОлнОГО моь>ентл иыпульсл 2?1 бы их определитель равнялся нулю. Это даст нан уравнение для опредслс. и»я )л> 1(1+ !)+ — — + >и — ), — )> (1+ т+ !) (1 — ш) 3 4 — Ф'(1+ш+ !) (1 — ш) 1(1+!) + -4 — ш — ! — й = — О. (64.25) Отсюда находим два корня (64.26) Сравнивая это с (64.24), получасы искомые собственные значенвя з'з> ( 2) ( '>)' ( о)( +2)' (64.27) (64.27') -э /1+ и+ ! (64 "8) ч/1 — ш 'г' 21+ 1 и для собственного значения (64.27') . ° /1 — т ф>.= 17> 21 ! У> (64.28') -а/ 1+>ч+ ! "Р> Р> 21 ! ! >,ч>е> Решения, как мы видим, выро>кдсны.
В самом деле, при заданном 1 можно брать разные числа >и=О, >8 1, + 2, ..., >-1, а собственное значение,/- от и не зависит. Причина этого вырождения заключается в >ом, что при заданной абсолютной величине вращательного момента 7> возможны его различные ориентации в пространстве. ь!тобы и этом убедиться, покажем, что решения (64.28) н (64.28') являются также собствеинычи функциями оператора У,— проекции полного момента 7 па 02. Действительно, уравнение для собственных функций оператора з'х есть учф=уаф, (64.29) или, в раскрытом виде Первое значение отвечает сложению орбитального и спинового ь>ох>сигов, а второе — вычитанию их. Подставляя зна >синс 8 в уравнения (64.23) и решая их, находим а и Ь, а вместе с тем и собствениыс функции >64.20).
При этом мы сше нормнруем их так, что аэ+8>= 1, Несло>киь>е вьисчадки приводят к следующим функциям: для собственного значения (64.27) л1, лици!' !им! ! !Гл! !'Рх ! и!л !Рои стЗ )злп ка>кдого лерг!а Ел, мы имеем 2(зь! состояиий, отли !ающпхсп ориентацией орб! тальиого г!омеята; каждое из которых в свою очередь распадается иа два сосгояи!,я, отли!ающихсч сп!шом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
