Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Нужно учесть еще магнитный момент электрона (61.1), создающий магнитное поле. Из (61.1) и общей формулы (60.12') получаем выражение для средней плотности магнитного момента (намагничения 1): 1(х, у, г, !) = — — (Ч'е[тЧ"). (61.17) или н[(х, у, г, !)=Ч'+Ч", 3= — (Ч'ЧЧ'е — Ч"+ЧЧ") — — АЧ'+Ч'. (61.12) 2р рс Эти формулы показывают, что вероятность местонахождения электрона и плотность токов аддитивно слагаются из двух частей, каждая из которых относится к элеитронам с одной определенной ориентацией спина.
Формула для нормировки вероятности имеет вид ~ (фЯ,+фЯ1) с[хе(у с[г =! или ) Ч"Ч" с[хе[ус!г= 1. (61.13) Величины % бв РАСШЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 259 Из этих уравнений и определится магнитное поле, создаваемое электроном, находящимся в состоянии Ч', если под 3, и ! подразумевать (61.16) и (61.17). Вводя в первое уравнение (61.18) вместо дй индукцию В, получим го1 В = —, [3,+ с го1 !). Таким образом, вместо намагничения 1 можно рассматривать ток, эквивалентный этому намагничению, именно, ,! =сго11= — — го1 (Ч'+ОЧ'), т(1ч 1, =О.
(61.19) еа 2Р Полный электрический ток, соответствующий и орбитальному, и спиновому движению, есть 3; = — [Ч'+ЧЧ" — Ч'7Ч"~]+ — А (Ч'~Ч") — — го1 (Ч"~ИЧ'). (61.20) ИГ 2и Для вычисления компонент спинового тока ), следует воспользоваться формулами (60,!4), (60.14') и (60.14"). й 62.
Расщепление спектральных линий в магнитном поле Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле. Электрон атома будет подвергаться одновременно действию магнитного поля и электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое поле будем считать центральным и потенциальную энергию электрона в нем обозначим через У (Г). Внешнее магнитное поле направим по оси ОЛ и возьмем векторный потенциал А в виде А = — — у, л" 2 (62.
1) Магнитное поле по формуле Ж=ГО1А получается правильное: М"„= М"„= О, Ю; = Л". (62.2) Подставляя это значение А в гамильтониан (61.4), получаем уравнение Паули д'У а2 Гае / дч' дч" ~ (й — = — — т'ЧГ+!7 (г) Ч' — — Л" ~х- — — у — ) + ду 2и 2ис ( ду дх ) +'— ', Ж'(х'+у') Ч'+-' — (о, Й) Ч". (62.3) Согласно уравнению )$аксвелла для магнитного поля имеем уравнения го1 УУ = — 3, Г((ч В = О, В = Ю+ 4п!. (61.18) 2бб СОЕСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫИ МОМЕНТЫ [ГЛ.
Х Членом, содержащим оуг и при малых полях, мы можем пренебречь '). Далее, оператор д дт . д г'тт (у — — х — ! = — (й — = М, дх ду) д!р (62.4) есть оператор компоненты орбитального момента. Обозначая еще через й = — — 2"Ч+и(г) 29 (62.51 гамильтониан электрона в отсутствие магнитного поля, мы получаем гй'-ду = й'1+'~~ (и,+ьо,) Ч. (62.6) Из этого уравнения следует, что, поскольку мы пренебрегаем Я ', постольку член, выражающий действие магнитного поля, может рассматриваться как потенциальная энергия ЛУ магнитного диполя е с моментом Щ= — — (М+йо) в магнитном поле Ю: 2рс ли= — (юФ) =';~ (м,+й,).
(62.7) 2рс Мы будем искать стационарные состояния. Для этого представим волновую функцию в виде ,Ег Ч"(х, у, г, () = Ч'(х, у, г) е (62.8) где Š— энергия стационарного состояния. Подставляя ее в (62.6), найдем йоЧг 1 и (М +фо ) т)т ЕЧт (62.6') Возьмем представлеяие, в котором матрица о, диагональна («з,з- представление); тогда Чг тьт +т)1т (62.9) и, стало быть, уравнение (62.6') распадается на дра уравнения для трт и зра порознь: йотР 1 еЯ" (Л4 1 и) тР Е«Р 2рс Й~~з+' —,„(М, — й) рз — Ераг (62.10') т) Как будет показано в ф!29, пренебрегаеиый плен определяет слабые диаыагнитные явления. е аи илсщнплвнив спнхтнлльных линии в млгнитном полк 261 Решение этих уравнений получается тотчас же, если заметить, что в отсутствие магнитного поля мы имеем два решения Чгаьа=( "„' ), Е=Е"„г для спина з,=+ —, (62.11) Чг„"г =(, ), Е=Е'„г для спина з,= — —, (62.11') о ~ а чгтм причем $т =)чт(г) у'~ (8 чр) (62.12) Так как М,чрт„=йилрт, то эти же решения суть решения уравнений (62.10) и (62.10'), но только принадлежат другим т-1 т 0 т -1 ---.т= 1 т=Р т -1 т=б .-Фг з ейф Йэ лэлл 1,Ж-~5 В ламе /МЮ Рнс.
46. Расщепление а- и р-термов в сильном магнитном поле (с учетом спина). собственным значениям. Подставляя (62.11) и (62.11') в (62.!О) и (62.10'), получаем два решения Чглрм, Е=Е~г~=Е11+ 2„~ (Ш+1), 3,=+ 2, (62.13) Ч""г, Е=Е"г =Е„'г+ — (и — 1), з,= — —, (62.13) еао21" я 2нс т. е. волновые функции (поскольку пренебрегли членом с М'а) не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Энер- ~ ия же начинает зависеть от ориентации момента относительно поля, т. е. от магнитного числа лм совпадавшие в отсутствие магнитного поля уровни теперь расщепляются (снимается «т»- вырождение). На рис.
46 дано расщепление з- и р-термов. Расщепление р-герма получается из (62.13) и (62.13'), если перебрать возможные значения гп при 1=1 (т. е. и=.+. 1, О). Расщепление з-терма (1=-0, и =О) получается лишь благодаря спину электрона. Это— 2а2 совстввннып механический и млгннтныи моменты !гл. х ~л'Рлс ~ля"т" Ыл'Ртз л''Г'т" + р~с (пг лг). (62.14) Обозначая частоты в отсутствие поля через гас, а при наличии поля через гс, мы получаем „, „,о ) ~-~ (,п~ пл) 2рс (62.15) Так как т' — ил=-+ 1, О, то имеем три частоты: одну неизмененную и две смещенные на еЯ 2нс ' Это расщепление на три линии (нормальный триплет Зеемана) как раз таково, как оно получается пз классической теории эффекта Зеемана.
В классической теории, как известно, явление Зеемана объясняется прецессией орбиты в магнитном поле с частотой, равной частоте Лармора Ос= —. Квантовая фор- еЯ" 2нс ' мула (62,15) не содержит постоянной Планка й, и поэтому результат должен совпадать с классическим (он не может измениться, если положить й=О). Это совпадение имеет место. Покажем, что и в квантовой механике явление Зеемана обусловлено прецессионным движением момента импульса вокруг направления мапщтного поля.
Вычислим для этого производные по времени от орбитального и спинового моментов. По общей формуле (31.10) имеем — „"=~й, м.1, — „,"=~й, лЦ, 1 м. 1й и 1 --'-=)Й, з 1, -4=)Й, зс1, — „=~Й, з,1. (62. 16) (62. 17) важный результат теории спина: как раз это расщепление наблюдали Штерн и Герлах в своих опытах, Благодаря расщеплению уровней увеличивается число возможных переходов, а вместе с тем н число наблюдаемых спектральных линий. Это явление носит название простого эффекта 3 е е м а и а (в отличие от сложного, см.
5 74). Как будет показано в й 90, Б, при оптических переходах число и может изменяться только на й.1 или О. Кроме того, спиновый магнитный момент очень слабо взаимодействует с полем световой волны. Поэтому идут в расчет лишь те переходы, при которых спин не меняется. Эти переходы изображены на рпс. 46 линиями (а, б, с) и (а', Ь', с'). Частоты этих переходов вычисляются по формуле 2 ба Расщепление спектРАльных линий В мбгнитном поле 263 Подставляя сюда гамильтониан из (62.6) Н=йб+'~(Л1,+йо,)=Йб+02М,-(-20ез, (62.18) и замечая, что Нб коммутирует с М и а, а М и а коммутируют между собою (так как М действует на функции от у, »р, а а— на функции от зх, зу, з»), мы находим лб, 202 ( зхз» з»зх) ! убу 20! У- = —. (Буэ» — Б»зу)! ж !'а Пользуясь (25.5) и (59.1), получаем »'Мх у'Му !2М» — = — ОЕМР, —," =+ ОЕМ, — „— = О, (62.19) (Ьу »й — „'У =+ 20!ах, — „= О.
(62.20) — „- = — 20ез„ Переходя от этих операторных формул к средним значениям и имея в виду, что 02 есть просто число, мы находим ЕМ» ЛМу дМ д = — О!Му, — „= 02Л», —, = О, (62.21) !'2» лзу ~Б» — - = — 2022, — = 2022, — = О. ! — у х! х (62.22) ! »!М М' = 0 ' (6223) ОЕ б!! ' Отсюда Лх = А яп (021+а), Лу = — А соз (021+ а), Л, = сопз1. (62.23') Подобным же образом из (62.22) получаем Е,=ВМп(202!+ р), ау= — Всоз(2021+6), л,=сопз1. (62.24) Из этих уравнений следует, что проекции орбитального и спинового моментов на направление магнитного поля являются, каждая порознь, интегралом движения.
Компонента же орбитального момента, перпендикулярная к магнитному полю, вращается с частотой Лармора 00 Такая же компонента спинового момента вращается с удвоенной частотой 20! (в силу аномального отнощения магнитного момента к механическому, см. (61.1)). Действительно, из (62.2!) имеем ~~ Мх б!Му — = — Π— "= — О'Л !!!2 ! х~ л64 сОБстВенный мехАнический и мАгнитный мОменты ~гл. х 9 63. Движение спина в переменном магнитном поле Ф гтеа ызхйатхзхеез и Р ~~~тр ерГтзхзтзтГх В 1 ! Рис, 47. Схема опыта Раби по измерению магнитных моментов атомных ядер.
3 — источпин прина частиц Гщельх А — первое пространство с неоднород. ным постоянным магнитным полем, С вЂ” второе,  — пространство с переменным полем, Р— прнемннн частиц. неоднородное поле в А, частица отклоняется таким образом, что не может попасть в приемник Р. Это отклонение выправляется полем в С, которое отклоняет частицу в противоположном направлении. В результате частица достигает приемника Р так, как если бы она двигалась по прямой линии (как в отсутствие полей). Далее в небольшом пространстве В, расположенном между А и С, приложено дополнительное переменное поле 7т" „способное опрокинуть магнитный момент частицы. Если магнитный момент частицы при прохождении этого поля опрокинется, то отклонение поля в С уже не будет компенсировать отклонения, вызванного полем в А, н «опрокинутые» частицы не будут попадать в приемник Р.
Частоту переменного добавочного поля от и его напряженность З т подбирают так, чтобы вероятность опрокидывания момента была максимальной, и, следовательно, поток частиц в приемник Р†минимальн. Как будет показано ниже, зная от и оЗ х, соответствующие максимуму вероятности опрокидывания, можно определить магнитный момент частицы.
Этот метод измерения магнитного момента имеет очень высокую точность. Так как нас В переменном магнитном поле собственный механический момент частицы не будет интегралом движения, и поэтому возможны переходы нз одного квантового состояния в другое. Мы рассмотрим в этом параграфе тот случай движения спина частицы в переменном поле, теория которого находит важное применение для измерения магнитных моментов атомных ядер по методу Раби 11933 — 1938).
Схема опыта Рабн изображена на рис. 47. Магниты А и С создают неоднородное постоянное поле, так же как и в опыте Штерна и Герлаха, однако направления градиентов полей в магнитах А и С противоположны. Проходя через $ Я1 ДВИЖЕНИЕ СПИНА В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ будет интересовать исключительно движение спина (движени центра тяжести частицы может быть описано методами класси ческой механики ')), то нам достаточно написать уравнение щре дннгера для спиновой функции Я (61.5). Это уравнение имев. вид ') гй -„- = — (ййй)) В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
