Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Между тем факт отклонения пучка атомов в магнитном поле показывает, что эти атомы обладают в з-состоянни магнитным моментом. Расщепление только на два пучка показывает, что проекция этого магнитного момента может принимать только два значения. Результаты измерений показывают, что абсолютная величина этого момента равна магнетону Бора Мв. Таким образом, в з-состоянии атома, имеющего лишь один электрон, существует магнитный~ момент И?, проекция которого на магнитное поле принимает лишь два значения -+.9Ла.
Существование этого магнитного момента в состоянии, где орбитальный момент заведомо отсутствует, можно объяснить, если $58! ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СУЩЕСТВОВАНИЯ СПИНА ЭЛЕКТРОНА л47 предположить, что этот магнитный момент свойствен самому электрону. Это предположение опирается еще и на следующие важные обстоятельства. Спектральные линии даже тех атомов, которые имеют один оптический электрон, оказываются более сложными, нежели это следует из изложенной выше теории движения электрона в поле центральных сил.
Так, например, в атоме Ма вместо одной спектральной линии (а) (рис. 44), отвечающей переходу 2р-и1З, наблюдаются две очень близкие линии (Ь, с), исходящие из двух близких уровней. Это так называемый дублет )У)а (линии 5895,93 А и 5889,96 уд). Таким образом, р-терм Ыа следует считать состоящим из двух близких уровней. Подобная структура спектральных линий наблюдается и в других атомах и но.....,.„., „,...„„..«,р рр( структуры спектров.
Теория движения электрона в поле центральнь:х сил показывает, что 2р-терм (и = 2, 1= 1) состоит из трех сливающихся уровней (т=О, -+ !), но вовсе не из двух близких. Расщепление трех уров- 1~ 7У ней может получиться лишь во внешнем поле, а дублет (Ь, с) на- Ркс. 44. Мультиплетнля структура блюдается в отсутствие поля. ПрЕдПОЛОжЕНИЕ, ЧТО ЭЛЕКТРОН ПеРеходи Ь иаобразуют две близкие линии (дубле«В имеет собственный магнитный момент 8)1В, позволяет сразу объяснить происхождение двойного расщепления термов одновалентных атомов. В атоме, во всех состояниях (р, с(, ...), кроме состояния з, в котором орбитальный момент равен нулю, существуют электрические токи (ср. 9 53).
Эти токи создают внутреннее магнитное поле. В зависимости от ориентации спинового магнитного момента электрона (вдоль этого поля или протнв него) получаются два состояния с несколько различной энергией, так что каждый из уровней р, «1, ... расщепляется на два близких уровня (см. 9 62). Как мы увидим, расщепление спектральных линий атомов в магнитном поле (эффект Зеемана, 9 74) также требует предположения о существовании спина электрона и только на его основе может быть Объяснеио.
Обратимся теперь к собственному механическому моменту электрона. Обозначилт его через э. Если проекция этого момента з, на любое направление 02 определялась бы целым числом постоянных Планка уп,й (как это имеет место для орбитального момента), то следовало бы ожидать по крайней мере трех ориентаций спина т, = О, -+. 1. В самом же деле, упомянутый результат опыта Штерна и Герлаха, а также двойное расщепление уровней р, х(, ... 243 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ (ГЛ. Х показывают, что возможны только две ориентации спина электрона.
Эти факты привели голландских физиков Уленбека и Гаудсмита (1925) к предположению, что проекция собственного механического момента электрона э, на любое направление измеряется полубелым числом постоянных Планка и может принимать лишь два значения а с —— (58.1) Это предположение Уленбек и Гаудсмит дополняют, в соответствии с опытными данными, предположением о наличии у электрона собственного магнитного момента вйх, проекция которого 9)1, на любое направление может принимать только два гэ значения от1 з 2)1 е» 2рс' (58.2) Из (58.1) и (58.2) следует, что отношение спииового магнитного момента к спиновому механическому мое менту равно — — : рс' е рс ' (58.3) в то время как отношение орбитальных моментов е Рис. 45.
Схе- равно — 2 — (см. 9 53). ма опыта 2рс Существование отношения (58.3) между магнитде гааза., ным моментом и механическим было обнаружено еще в 1915 г. в опыте А. Эйнштейна и де Гааза. Вкратце сущность этого опыта сводится к следующему. Ферромагнитный стержень т' (рис. 45) подвешивается на нитях так, что может вращаться вокруг своей оси. Если изменить направление продольного магнитного поля ев, то изменится и направление намагничения стержня, т. е. его магнитный момент элех. Так как магнитный момент пропорционален механическому (58.4) то изменится и механический момент М электронов всего стержня ').
В результате стержень придет во вращение и будет закручивать нить. Из этого кручения можно определить М, а вместе с тем и рл проверить отношение †. Лля электронов это отношение должно М' 1) Заметим, что формулу (58.4) мы пишем теперь для суммарного момента всех электронов. Поскольку она справедлива для каждого электрона стержня, то оиа будет справедлива и для всей их совохупностн. оператоР спинА электронА 249 быть отрицательным (заряд электрона равен — е). Зто и получилось из опыта, показывая таким образом, что намагничивание куска ферромагнетика обусловливается движением электронов. е е Однако отношение получилось равным не — — —, а — —.
Для 2рс' рс орбитального движения прн самых общих предположениях и е классическая, и квантовая теории ведут к значению — - —. По2рс' этому результат опыта казался загадочным. Если же считать, что намагничение обусловлено не орбитальным движением элекЮ1 е трона, а его спином, то отношение -~- должно быть равно — —, рс' что и получается на опыте. Зто предположение позволило не только объяснить результаты опыта Эйнштейна и де Гааза, но и заложить основы современной теории ферромагнетизма (см. 9 130).
Заметим, что в настоящее время существование спина электрона может рассматриваться как следствие из релятивистской теории электрона, развитой Дираком. Однако изложение этой теории выходит за рамки нашей книги'). 9 59. Оператор спина электрона Обратимся теперь к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита. В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций спина на оси координат через з, з„, з,.
Чтобы определить вид этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального момента М„, М„, М,. Тогда, заменяя в (25.5) М на з, получаем ') Заву Заах = гйэе (59.() зеяа зезг ейае. Проекция спина на любое направление (по исходной гипотезе) может принимать два значения: + й)2. Поэтому операторы з„, т) П. А. М. Дирак показал, что яз релятивистского уравнения для движения электрона автоматически вытекает, что электрон должен обладать магнитным моментом (88.2) и механическим моментом (88.!), и, таким образом, дал теоретическое обоснование гипотезе Уленбека и Гаудсмита (см. П. А.
М. Дар а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, !960). ') Опираясь на теорию групп, можно доказать, что правила (89,!) являются единственно возможными. 2ВО СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ИГЛ. Х а„, з, должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональному виду, содержит лишь два диагональных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения. Полагая а " а " я з»= 2.
о», зг = 2 (59.2) мы можем сказать, что операторы о», о„, о, (с п и н о в ы е матр ицы) должны быть двухрядными матрицами вида о ~ а 1 ог=!ь Ь~' ог ~ с *~ (59,3) имеющими собственные значения + 1. Подставляя (59.2) в (59.1) и сокращая на Ю/4, получаем о,о„— о„о„= 2(о„ (59.4) о„о, — о,о„= 2(о, (59.4') о,о„— о„о, = 2(ог. (59,4" ) Ввиду того, что собственные значения о„, о„, о, равны -+.1, то собственные знаиения операторов о,", о,'„ о,' суть +1. Стало быть, в своем собственном представлении эти йоследнне матрицы должны иметь вид о»=~о 1~ о»=)о 1~ о'=(о 1)* (595) т. е. они являются единичными матрицами б: (59.6) Единичная матрица остается единичной во всяком представлении (см.
9 40). Поэтому матрицы о„', о„', о имеют вид (59.5) во всяком возможном представлении. Рассмотрим теперь комбинацию 21 (о„ог+ ого„) = 21о,ог+ о„21о». На основании (59.4) это можно переписать в виде (о„о, — о,о„)о„ + ог(ого, — о,о„) = ого,ог — о,о„' + ого, — ого,ог = о»гпг О»О»1 но о„'=6 есть единичная матрица, поэтому Следовательно, (59.7) о„о„= — о„о», т. е. матрицы о„, о„, как говорят, анти комм ути р уют. б 991 ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА или ан = — аеп а„= амь — а„= — ам — а„= а„, т. е.
ам=-О, а99=0. Поэтому матрипа о„имеет вид ау=! Образуем теперь О„': ! О ао!! о а,б! !анан о (59.10) Сравнивая с (59.5), получаем, что ама.„=1. Матрица должна быть самосопряженной, т. е. а„=а,",. Стало быть, ~а„('=!. Отсюда получаем — о! (59.11) где а в действительное число, Комбинируя (59.7) с (59.4), и применяя циклическую пере- СтаНОВКУ О„, Оу, О„НЕХОДИМ ауоу = ауб9х = (ау~ Оуа, = — а,оу = Ш, (59.8) ауо, =' — О,а, = (оу. Найдем теперь явный вид матриц о„оу, о,. Пусть, скажем, матрица а, приведена к диагональному виду. Так как ее собственные значения равны +-1, то диагональный вид о, будет о о =!о -1! (59.9) Можно показать, что в этом же представлении остальные две матрицы о, ау будут иметь вид ==11.! -у=!; о! (59.9') Для доказательства образуем произведения о,о, и о„о,.
По правилу матричного умножения (з 40) имеем ""=!' -'! !:,",,'!=!-:, —.:! *'=!".':,:::! !~ -~!=!,::,:!. На основании (59.8) имеем !-:,", —:.",!=-!:,",: .:!=!:.",';;,! яаз сОБственныи мехАническии и мАГнитныЙ мОменты [Гл. х Подобным же образом находим, что ~е'Б О(' (59.11') Перемножая теперь о на ое, а потом пе на о„и пользуясь (59.8), получим О е н" Б'! ! О ена Р'~' откуда ен" Б1= — е Ыа И, О й 2 й — о 2 , (59.12) й 0 2 Заметим, что значки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц о и Б, приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: значок 1 относится к первому й й собственному значению ае =+ —, а 2 — ко второму Б,= — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
