Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 54
Текст из файла (страница 54)
2 При всяком значении Е для больших отрицательных л, (/(х)(Е, т. е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным. Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции !р„(х) и уровни Е„, которые мы можем вычислить нз !(„" и Е„" методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра ) 7 Оказывается, что прн малых ), найденные методом При малых н эта величина может быть гораздо боль!ие )(т, „,, Для больших же и она стремится к нулю, как 1/!г!!, и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней н непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней.
Это обстоятельство нельзя не иметь в виду нри приложении теории возмущений к конкретным проблемам. Рторое, что следует отметить,— это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено рис. ЕО, Кривая пвтенциаль од и тем не менее квантовые состоя- я . Тем И О' рад, ьно В'Р"В" (') =' 2'+"'. отличаются. Дело в том, что энергия возмущения ТР' может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энерпш (7(х). Допустим, !то к гармоническому осциллятору приложено возмущение Ту' = ).х'. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид )гл, хт ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕЦИИ а34 теории возмущения функции т()„(х) отлича)отея тем, что они велики вблизи потенциальной ямы (У(х) и малы вне ее.
На рис. 51 повторена кривая потенциальной зпергии ()'(х) (см. рпс. 50) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции ~тр(х) ,,''. Рнс. 51, и соответствует случаю, когда энергия Е =Е„= Е„''. Если >ке энергия Е не равна Е„, то волновая функция фа(х) нарастает вдали от потенциальной ямы У(х) (см. рис. 51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения рагповеспя х=-1), так сказать, «в атоме», а во втором случае опп находятся преимущественно впе его, бесконечно далеко.
Стационарность состояп)ш может получиться лпшь в том случае, если а) ау иы( Рис. о!. Потепаилльпля энергия 1)(т]= ' ха+)хл и. плотность псропт)ист) ' трп '-'. а)ллль=-ла.п)лллт, Е„. существуют волны, как ухо )ящпе и бесконечность, так и приходящие из пес, так что ))оток юст)щ через поверхпосттч окружающу)о атом, равен пу,по. Такой случай представляется малоинтересным. с!Еще приходится иметь дело со случаем, когда пме)отса лишь уходя,цпе волны (см. й 99).
Тогда стационарных состояний пе сущ"ствует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь уходящие вол )ы, то находимые методом теории возмущения функции тра(х) оппсывщот поведение частиц лишь в течение пе очень большого времени Е Одна)го па самом деле это время может бы)ь очень пслпко, и опо тем больше, чем меньше значение параметра ).. Такого )тода сосгоянпя )Р„(х) и соответствующие пм уровш) Еа мы будем называть к в а з п с т а ц п о п а р и ы м п.
9 68. Возлтущение прн наличии вь)рождения В бо.п,шппсгве важных в приложениях задач приходится встреча)ься со слу)аем вырож )епип, когда в невозмущеппой спс)смс 11)о) собс)псиному зпаченпк) Е =- Е) принадлежит ис олоо состою)пс )1)'„а несколько ф,"„, ф,",е,..., т1)~'„„..., тр~).
Если теперь ВОЗМУШПИ1Е ПРП НЗЛИЧПН ВЫРОЖДЕНПЯ 285 $68! действует некоторое возмущение 1Г, то без специальпого исследоваш!я нельзя сказать, какая пз функций !),")и будет являться пулевым приближением к собствепвым фупкцияп! оператора Н = =. Йп+ )йп. В самом деле, Вместо Ряда 1)9 як!пи! фп1 ° ° ° и п(ппа ..., и):,",г, принадлежащих собствеппому значению Е„могут быть взвты новые фУпкции !г,",1, !(,"1„..., !!!па, ..., !(,'г, полУча1ощпесЯ из первых лпцейпым ортогональным прпеобразоваш!е1и !Рпи = 1!аап)1115 Ъп !1=.1 / ,й! Паяпит, = баи'.  — 1 (68.!) (68.2) ФУпкцпи !Рпа, бУдУчп линейными комбппациами фУпкцпй и(,",„!ь будут также решеппсм уравпепш! Шредингера Й!рп = Еп!Рп, (68.3) где 16 пг, ~а = ~ Ф'ля(1~1)!'пи (68.6) есть матричный элемент э!пер!пи возл1ущеш1я и получается пз (66.7) увеличением числа ква1повых чисел, нумер)1огцпх состо шия.
Е,;, есть энергия и1-го кап!мови!о уровня для певозмущеппо!1 зада ш. Эга зверю!я от квпи гово! о числа сс пе зависит (Вырождепие). ДОПУСтик1. ЧГО МЫ '!ЕПЕР1п 1КС.1ПЕМ ПВЙГП КВЗП Гоп~!и УРОВЕНЬ возмущеппой системы Е!и близкий к Е1,', и соответствующие принадлежащим собственному зпачепп1о Е,"„и при добавочном условии (68.2) будут ортогопальиыми, если функции ф)и ортогональны. Функции !р„"„суть поэтому также возможные функции нулевого приближсппя, по неизвестно, какие коэффицпспты с1„8 следует взять, чтобы получить правильное пулевое прпблпжспие, Вля решения это!о вопроса обратимся к уравпепшо (66,9). Нах1, однако, следует теперь его Несколько модпфпппровать, уточнив обозпачепия. Прп пали'шп вь!рождевия собствсппые фупкшш оператора имеют по кр швей мере два иидекса (и, я). Поэгому в этом случае (66.'!) следует написать подробнее, заменяя ипдскс и па два: и, а. 'Тогда мы получим 'ф (Х) ==.
~ СпиПр,";и (Х). (68Л) п,а Соответственно этому уравнение (66.9) получится (замепяя и на и, а;твап1,Яввиде (Е1п+ 11 пии пф Е) си!!+ и ппп,ГВ паспи = — 9, (68.6) и, и; па !! теогия ВОзмущении 1гл. хь абб (Е1, — Е) сьа= О; это дает сааб= 0 для Е=. Еь', но при этом пе одно сьг, а все принадлежащие собственному значению Е11, именно, сьб для () ==-1, 2, ..., (ь. Таким образом, в нулевом приближении не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым приближением для функций Й-го уровня будет сьа=-с1,'а(ФО), 1х=1, 2, ..., )ь с'„'„" = 0 (и ~ й). (68.7) В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, кото- рые содержат ие равные нул1о сь,.
Это будут уравнения (Е1)+ В'ьб ьа — Е)сй1+ ~, %/ьб, ьас1а=О. (68.8) а~а Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к ьг-ыу уровню, мы можем опустить индекс й (держа его просто в уме), положив при этом )рва = )рьа,ьа = ~ Фьа)У тьа ь(х саа'=суа', Я=-!, 2, „,, Гь, Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде ~а (Е3+Юаа — Е)с~'+ Ь' )Угваса'=О, ()=1, 2, ..., (ь. (68.10) а,.— а У Е," мы сохранили индекс lг, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о ~рупие из (ь состояний, принадлежащих уровню Е1,'. Для того чтобы уравнеш1я (68.!0) имели отличные от нуля рсшения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обра- щался в нуль, т. е. ) Еь'+!Ги — Е 1Г,„.
1П, 1ГЗ Е!'+1Уьь — Е ". 1Гць ьь (Е) = — 1......,......,... 1 —. О, (68 11) 1П11,ь ° ° ° ° Еь'+ 1Р'Гььь — Е /~ (68.9) (68.9') собственные функции фьа(х). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций. В отсутствие вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущениыми. Соответственно этому в нулевом приближенин с11„=-1, а остальные равны О. Этого нельзя сделать прн наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближении возмущение )Р', мы получим из (68.5) Бозмтшспнв Г!Рп нхл!!чип вь!Ро)кдгппя 287 Это — алгебраическое уравнение степени (а для определения Е.
Часто оно называется в е к о в ы м ') уравнением. Из него мы получим )з, корней: Е =. Еа! Еа! ° ° ° Е!~а ° ° ° Еь! (68. 12) Так как матричные элементы )Р'а„предполагаются малымп, то этп корни будут близки между собой. Следовательно, мы получаем важный результат: при наложении позл!ущснпя вырожденныйурпвень !Ер,) рпслпдтзется нп ряд близких уровней (68.12). Вырождение сник!ается.
Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью. Для каждого из корней Е„„(68.12) мы получим свое решение для амплитуд са' из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение с',"', с',,"', ..., с!", ..., с)'," принадлежит уровню Е„, мы введем в сам еще один индекс а так, что решение уравнений (68.10) для Е„запишется в виде Е=Е„„с=-с,',"„с„'".1, ..., со«г„..., со«г, с«=-1, 2, ..., 7«. (68.13) Если бы мы еще удержали индекс я, то полная нумерация для спп была бы сап„.
Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Й в «Е'з-представлении. В «хз-представлении решение (68.13) запишется в виде га !р„„= ~ с,'$ф!,в (х). (68.13') в=! Таким образом, каждому уровню Е=-Е„принадлежит теперь своя функция ер„„которая и является функцией пулевого приближения для возмуще!пюй системы (Й). Отличие функций (68.!3') от функций (68.!) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты п,а произвольны (вплоть до условия ортогональностп (68.2)), а коэффициенты с„"!! в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения Ч!ав представляют собой частный случай функций невозмущенпой задачи Ч!а„, Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.!3), которое теперь для вырожденного случая будет иметь внд (68.14) В й 41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора 1., заданного в матричной форме, сводится к решению уравнений (41.4) и !) Название «вековое уравнение« заимствовано из астрономии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
