Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поэтому должны равняться нулю и диагональные элементы у„, у„, у, в представлении, в котором Гп диагонален, т. е. матричные элементы (уп)Гт., 1ти = 0 (уп)1ь~., 1т. = 0 (уп)1пп„!пи=-0 (74 19) Г 1' 1 ! 1 ! Так как, кроме того, з'„,1т,(п коммутируют с 71, то их матричные элементы, не равные нулю, имеют вид ( !п)рп..ут! ( !Р)/т.,уто !пи йт., /то 1 ! Г ! 1 1 (74.20) Из (74.!9) и (74.20) следует, что матричные элементы Я вида ф ! равны нулю (в чем легко убеждаемся, образуя !З из у и ! по правилу умножения матриц). Таким образом, в интересующую нас матрицу возмущения, элементы которой относятся к одному и тому же значению полного момента 7, оператор Чп не дает никакого добавления.
Иными словами, все элементы матрицы Ю' и образуются за 1 ! счет части Ф, не содержащей !4, т. е. за счет оператора В' =-Осип(1т (74.21) $ Р71 РАСГЦЕПЛЕЬП!Е СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛННИН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 31! Так как г'„й4', в',,77 коммутируют друг с другом, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Вместе с тем приводится к диагональному виду и матрица т =.У/Я т су/л а В7 =-Р/Л гр~р т=-Я т =-Я ,Г гр„ г Рис. 55. Расп1епление уровней 75, г 'РЧ и 'РЧ в слабом магиит77ом поле у, = йт„Р =- й'1 (1+ 1), й4' = йл( (1+ 1), 1 за=йл( (1 +1) ) мы получаем )Г = йОст 11 + '~'+ 1 1 + ) '(' ~) (74.23) ,т,( 21 ()+ 1) Эта формула и дает расщепление в слабом магнитном поле квантового уровня, характеризуемого числа.ми 1, 1; поскольку ! речь идет об одном электроне, 1,= —.
Обозначая теперь поправку (Р" к энергии уровня Е47 через ЬЕл мы можем написать l (74.23) в виде еуЕЛ вЂ” — йОст7й (74.24) оператора Ф' (с элементами (т7;„.,„'1. Чтобы получить ее диаго- нальные элементы, достаточно подставить вместо г'„й1л, в' и )л собственные значения этих операторов. Имея в виду, что ПРООТЕПШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗУ!УЩЕНИ!! )ГЛ. ХИ где д означает «множнтель Ланде» и равен 1 0+ !) '1 11+ !)+15 (11+ !) 21 Ц+ !) (74.25) ! с!и как ту пробегает все значения от — 1 до +1, то, как видно пз (?4.24), каждый уровень Е„!1 расщепляется в слабом магнитном поле на 2/+1 уровнен.
На рпс. 55 приведена схема расщепления уровней: ~5!1я(1=- ., 1=0), Р!1в)1== — —, 1=1) и Рвгг 1= -, 1=1И Прп большем поле .Л сложное расщепление упрощается и получается рассмотренное выше (рис. 46). Это явление упрощения расщепления спектральных линий в мапштном поле при переходе от слабых полей к сильным наблюдается на опыте. $ 75. Наглядное толкование расщепления уровней в слабом магнитном поле (векторная модель) Полученная начп формула (74.23) для расщепления квантовых уровней в слабых мапштных полях может быть наглядно истолкована в терминах векторной модели.
В магнитном поле квадрат полного вращательного момента 7в и его проекция па Е магнитное поле ее являются пнтсгра)уй лами движения. Вектор же полного мрмента ) ие является интегралом движения. Именно, вектор ) прецесспрует вокруг направления магнитного поля ,г . - .. ~ так, как это показано на рпс. 56. Если связь между орбитальным дви- Ъ 1 жеш!см и спином велика, то относи- .7 ! 7 тельная ориентация вектора спина в ! н вектора орбитального момента М, сох- М рапяется, но оба они прецессируют вокруг полного момента ).
Добавочная энергия В' в магнитном поле равна энергии магнитных диполей с моментами е е — — М, и — — а в поле 7ь": 2ре ' Не (7 Рпс, яп. Прснсссня полного моменте 3 вокруг явпрввлсння мвгнняного поля. (р=„',-,(й4,7в')+ ',( 7й) =+ О,(у +.,), (75.1) Нам нужно найти среднее значение величины Ю'.
и', имеет постоянное значение. Напротив, з, ссть переменная величина, 5 гя ТЕОРИЯ ВОЗМУШСН1!И ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПСКТРЛ 51З поэтому для вычисления среднего значения йг' нужно вычислить среднее значение 5„ имея в виду, что вектор 5 участвует в двух прсцесснонных движениях: вокруг вектора .1 и вместе с ) вокруг направления мапппного поля (ОЛ). Так как 5, = 5 СО5 (Ж, 5), (75.2) 5). Из рис.
56 то пам нужно вычислить среднее значение соз(Ж, видно, что Соз(Ж, 5)=СОВ(5, 3) СО5(3, Ж), т. е. 5 = 5 С05 (5, .1) С05 (1, А). Но соз(1, Ю) = — ", (75.3) (75.4) (75.5) и пз треугольника со сторонами Л, М, 5 получаем 5? Соз (5„Л) = (5.)) = (У вЂ” М +5 ) 1 Из этих формул получаем 5, =„-'-,, (У'о — М'+5'). агг (75.6) (?5,7) Подставляя 5, в выражение (75.1) для энергии )Р', находим К = ОГ (Уг+5,) = ОГУг ~1+ . ) (75.8) ЕСЛИ В ЭтОй фсрМуЛЕ ПОНИМатЬ ПОд /г, у'О, М', 5' ИХ КнаитОВЫЕ значения (?4.22), то из (75.8) мы получим квантовуго формулу (74.23). й 76.
Теория возмущений для непрерывного спектра (76.1) Допустим, что на эту систему действует возмущение 67. Уравнение Шредингера для возмущенной системы тогда имеет вид (?)о+ (Р7) ф (76.2) Мы обратимся теперь к тому случаю, когда невозмущенная система имеет непрерывный энергетический спектр.
Обозначим гамильтониан этой системы через Йо, собственные функции, принадлежащие уровпо энергии Е, через т)ге.,Уравнение Шредингера в этих обозначениях имеет вид гго,~е Ефо 314 ПРОСТЕ11ШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 1ГЛ. Хи Если возмущение таково, что оно не нарушает непрерывного характера спектра оператора ЙР, т. е. оператор Й имеет также непрерывный спектр, то все действие воз~ущения сводится к изменению вида собственных функций, принадлежащих уровню Е. Вместе с тем задача теории возмущения сводится в этом случае к нахождению функций $е, которые прн малом возмущении )Р' могут мало отличаться от функции К. Возможен, однако, и другой случай, когда возмущение Ф приводит к образованию разрывов в непрерывном спектре. Тогда в задачу теории возмущения входит пе только определение измененных волновых функций, ио и определение положения и величины разрывов в первоначально непрерывном энергетическом спектре Е.
Оба эти случая мы рассмотрим иа простом примере частицы, свободно движущейся вдоль оси ОХ. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид ~ ~ч Еро 2и ихР (?6.3) и имеет собственные функции и собственные значения . Рх 2 (76.4) Возмущенное уравнение напишется в виде а1 а141 — -- — + )(2 (х) Ч1 = ЕЪ 2И йх' (76.5) так что К(х) есть добавочная потенциальная энергия. Значок штрих у Е присоединен на тот случай, если спектр возмущенной системы изменится. Без всяких ограничений мы можем положить Е'=Е+е, (76.6) 'Ф =ф' (х)+и (х). (76.7) Однако, считая возможным применить теорию возмущений к решению уравнения (76.5), мы будем считать, что ~ е~ <<Е, 1и(х)1((11рр(х)1, и будем пренебрегать произведениями е()У, еи, иФ' как величинами второго порядка малости.
Тогда подстановка (76.6) и (76.?) в (76.5), учитывая (76.3), дает ар д1и — — „-—, — Еи = [а — Уу' (х)1 фр (х). (76.8) Представим и(х) в виде суперпозиции невозмущенных состояний +СО и(х) = ~ и(р)1р'(х) 1(р. (76.9) ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕННЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 3)б ч ть) Подставим теперь (76,9) в (76.8), умножим (76.8) на )ррв (х) и проинтегрируем по х.
Имея в виду, что ') Ч),а)Рр г(х = б (Р' — Р), мы получим — и (Р') — Еи (Р') = еб (Р— р) — йг;, (76.10) 2)з (уравнение (76.8) в «р»-представлении). Здесь г(р — рок Угр'р= $ фре (х) (Р (х) фр (х) г(х =2 — а $ %'(х) е " г(х (76.11) есть матричный элемент в «р»-представлении. Из (76.10) находим «6(Р— Р') — (Рр, и(Р ) = й(р.) в(р) (76.12) В точке р'=р знаменатель (76.12) обращается в нуль. Если мы возьмем е ~ О, то мы получим и (р') Оо б (р' — р), и наше решение ни в коем случае не будет приближением к ф'. Поэтому следует положить е=О, т.
е. йгрм 2РЦУ и (Р') - — Е, ":, - - „+,) О" ,„(76 13) Подставляя это значение и(р') в (76.9) и (76.7), мы находим фр (х) = Фр (х) — 3 е С)р, |р', (х) г(р' (76.14) Интеграл здесь перечеркнут, что означает, что при интегрировании мы должны исключить точку р'=р, так как в этой точке формула (76.13) теряет смысл. К тому же, функция ф" (х) (р' =р) уже выделена из интеграла особо '). Необходимым условием состоятельности нашего метода решения является малость добавка в (76.14), т.
е. ~ )рр (х) — )))" (х) ~ ( ) ф (х) (. (76.15) Из (76.13) видно, что и (р') вблизи резонансной точки р = р' будет тем меньше, чем больше р, т. е. чем больше энергия частицы Е. Следовательно, наше приближение пригодно при больших энергиях частицы. )) Точный смысл знака 1 может быть определен следующим образом (р — Ь СО (ге,~3~ ~ 1) ге, )~ + ) го, ° >ь). ь о р ь Определенный таким способом предел носит название гл а нного з н а че- ння интеграла. з)б простнпшие приложения теории возмушиии>2 (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
