Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Согласно сказанному следует ожидать вырождения. Оно действительно имеется. В самом деле, уравнение (70.4) решается сразу разделением переменных: Ч" (х, у) =ьрь(х) ьрг (у), ) Е == Ех+ Еьь (70.5) Подставляя (70.5) в (70.4), обычным путем получаем два уравнения «г дг4. (?0.6') Эти уравнения для осцилляторов имеют известные функции и известные собственные значения, именно, ь ь ь):ь(х)=ьр„,(х), Еь=йоьу(пь+ — ), ьг,=О, 1, 2, ..., (70.7) ььг(у) =ь)ьь(у), Е,=йььу пг+ — ), пг=О, 1, 2, ... (70.7') ( (70.6) последнее равенство вытекает проще всего нз того, что ьь'г = (ьр)г так как 7 есть векторный оператор, а квадрат вектора не меняется прн повороте.
Таким образом, Й'(х, у, г)=Л'(х', у', г'). (70.3) Если наложенное возмущение не обладает сферической симметрией, то энергия электрона будет зависеть от ориентации момента и произойдет расщепление уровней. Вместе с тем для оператора Й равенство (70.3) уже не будет иметь места. Этот пример показывает, что наличие вырождения связано с той нли иной снмметрььей поля, а снятие вырождения — с нарушением этой симметрии. Приведем еще пример. Пусть мы имеем осциллятор в плоскости х, у, обладающей одинаковыми частотами ььг для колебаний по ОХ и по О)'.
Уравнеьььье Шредингера для такого осциллятора имеет вид ЗАмечония О снятии ВыРОждения о 70! 295 Отсюда гул,л, (х1 у) = фп, (х) Чгл, (у), Ел,л, —— Його (пг+ и»+!). (70.8) Введем оглавное квантовое» число л=-л,+по+1, по=л — и,— 1 (70.9) ТР' здесь — возмущение. В рассматриваемом примере решение воз- мущенной системы может быть получено точно.
Дело, очевидно, сводится к замене в (70.7') ого на огг. В результате решение полу- чит вид Ч"л,л. (Х~ У) = »Рл, (Х) Фпп (У), аогэ Йоа Ел,п, =Йогопг+Йгоги»+ — 2-+ 2 (70.8') или Ч", „, (х, у) =-грл,(х)фл л, г (у), Еп, л, =Йогоггг+Йогг(п — нх — 1)+ 2 + — 2 — '. ао», гад, (70.10') Как видим, уровни с различным значением числа п, и одним и тем же л будут иметь разную энергию.
Один уровень Е„невозМУщенной системы РасщепилсЯ на УРовнн Ел, Ел, Ел л г (числом п). Вырождение снялось. Резюмируем вывод из этих примеров. Если гамильтониан йо(х, у, е) остается инварнантнь1м (неизменным) по отношению к некоторому преобразованию координат (х, у, е-»х', у', е'), то собственные значения Е' вырождены. Если возмущение нарушает указанную инвариантность, то, хотя бы частью, вырождение снимается. Тогда Ч'лп, (х, у) = фл, (х)фл л, г (у), Е,=у!ооон, л=-!, 2, ... (70.10) Каждому уровню Ел будет отвечатыг функций (п,=0, и,=!, л, = л — 1).
Следовательно, вьгрождение действительно имеется. Допустим теперь, что возмущение Ф заключается в изменении коэффициента упругости для колебаний вдоль оси ОУ'. Тогда частота колебаний по оси ОУ изменится. Пусть она будет равна огг. Гамильтониан возмущенной системы тогда получит вид (у) = ~2 (~; ~о) у, Глава ХП ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 5 71. Ангармонический осциллятор Гармонический осциллятор является идеализацией реальных механических систем. Действительная потенциальная энергия ~Цд;-', частиц никогда не представляется функцией — зх"', а изобража- 2 ется гораздо более сложной функцией 17(х). Первое выражение справедливо лишь для малых х. Чтобы уточнить выражение потенциальной энергии Сг(х), мы можем кроме члена — "зх' учесть еще 2 и более высокие члены разложения 17 (х) по степеням отклонения х: и ( ) = — "," х'+ йх +...
(71.1) )р'(х) =-лхз+... (71.2) т) Мы можем считать, что спектр возмущенной системы останется все же дискретным, так как лхз есть поправочный член и он вообще негоден для боль. ших х. Таким образом, из вида поправки (7).2) не следует делать закл~оченпя, что асимптотическое поведение сГ (х) радикально изменилось, как зто п редполагалось в б 67, где добавочный член )лз Чзормально рассматривался как пригодный и для больших л. Коль скоро добавочные члены остаются малыми, мы имеем дело с гармоническим осциллятором, несколько возмущенным наличием отступлений от кривой, свойственной идеальному гармоническому осциллятору.
Такой осциллятор мы будем называть а и г а р м он и ч е с к и м. Найдем квантовые уровни ангармоннческого осциллятора, считая добавочные члены (71.1) малыми (л мало). Решим эту задачу методом теории возмущений, опираясь на уже известные решения для гармонического осциллятора.
В качестве возмущения %' у нас фигурируют добавочные члены в выражении для потенциальной энергии ') АнглРмон!и!сск!и! ОсцпллятоР 1 7Н 297 Квантовые уровни невозмущенной системы ().=О) суть уровни гармонического осциллятора; его собственные значения и функции обозначим через Ей =- л!ао ( 71+ 2 ) ' 7)7й (х). (71.3) В данном случае вырождения нет: каждому уровню принадлежит лишь одно состояние 1Рй. Матричным элементом энергии возмущения Ю' будет )Г „= ~ прй, !р'7)7й 7(х = ). ~ 7рй,х'прй с(х =- ). (х'),пл, (71А) Отс!ода следуст, что (хл)17, =-!7, и поэтому поправка к Е1 в первом приближении равна пулю. Поправка второго приближения, содержащая сумму по и, также просто вычисляется, так как нз суммы остается, согласно (71.8), только четыре члена: и=я-7-3, а= я +.1. где через (х')„и, обозначены матричные элементы для х'.
Согласно формуле (67.10) энергия )7-го уровня возмущенной системы во втором приближении равна Е Еп+)п(хп)11+)„1 'т7 ( )Й(л)пл (71 5) Е1 — Еп л~й Таким образом, пам достаточно вычислить матрицу (х'),пл. Эту матрицу мы могли бы непосредственно вычислить из формулы (71.4) с помощью функций ф (см.
(47.11)). Однако мы поступим более просто. Матрица хп,л пам известна (см. (48.8)). По правилу умножения матриц мы можем вычислить из матрицы х,пл матрицу (х'),„,л. Именно, (Х')хл — — ~~ ', Хпн (Х )7л = ~ Хы ~ Х1~пхтл = ~',,У'„Хп!Х!п,хп,„. (71.8) п~ ! па Подставляя сюда значение матричных элементов хьо х,, х л из (48.8), получаем (х')1л — (,<, ) ~ ~,(ф 2 бх-1!+ ф 2 бьь1!)~ ~л 7"' ~ф '2 81-1,пг + ~Г 2 б!71,(п) (~Г -2 бп1-1,л+ ~/ 2 б~л'!,п) ° (71..7) Ввиду наличия 8 двойной ряд по ! п и просто суммируется, и мы получаем + )7 В (~+!) б" л! "+~ В б""'"1' (7! 8) 228 ппоствишие пщ!ложсния теории возыущвнип !гл. хн Кроме того, (ха)„а = (х'), „. Поэтому, подставляя (71.8) в (71.5) и принимая во внимание (71.3), находим Е» = йсво ' й+ 2 ) а ( ) 4 ()ее+ ь" + зо), (71.9) Й=-О, 1, 2,...
Это и есть искомое приближенное выражение для энергии квантовых уровней осциллятора с учетом поправочного апгармошшеского члена Лх'. Легко найти условие применимости нашего приближения. Матричный элемент энергии возмущения Л (х')„ч для больших квантовых чисел й по порядку величины, согласно (71.8), равен %»„=Л( — ") пйч. Разности уровней Е» — Е„"= 1!юа. Таким образом, условие применимости теории возмущений (67.13) сводится к Л( — „" )" —," <~1. (71.10) Наше приближение применимо, следовательно, для не слишком высоких уровней, именно, й<® 'Ф.
(71.10') Это условие в переводе на язык классической механики означает, что амплитуда колебания должна быть не слишком большой, Формула (71.9) находит свое применение для вычисления колебательных уровней молекулы. В 9 54, рассматривая двух- атомную молекулу, мы ограничились вторым членом разложения потенциальной энерпш (I (х) по степеням отклонения (х) от положения равновесия и соответственно этому получили для молекулы гармон!шеские колебания.
Если бы мы учли и следующий член разложения, что, вообще говоря, приходится делать, то колебательные уровни молекулы определились бы формулой (71.9), а не (71.3). 9 72. Расщепление спектральных линий в электрическол! поле В электрическом поле спектральные линии атомов, как было обнаружено на опыте, рас!цепляются (так называемый эффект Шт арка). Картина расщепления изображена на рис. 53, где да~о расщепление спектральных линий водорода Нр, Нт, На, Н„ Нс (линии серии Бальмера) '). Опыт показывает, что действие '! Поле возрастает спизу вверх, максимальнос значение равно !34 миллиона вольт на сзп белые липин —.чинии постоянного поля.
Одновременно сняты невозмушенные (без поля) водородные линии; они изображаются сред- й те! РАсщепление спектРАльных линии В электРпческОм пОле 999 электрического поля на атом водорода и на другие атомы весьма различно. В водороде расщепление спектральных линий пропорционально первой степени электрического поля с), а во всех остальных атомах оно пропорционально второй степени поля (бз), В сильных полях (порядка 1О' в)см) появляется дополнительное расщепление, пропорциональное высшим степеням О, Кроме того, по мере увеличения поля, последнее явление мы рас- 4~~1' " ' , ' ': " ' лага~")гиг(~г;"г. смотрим позднее в 9 !01. Сейчас мы будем рассматривать поля, меньшие ха~~49 1О' в!Сл!. е о- (а — радиус первой орбиты Во а' с внешним полем Рис.
53. Расщепление спектральных линий , Р г . бальмеровской серии прн больших злектри- ческих полях. широких пределах действие внешнего поля можно рассматривать как возмущение. Этим мы и воспользуемся для нахождения квантовых уровней и волновых функций атомного электрона при наличии внешнего поля Ок Обозначим потенциальную энергию оптического электрона в атоме через (l (г). Если теперь еще имеется внешнее однородное электрическое поле напряженности Ж, то электрон будет иметь некоторую добавочную потенциальную энергию (ат.
Эту энергию легко вычислить. Возьмем ось 02 за направление электрического поля сг. Тогда потенциальная энергия электрона в поле будет равна Ф' = Ео Е =- — 0,8, (72.1) ними линиями кагндой картины расщепления, которые на рисунке проходят почти прямолинейно. При сравнении штарковских линий, соседних с неслге. шенными линиями, ясно видно, что линия, лежащая с красной (левой) стороны, всегда удалена от несмещенной линии гораздо дальше, чем соседняя фиолетовая линия (квадратичный аффект Штерна). Это особенно хорошо заметно у линии НВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
