Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 58
Текст из файла (страница 58)
54. ') Без поля мы имели гамильтоииан, обладающий сферической симметрией. При наличии поля' еще остается симметрия вращения вокруг направления поля. ~Е1 — Е иг,е О !гl ~! е1 — е О о( ) / 0 О Еч Е 0 0 0 =(Е 0 ! 0 0 Е "1 — Е / .; — Е)' [(Е» — Е)' — (Р' »1 == О. 4 13! Рлспсеплеиие спектРллы1ых лпипг1 лтомл ВОЛОРОдА зо5 В результате вместо одной спектральной ливии, отвечающей переходу Е', †»- Е", (переход изображен иа рисунке стрелкой а), мы получим три линии, отвечающие переходам: (а) Е„Е4 — «Е;, (Ь) Е,.-«Е,", (с) Е.
— »- Е",. Это и есть явление расщепления спектральных линий в электрическом поле. (Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщепи 1 и" лэлэ Рис. 54. Расиссвлснис уровни и=-2 итона во. дорода в элсктричсскои воле. ление первой линии ультрафиолетовои серии Лай41аиа, иа самом деле Штарк изучал расщеплеиие линий серии Бальмера (видимый свет).) Из (73.10) и (73.8') следует, что разница ЛЕ в уровиях эисрпи1 Е, и Еа равна беФа, т.
е. ЬЕ 3 10 48 эв, если 8 дано в в/сли. Расщеплеиие маленькое, даже для О =104 в!сл1, ЛЕ=.З 10-4 эв, а разность Е,,'— Е",— 10 эв. Вьиислик1 теперь волновые фушсции ср в нулевом приближении, отиосящиеся к уровням Е„Еа, Е, и Е,. Для этого нужно найти амплитуды с„из уравнений (73.6'). Подставляя в (73.6') Е =Е, = == Е,= Е."„иаходим, что с, и с, ~ О, а с, =-сс =-О. Следовательно, для иесмещеииых уровней наиболее общее состояние описывается Функцией (73.11) с, и с, произвольиы (вырождение ие снято). Подставляя в (73.6') Е=-Е,= Е„"+ В'14, получаем с,.=-с,= — О, с,==с... Поэтому уровню Е, отвечает волновая фушсция тра =-,= (4)11+11.".), Е =-Е1'+ Ю' ..
!'2 (73.12) Подобным жс путем Вычисляем для Е=Га: со=с,=О и с,— =- — са. и волновая функция имеет вид сра .= — —. (»Р1 — тр»), Е, = Е„"— Ю'4 !' 2 (73.12') зов ПРОСТЕПШИЕ ПРИЛОЖЕЕИ1Я ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕИИП [ГЛ. Хп ( 1 Множитель = взят из соображений нормировки ф, и фе к едите 2 нице.) Таким образом, при наличии поля 8 волновые функции стационарных состояний') будут ф„фа и фа=»Д, ф«=К. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что, как и должно быть по общей теории, матрица возмущения К в новом пред- ставлении 7К'а =во ~ со„*гфвдо (?3.13) будет диагональной матрицей Зеае«' ΠΠΠΠ— Зеа8 О О О О О О О О О О (73.
14) Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней мы можем пояснить еще и тзк: уровни Е, и Е« не смещаются потому, что в состояниях ф, и ф« электрический момент равен нулю. Смещения же уровней Е, и Е, определяются тем, что в состояниях ф, и ф, момент равен Зава» и — Заеб соответственно, т. е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором случае — по полю.
й 74. Расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле Учитывая мультиплетную структуру спектра, мы должны дополнить этот гамильтониан членами энергии азаих[одейопвин спина с орби[пальме[я движением (они, как объяснялось в 9 65, обуслов- 4) Точнее «ночти стационарных» (Ср. Я 99, [О[1. Рассмотренная в 9 62 теория расщепления спектральных линий в магнитном поле является далеко не полной, так как ие учитывает мультиплетной структуры спектральных линий.
Введем теперь в рассмотрение и эту структуру. Гамильтониан Й атомного электрона, находящегося в магнитном поле, согласно (62.6), равен Н=Но+ — '-(М,+до») = Н + 2 (М,+2в,) (74.1) (при этом мы отбрасываем члены с 72 ', считая их малыми). Но есть гамильтониан в отсутствие внешнего магнитного поля ь» й = —,-т[ =и(.).
(74.2) 2и $ ти РАсщеплснпе спектРАльных линий В мАГнитнОм пОле зо7 лнвают структуру спектров). Далее, напомним замечание в 3 65, согласно которому поправка на зависимость массы электрона от скорости (релятивистский эффект) такого же порядка, как и взаимодействие спина с орбитой. Все эти дополнительные члены в энергии электрона, обусловливающие мультиплетную структуру, обозначим через )Ро -Фа~к у г з ~йд — гггд — (йд 1 (74.3) д . д .
д~ Мы не будем раскрывать явно вид этого оператора и ограничимся указанием аргументов, от которых он зависит. Появление в (гэ операторов импульса электрона ясно уже из того, что внутреннее магнитное поле двп создаваемое орбитальным движением электрона, зависит от скорости электрона, а следовательно, н от его импульса '). Таким образом, полный гамильтониан должен быть написан в виде О Оо+ )Р'о+ 1тг (рг .
— ' (М,+2э,). (74,4) Мы будем различать два случая: первый, когда магнитное поле настолько велико, что энергия электрона во внешнем поле йт гораздо больше энергии У»то, обусловливающей мультиплетное расщепление, н второй, когда энергия во внешнем поле (р' гораздо меньше энергии Тие (малые магнитные поля). Уточним понятие «сильного» и «слабого» поля.
Заметим, что энергия (г'о, которой мы пренебрегаем по порядку величины, равна разности энергий уровней в дублете (см. рнс. 46). Обозначим эту величину через ЬЕЛ =-Еп,у — Е,'и. (74.5) Расщепление, создаваемое магнитным полем, равно, согласно ел (62.13), по порядку величины — М, Поэтому рассмотренное 2рс в э 62 приближение соответствует условию — 'т" >)1ЬЕЛ !.
(74.6) Если, например, ЬЕЛ =5,3 1О " эрг (линии О, и Вэ в )ч)а, см. рис. 49), то (74.6) дает уг' ) 5 10' эрстед. Напротив, слабое ') По эакону Био и Савара это поле равно е 1 ~4 г = — 1«г) —, с г'' где т — скорость электрона, а г — радиус-вектор, проведенный от электрона к точке, где наблюдаетсн поле двь зов ПР01.те33ш33г ПР312!ожс3313я т1.0Р3111 возмущш1!!п и л: 11 в виде )И (74.10) поле Яра определяется пз неравенства йг'--" 1?е, т. е. "-л?Х".<. ~,ЛЕ3п ~, лил .-/ 3 ЛЕ;;,!, (74,7) В первом случае (сильные полл>) мы можем пренебречь величиной 1Г' по сравнению с йт. Тогда мы получаел1 случай, уже рассмотренный ь ч 62 (простой эффект Зеемана).
В случае слабых волен' расстояние уровней в мультпплете ЬГ;; гораздо больше е3! 2нс — поэтому в пулевом приближении мы можем препебоечь энергией электрона во внешнем поле 11Я по сравнепшо с Ю' и рассматривать в качестве гампльтонпапа певозмущенной системы й=-йл+ас, (74.8) а йе — как возмущение. Получающаяся в этом случае картина расщепления уровней и соответственно спектральных лиий гораздо сложнее рассмотренной в Э 6".
Само явлеш3е носит название сложного (ипогда говорят аномального) эффекта Зеемапа. Чтобы рассмотреть это расщепление, заметим, что квантовые уровни Е„'1; невозмущеиной системы (гампльтонпан (74.8)), как объяснялось в 8 65, будут вырождепы 2)+1 раз, соответственно впал!о>иным ориентациям полного момента ). При наличии внешнего поля такой уровень должен расщепляться, так как разным ориентациям ) будет отвечать разная энергия магнитного момента во внешнем поле ?ь'. Для того чтобы найти это расщепление, л3ы должны определить собственные значения энергии возмущения 1Р'.
Для это~о папомш:и (ср. 2 65), по состояния невозмущенной системы с учетом мультппдетностп характеризуются четырьмя квантовыми чнсламп и, 3, ), т;. Поэтому матричные элементы энергии возмущения У будут иметь вид УР',и „,, „, . Если мы 'Г ''3 ограничимся первым приближением, то, как излагалось в 2 68, нужно пренебречь матричными элементами энергии возмущения, относящимися к разным уровням невозмущенной системы. Так как у нас этп уровни нумеруются числамп и, 1, /, то в пулевом приближении рассмотрению подлежат только элементы ~ ~л.ли л13л!., л1 т ' / 3 3" Г 33Ь (74.9) Пригодность такого приближения обеспечивается малостью мапп1тног13 поля.
Так как ллатрпчные элементы йт„33меют ел порядок величины — т, то условие (74.?) можно переписать 21!с З и! влепи:плгпнн спгктгхльпых лпппп в магнитном полг. ЗОЗ что является как раз условием применимости теории возмущений. При этом мы взялп разность энергий в пределах мультиплета (разные ! и /', па одинаковые и и 1). Ясно, что для разных и и ! (74.10) выполнено, если оно выполнено для одинаковых и и!.
На основании сказанного дело сводится к приведению матрицы 1Г „, к диагональному виду. Для этого выразим энергию гозмущения Ф через проекцию l. на ось ОЛ полного момента !. 1!меем или з,Р= у. (Ы)+ф, я = (з,ӄ—,),з„.) у. + (з,ук — у.за) у„. (?4.12) (74.13) Пользуясь теоремой о сложении вращательных моментов, мы можем, согласно (б!.9), переписать (74.12) в виде з Р=-У вЂ” (Р— )й'+а')+!') (74.12') Если мы возьмем теперь такое представление, в котором )Р есть див~опальная матрица, то тогда (74.12') можно разделить иа Р (ибо диагональная матрица ведет себя как обыкновенная величина, а не как оператор). Поэтому в этом представлении из (?4.12') получаем 2Р( + )+ Р' (74.13') и, следовательно, энергию возмущения Ф можно написать в виде В'= Ох)~(1+ ЗГ, )+Осу! (74.14) Матричные элементы оператора Я отличны от нуля лишь в том случае, когда /~ !'.
Действительно, оператор !',! может быть представлен в виде () =У.У;-7А (74.15) где у = У„я, — 1,з„, у„= У,з„— У„з„у, = У„з„— У„з„(74.16) В' =- ' — ', (М. + 2з ) =- Ог (У. + з,), (74. 11) где Ох есть частота Лармора. Рассмотрим теперь произведеш|е з,Р, Эту величину можно представить в виде з„Г з, ()х+ ?я+ '~2) = у,(з„.У, + з„1а+ з У.)+ (з,Х„. — З.з,„) 1, + (~,ӄ—,(„.,зи) У„ з!о ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. ХП (индексы получаются циклической перестановкой).
Пользуясь правилами перестановки компонент момента (9 64), легко дока'- зать, что 3,уп+,Г„уу+ Гпу, = О, (74.17) ,Гиуп — упУп = !й!у„, .7 Ту — уу)п = — !87„,7,1, — утуп = 0 (74.18) (из последних равенств вытекают еще и другие путем циклической перестановки х, у, а). Если теперь взять три проекции орбитального момента М„ М,, М и три координаты х, у, г, то нетрудно видеть, что для них имеют место совершенно аналогичные алгебраические равенства, именно, М„х+Мпу+ Л!па=О, (74.!7') Мпх — хМ, = !й!!Т, Миу — рМ, = — !йх, Миа — ЕМп =-О.
(74.!8') Сравнение (74.17') и (74.18') с (74,17) и (74.18) показывает, ЧтО СтруКтура МатрИц /п,(у, /и В ОТНОШЕНИИ у, у„у, таКОВа же, как н структура матриц М„, М,, М, в отношении матриц х, йч г. В 4 90, Б показано, что единственные отличные от нуля матричные элементы х, !!, г име!от вид х! 1, 1, !11 1, 1, г1,1, ! (где ! — орбитальное число). Диагональные элементы хп, у11, ги равны нулю. Но ! есть как раз номер собственного значения М1. Таким образом, диагональные матричные элементы х, р, г равны нулю в представлении, в котором М' диагонален.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
