Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(66.3) Уравнение (66.3) отличается ат уравнения (66.2) одним членом Ж'»(1, который мы считаем малым. Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнение (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е,", оператора Й„т.
е. уравнение (66.2) берут в «Е»»-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, то нужно от этого представления перейти к «Е"»-представлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком л у волновой функции ф„можно разуметь ряд квантовых чисел), Пусть в координатном представлении («х»-представление) собственные функции опсратора Н' будут ф,',(х). Разложим искомую функцию «р(х) по функциям ф,',(х): ф (х) = ~х~ с„»)1," (х).
(66.4) « Тогда совокупность всех с„есть не что иное, как функция ф в «Е"»-представлении. Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на»р,"„«(х) и интегрируя по х, получим ~", Н „Е„=Ес, (66.5) л где Н . есть матричный элемент оператора Н в «Е'»-представлении: 5 «б! постмювкх вопгосл 279 Матрица, образованная из элементов Н „, есть оператор Й в «Е«в-представлении. Имея в виду (66.1) и (66.2), получаем Н.„= 1Ф,"„'(Й«+Ф) Р".
(х = =Я Й««р"„дх+ ~ф"„';Уф„"«(х=Е„"Ь„,„+)(« „, (66.6) где )««„,„есть матричный элемент энергии возмущения в «Е«а-представлении: )р'.,„= 1 ф,";; Фф." г(х. (66.7) Матрица, образованная из элементов Ю' „, есть оператор Ю' в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.6), получим 'У', (Е«6«ш+ ~'.«) с« = Ес«, « (66.8) Перенося все члены налево, находим (Е,"„+ ЬГ„«„— Е) с„,+ 5, '!Г „с„=О, (66.9) « -т где и и «и пробегают все значения, которыми нумеруются функцпп невозмущенпой системы К. Пока мы никак не использовали предположение о малости 1Р', н уравнение (66.9) справедливо точно.
Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин В' „. Чтобы явно выразить степень малости У, положим Ф=лй, (бб. 10) где Л вЂ” малый параметр. При Л=О оператор Й переходит в Н'. Тогда уравнение (66.9) запишется в виде (Е,"«+Лв,„« — Е)с +Л ~ «а „с„=О.
(66,11) ит 1« (Е"„, — Е) с„= О, (66.12) имеющее решения (66.13) При малых значениях Л естественно ок«ндать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т. е, к (66.13). Это предположение мы можем выразить явно, если представим собственные функции с,„уравнения (66.11) и его Это уравнение мы будем решать по степеням Л, считая Л малой величиной. При Л=-0 из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в «Е«х-представлении: т! Од!и ьозмуни !ии! !г.!.
х! "ао !гсоствеииыс значения Е в виде рядов по степея>зм малого параметра )и (66. 14) и Е Е!д! 1 )Е!г! ! ЛдЕ!д! 1 (66.15) Прг ). — О (66.14) и (66.1;) переходят в (66.13), причем Еип должно распяться Е;,'... Оказ лваегся, что решеш!е уравнений (66.11) сущестг:"иио за!'исит от того, вырождеиы ли состояния системы Йд или «ет. Если о:!и гыродкдены, то каждому собственному значению Е;,' принадлежит несколько собственных функций фдп если не вырождены, — то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим порознь. ф 67.
Возмущение в отсутствие вырождения Пусть каждому собсзвсииому зиачсшио Е,', иево муще шого ) !шшп!иия (66.2) пр!и!заложит ли!иь одна сосствепиая функ!!ия ф„", соо!встствшшо — одиз амплитуда с,;, Подставим в ураш!е!и!е (66.11) ряды (66.14) и (66.!5) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра Л (Е,'д — Е д') с,д + Л [(щдд — Е ') с~д' +(Е,"д — Е" ) сдд+ к~ щ,ддсд" 1+ д„т + (Е;д — Е ") с„,', + ч' ,к!дд,с„' 1+ ... = О. (67.1) д ,.
п~ Это представлен!ю ураш!сипя (66.11) позволяет лещ!о решить его д!иго !оз! !ис.!слова!саши!х приближений. Мы получим пулевое приближение, сели положим Л=-О; тогда получаем (Е,,", — Е ') с„", == О, и! = 1, 2, 3, ..., )г, Это- ураш!ение для иевозмущеииой системы Нд. Пусть иас интересует, как меняется уровень Е!,' и собственная функция ф', под действием возмущения я7. Тогда из решений (67.2) мы оерсм lг-е! Е ' == Е!,", с„Т = 6 ы (67.
3) т. г. все с„", =О, кроме с'.' =-1. Реп!ение (67.3) мы будем назь вать рипснием в нуяееаи ппиблпэкеппи. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает Л1(ю,„д, — Е"') Ьд,д+ (Е;Л вЂ” ЕЯ) с,',~'+ ) и!„,дбдь ~+ 0 (Лд) = О, (67.4) где через 0(),д) обозначены члены порядка Л' и выше. Ограничиваясь первыл! приближе!!нем, мы должны считать эти члены малыми воз»ожгли!с и отсттствис выгождсиия »!и п отбросить их. Тогда получаем (ш,»„, — Е'и) 6»„, + (Е'„, — Е1) с'„",+ У ш„„б„!! = О.
(67.4') ь»!» Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера т =л, то получим ге»» — Еьи =О (6?.4") Отсюда находим поправку к Е» первого приближения: Е'и = и!»». (67. 5) Из уравнений ст -': и находим поправки к амплитудам с'„",, именно, если т й, то (67.4') дает (67 4'") (Е" — Е») с" +»а,„» = О. Отсюда "'!!»» сп'= Е» — Е !! (67.61 Найдсм теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с ).». Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (6?.1), тогда )»1(н1,» — гс „) „'""„— Е" 'б»,„+(Е,'» — Е») с„"'?+ ЕА — Е д + ~~' "' ) -О().»)=О (677) »-„» где через О()») обозначены члены порядка»» и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнение для определения Е'-" н с,'-,' (второе приближение).
При этом уравнение номера п~==-/г получается в виде ~»»~»» О ! »» (67. 7') Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении: Ено э' м/11м!» Е» — Ей л»с» (67.8) Из уравнений с т »Е и найдем с',„-": Эту процедуру можно продолжать и дальше, персходя ко все более и более высоким приблшксииям. Мы ограничимся вторым с'» = — "' "" + Ъ "'" "» т ~ й и А. (67.9) (Е»! — Е/!) Х ! (Е!! — Е») (Е)! — Е!!!) Л тсоеня возмущ! нпн 282 1Гл. х! приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (6?.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем Е„==Е!,+Лш»»+Л« ~,~" "';;+О(Л'), (67.10) Е» — Ей »'» с» = 1, Е» — Е~~ 1+ О (Лз) (67 11) (Е,'„— Е») ! Л« ! з' !У~«л!в«» ~-' (Е» — Ей) (Е»1 — Е)») ((1, и« вЂ” и«, (67.
13) где (р'„„суть матричные элементы оператора возмущения. Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в «х»-представлении: ф» (х) =ф1', (х) + ~ „"„«)!,"„(х)+ ..., (67.И) ~п а» Е» — Е»+!у»»+ Ц'»! =-)Ф !уф»»(х. (67.1!) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в нервом приближении равна среднему значени!о энерг!и воз.иуи!ения в невозжуи(енно.и сосо!оянпи («Р1). Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем.
Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой „/! 1 1 т2и — 1 Е,", — Е«х ! = — Е," 1-« — ) = ., Е",. — 1!Л«(и -~ 1)'? п«(л а 1)« Из этих формул видно, что предположение о малости оператора (у' в сравнении с Й, означает малость отношения ( (( 1, и ~- о1; (67.12) Ей — Ет при выполнении этого условия поправочные члены в (67.!О) и (67.1!) малы, и собственные значения Е» оператора Й и его собственные функции с ()г) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Й'.
Условие (67.12) — это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде Возмущение В Отсутсч Вне ВыРождгння $ ег! 283 2 !'+ 2 ф+ Ве Д!!)! )!Вб (67.16) При ) =0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, име!ощего дискретный спектр энергии Е„' = Ьо, и + — ). 2 Матричные элементы возмущения )Р~ил )' (х )пт при малом ). могут быть как угодно малы в сравнении с Е,"„— — Е,"1 =-лы,(т — и). Тем не менее при всяком Х уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при ) = 0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная Исэ Х! энергия (l(х) =- — — !+)л' имеет вид, понведенпь!й на рис. 50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
